第1章 §3 不等式 3.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的简单应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本同步练习聚焦基本不等式应用，通过基础、进阶、综合三层设计，实现从单一公式应用到实际问题解决的梯度巩固，适配新授课分层教学需求，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式直接应用|如选择1（a+b=4求ab最大值），巩固概念理解| |进阶层|条件变形与多变量问题|如选择3（“1”的代换求x+y最小值），提升运算推理能力| |综合层|实际应用与综合证明|如解答14（促销费用与利润关系），培养模型意识与应用能力|

第2课时　基本不等式的简单应用 1.C　[解析] ab≤=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以ab的最大值为4.故选C. 2.C　[解析] 因为0<x<3,所以3-x>0,所以x(3-x)≤=,当且仅当x=3-x,即x=时取等号,所以x(3-x)的最大值为.故选C. 3.C　[解析] ∵x>0,y>0,且+=1,∴x+y=(x+y)=5++≥2+5=9,当且仅当x=3,y=6时取等号,∴(x+y)min=9,故选C. 4.C　[解析] 设该直角三角形的直角边的长分别为a,b,则易知ab=8,其周长为a+b+ ≥2 + =4 +4,当且仅当a=b=2时取等号,故其周长的最小值为4+4.故选C. 5.D　[解析] 因为a,b均为正实数,且a+4b--3=0,所以a+4b=+3≥2=4,当且仅当a=4b时取等号,则3≥3,可得0<ab≤1. 6.B　[解析] =≥==2,当且仅当x=z=时,等号成立,即的最小值为2.故选B. 7.C　[解析] 设原价为1.对于方案①,降价后的价格x1=(1-a%)(1-b%),对于方案②,降价后的价格x2=(1-a%),对于方案③,降价后的价格x3=,对于方案④,降价后的价格x4=1-(a+b)%.因为(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%>1-(a+b)%,所以x1>x4;因为a>b,所以(1-a%)(1-b%)<=,所以x1<x3;因为a>b,所以%>%,所以1-%<1-%,所以(1-a%)<,所以x2<x3.综上,x3最大,则最终降价幅度最小的是方案③.故选C. 8.CD　[解析] 因为ab>0,所以>0,>0,所以+=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当即a=-1,b=2-时,等号成立,所以+≥3+2,故选CD. 9.ABD　[解析] 因为m>0,n>0,所以2m+n=1≥2,故mn≤,当且仅当2m=n,即n=,m=时取等号,故A正确;4m2+n2=(2m+n)2-4mn=1-4mn≥1-4×=,当且仅当n=,m=时取等号,故B正确;+=[(2m+2)+(n+2)]=≥=5,当且仅当=,即m=0,n=1时取等号,但m>0,n>0,故+>5,故C错误;+=(2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即m=,n=-1时等号成立,故D正确.故选ABD. 10.9　[解析] 由x>1,得x-1>0,于是=x+=x-1++1≥2+1=9,当且仅当x-1=,即x=5时取等号,所以的最小值为9. 11.3　[解析] 由4ab=a+b+6得a+b+6=4ab≤a2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当a=b时取等号,整理可得(a+b)2-(a+b)-6≥0,可得a+b≥3或a+b≤-2,又因为a,b均为正数,所以a+b≥3,所以a+b的最小值为3. 12.30　[解析] 设一年的总运费与总存储费用之和为y万元,则y=4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时,等号成立,此时y取得最小值. 13.解:(1)∵x>0,y>0,且+=1,∴1=+≥2=,当且仅当x=4,y=16时取等号,∴xy≥64,故xy的最小值是64. (2)∵x>0,y>0,x+2y=1,∴+=(x+2y)=1++2+≥3+2=3+2,当且仅当x=-1,y=1-时取等号,故+的最小值是3+2. 14.解:(1)由题意可知当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k,得k=2,所以x=3-(m≥0).因为每件产品的销售价格为元,所以y=1.5×·x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0). (2)当m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时取等号,所以y≤-8+29=21,所以当m=3(万元)时,y有最大值21万元, 所以该厂家在2024年投入的年促销费用为3万元时,厂家所获利润最大,最大为21万元. 15.3-2　[解析] 由题设,+==,又a=1-b>0,b>0,所以==1+=1+=3-2b-,所以+-=3-2b-且0<b<1,又2b+≥2=2,当且仅当b=时取等号,所以+-≤3-2,当且仅当a=1-,b=时取等号,即所求的最大值为3-2. 16.解:(1)当C不在点O处时,△FCO是直角三角形,此时在Rt△FCO中,斜边FC大于直角边FO;当C在点O处时,FC=FO. 所以FC≥FO.因为FO=AB=,OC=|OB-BC|==,所以FC2=OC2+FO2=+=,所以≥. 与基本不等式比较可得,≥≥(a≥0,b≥0),当且仅当a=b时等号成立. (2)证明:因为a>0,b>0,≥,当且仅当a=b时等号成立,所以把不等式中的a替换成,b替换成,不等式同样成立, 整理可得≥,当且仅当a=b时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　基本不等式的简单应用 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.已知a+b=4,a>0,b>0,则ab的最大值为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.2 C.4 D.8 2.已知0<x<3,则x(3-x)的最大值为 (　 ) A. B.3 C. D.4 3.已知 x>0,y>0且+=1,则x+y的最小值是 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.18 4.面积为4的直角三角形的周长的最小值为 (　 ) A.4 B.4+2 C.4+4 D.16+8 5.已知a,b均为正实数,且a+4b--3=0,则ab的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B. C. D.(0,1] 6.[2024·江西部分高中高一月考] 已知x>0,y>0,z>0,则的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.[2024·河南郑州外国语学校高一月考] 某品牌手机为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号的产品降价.有四种降价方案:①先降价a%,再降价b%:②先降价%,再降价a%;③先降价%,再降价%;④一次性降价(a+b)%.若a>b,则最终降价幅度最小的方案是 (　 ) A.① B.② C.③ D.④ 8.(多选题)若a,b∈R,ab>0且a+b=1,则+的可能取值为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 9.(多选题)[2024·江西丰城九中高一期中] 若实数m>0,n>0,且满足2m+n=1,则以下选项中正确的有 (　 ) A.m·n的最大值为 B.4m2+n2的最小值为 C.+的最小值为5 D.+的最小值为3+2 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.若x>1,则的最小值为　　　　.  11.已知a>0,b>0,且4ab=a+b+6,则a+b的最小值为　　　　.  12.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)(1)已知x>0,y>0,且+=1,求xy的最小值; (2)已知x>0,y>0,且x+2y=1,求+的最小值. 14.(10分)某厂家拟在2024年举办某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(等于该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足的函数关系为x=3-(k为常数).若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品的成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家在2024年销售该产品所获得的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数; (2)该厂家在2024年投入的年促销费用为多少万元时,厂家所获利润最大? 15.(5分)若a>0,b>0,a+b=1,则+-的最大值为　　　　.  16.(15分)[2024·江西景德镇高一期中] (1)如图,AB是半圆O的直径,点C在AB上,且AC=a,CB=b.过点O作AB的垂线,交于点F,连接FC.请你判断FC与FO的大小关系,并与基本不等式进行比较. (2)已知a>0,b>0,证明:≥. 学科网（北京）股份有限公司 $