3.2基本不等式第一课时 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 高中数学基本不等式新授课同步练，以“概念理解-性质应用-综合探究”分层设计，通过梯度化题型培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式条件与形式|5道单选聚焦概念辨析（如判断成立条件、比较大小），巩固数学抽象能力| |中档层|简单应用与性质|5道多选/填空结合具体情境（如a+b=1求最值），强化运算与推理意识| |提升层|综合证明与实际问题|6道证明/应用题（如几何背景证明、存在性探究），发展逻辑推理与模型意识|

3.2　基本不等式 第一课时　基本不等式 1.给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中可使＋≥2成立的个数是（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 2.a，b∈R，则a2＋b2与2｜ab｜的大小关系是（　　） A.a2＋b2≥2｜ab｜　 B.a2＋b2＝2｜ab｜ C.a2＋b2≤2｜ab｜　 D.a2＋b2＞2｜ab｜ 3.若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A.a2＋b2＞2ab　 B.a＋b≥2 C.＋＞　 D.＋≥2 4.设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是（　　） A.　 B.a2＋b2 C.2ab　 D.a 5.（多选）下列命题中，为真命题的是（　　） A.∀x∈R，x＋1≥2 B.∀x∈R，x2＋1≥2x C.∀x∈R，≤1 D.x＞1时，x＋的最小值是2 6.（多选）若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是（　　） A.ab≥　 B.＋≥ C.＋≥4　 D.a2＋b2≥ 7.已知a＞0，b＞0，且＋＝，则ab的最小值是　　　　. 8.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是　　　　. 9.设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值范围是　　　　. 10.已知a，b，c均为正实数，abc＝1，证明：＋＋≤＋＋. 11.设a＞0，b＞0，则“a＋b≤1”是“＋≥8”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤　 B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2　 D.a2＋b2＋c2≥1 13.已知a＞b＞c，则与的大小关系是　　　　. 14.设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 15.（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的所有的无字证明为（　　） A.≥（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2ab（a＞0，b＞0） C.≥（a＞0，b＞0） D.＝（a≥0，b＞0） 16.是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1（x＞0，y＞0）且x＋y≥18？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由. 第一课时　基本不等式 1.C　根据基本不等式的条件，a，b同号，则＋≥2，故选C. 2.A　∵a2＋b2－2｜ab｜＝（｜a｜－｜b｜）2≥0，∴a2＋b2≥2｜ab｜（当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等号成立）. 3.D　∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误；对于B、C，当a＜0，b＜0时，显然错误；对于D，∵ab＞0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴D正确. 4.B　法一　因为0＜a＜b，所以1＝a＋b＞2a，所以a＜.又因为a2＋b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1＝a＋b＞2，所以ab＜，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞，故选B. 法二（特值检验法）　取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝.因为＞＞＞，所以a2＋b2最大，故选B. 5.BC　因为x＋1－2＝（－1）2≥0，所以x＋1≥2对∀x∈[0，＋∞）恒成立，故A错误；因为x2＋1－2x＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x对∀x∈R恒成立，故B正确；因为－1＝≤0，所以≤1对∀x∈R恒成立，故C正确；因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得等号，但是x＞1，等号取不到，故D错误，故选B、C. 6.CD　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∵ab≤，∴A错误；（＋）2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2＝2，∴＋≤，∴B错误；＋＝＝≥4，∴C正确；a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，∴D正确，故选C、D. 7.2　解析：因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝时，取等号. 8.x＜y　解析：x2＝，y2＝a＋b＝， ∵a＋b＞2（a≠b），∴x2＜y2，∵x，y＞0，∴x＜y. 9.[－4，＋∞）　解析：因为a＞0，b＞0，所以原不等式可化为k≥－·（a＋b），所以k≥－－2.因为＋≥2（当且仅当a＝b时，等号成立），所以－－2≤－4，所以k≥－4，即k的取值范围是[－4，＋∞）. 10.证明：因为＋＋＝（＋＋＋＋＋）≥×，又abc＝1，所以＝c，＝b，＝a，所以＋＋≥ ＋＋，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 11.B　a＞0，b＞0，若a＋b≤1，则＋≥＋＝2＋＋＋＋≥2＋2＋2＝8，当且仅当a＝b＝时等号同时成立，充分性满足；若＋≥8，a＋b≤1不一定成立，例如a＝1，b＝时，＋≥8，但a＋b＞1，必要性不满足，故选B. 12.BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三个不等式全部相加得2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥ ，若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2，因此，A、C选项错误，B、D选项正确.故选B、D. 13.≤　解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号. 14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立. 所以＋＋≥6. 15.AC　AB＝a＋b，OA＝OB＝OD＝，由射影定理可知，CD2＝AC·BC＝ab，所以CD＝；在Rt△OCD中，OD＞CD，当且仅当OD⊥AB时取等号，所以A正确；在Rt△OCD中，CD2＝DE·OD，所以DE＝＝＝＝，由于CD≥DE，所以≥，所以C正确，故选A、C. 16.解：因为＋＝1， 所以x＋y＝（x＋y）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2， 又x＋y≥18，所以（＋）2＝18. 由得或 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $