第1章 §2 常用逻辑用语 2.1 必要条件与充分条件 第2课时 充要条件(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 练习围绕“充要条件”分层设计，覆盖基础概念辨析、多情境应用及综合证明，梯度衔接合理，适配新授课概念巩固与推理能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充要条件基本概念及简单判断|单一知识点直接应用，如方程根与系数关系（第1题）、集合运算（第5题），夯实概念理解| |提升层|多情境转化及逻辑关系综合判断|跨情境应用与多选题，如古文逻辑（第2题）、电路图（第6题）、集合与逻辑结合（第8题），培养推理能力| |综合层|充要条件的证明及实际问题应用|证明题与开放情境，如三角形等边条件证明（第16题）、方程根的充要条件论证（第14题），发展数学语言表达与模型意识|

第2课时　充要条件 1.C　[解析] 由根与系数的关系知,x1x2=2⇔n=2,所以“x1x2=2”是“n=2”的充要条件.故选C. 2.D　[解析] 由题意知,“有志”不一定“能至”,但“能至”一定“有志”,所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.故选D. 3.B　[解析] 当abc=0时,取a=1,b=c=0,则不能推出a4+b4+c4=0,不满足充分性;当a4+b4+c4=0时,则a=b=c=0,有abc=0,满足必要性.所以“abc=0”是“a4+b4+c4=0”的必要不充分条件.故选B. 4.D　[解析] |a+b|=||a|-|b||⇔a2+2ab+b2=a2-2|ab|+b2⇔ab=-|ab|⇔ab≤0,∴“等式|a+b|=||a|-|b||成立”的充要条件是“ab≤0”.故选D. 5.C　[解析] 因为A∩B=⌀,所以结合数轴知,-2<a-2且a+2≤4,解得0<a≤2.所以“A∩B=⌀”的充要条件是“0<a≤2”. 6.C　[解析] 对于选项A,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件;对于选项B,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;对于选项C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;对于选项D,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 7.B　[解析] 因为当1≤x≤2时,a≥x2恒成立,所以a≥4.由选项可知“a≥5”是“当1≤x≤2时,x2-a≤0恒成立”的一个充分不必要条件. 8.BCD　[解析] 如图所示,由Venn图可知,B,C,D都是“B⊆A”的充要条件,故选BCD. 9.AB　[解析] 对于A,利用集合间的包含关系可知A∩B⊆A,所以x∈A推不出x∈A∩B,但x∈A∩B可推出x∈A,即可知“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件,故A正确;对于B,由p是q的必要不充分条件,得q⇒p,p⇒/ q,由p是r的充要条件,得p⇔r,所以可得q⇒p⇒r,而r⇒/ q,所以q是r的充分不必要条件,故B正确;对于C,当a=0时,方程ax2+x+a=0为x=0,此时方程有唯一解,满足题意,故C错误;对于D,依题意可得a≥[a],􀎮b􀎯≥b,若[a]=􀎮b􀎯,则可得a≥[a]=􀎮b􀎯≥b,所以充分性成立,不妨取a=3.5,b=1.6,此时满足a≥b,且[a]=3,􀎮b􀎯=2,不能得到[a]=􀎮b􀎯,所以必要性不成立,故D错误.故选AB. 10.充要　[解析] 由题意得r⇒q,s⇒r,q⇒s,所以s⇒r⇒q,所以s⇒q,又因为q⇒s,所以s是q的充要条件. 11.(-∞,-2)　[解析] 因为“x<-2”是“x≤a”的必要不充分条件,所以a<-2,即a的取值范围是(-∞,-2). 12.a>2或a<-2　[解析] 因为关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根,所以a2-4>0,解得a>2或a<-2,即关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是a>2或a<-2. 13.解:(1)若点在角的平分线上,则点到角的两边所在直线的距离相等;若点到角的两边所在直线的距离相等,则点在角的平分线上或在该角的补角的平分线上或在该角的对顶角的平分线上.故p是q的充分不必要条件. (2)当两个直角三角形的斜边相等时,这两个直角三角形不一定全等,如三条边长分别为,,2的直角三角形和三条边长分别为1,,2的直角三角形;若两个直角三角形全等,则这两个直角三角形的斜边相等.因此,p是q的必要不充分条件. (3)因为x2-1=0⇒x=±1⇒|x|-1=0,|x|-1=0⇒x=±1⇒x2-1=0,所以p是q的充要条件. 14.证明:当m=2时,一元二次方程x2+(m+1)x+2=0即为x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2, 所以该方程有两个实数根,且有一根为-1. 若一元二次方程x2+(m+1)x+2=0有两个实数根,且有一根为-1,则解得m=2.综上,“一元二次方程x2+(m+1)x+2=0有两个实数根,且有一根为-1”的充要条件是“m=2”. 15.充要　[解析] 因为a,b至少有一个不为0,所以a≠0或b≠0或a,b均不为0,则a2+b2≠0,即“a,b至少有一个不为0”可推出“a2+b2≠0”;因为a2+b2≠0,所以a≠0或b≠0或a,b均不为0,即a,b至少有一个不为0,故“a2+b2≠0”可推出“a,b至少有一个不为0”.则“a,b至少有一个不为0”是“a2+b2≠0”的充要条件. 16.证明:当a=2时,由b2+c2-2(b+c)=bc-4可得b2+c2-a(b+c)=bc-a2,即a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,所以a-b=b-c=a-c=0,则a=b=c,所以△ABC为等边三角形. 反之,因为△ABC为等边三角形,且a=2,所以a=b=c=2,则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0, 所以b2+c2-2(b+c)=bc-4. 故“△ABC为等边三角形”的充要条件是“b2+c2-2(b+c)=bc-4”. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　充要条件 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.已知x1,x2是方程x2+mx+n=0的两个实根,则“x1x2=2”是“n=2”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2024·安徽池州贵池区高一期中] 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话:“而世之奇伟、瑰怪、非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析,“有志”是“能至”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件 3.设a,b,c∈R,则“abc=0”是“a4+b4+c4=0”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4.“等式|a+b|=||a|-|b||成立”的充要条件是 (　 ) A.ab=0 B.ab>0 C.ab≥0 D.ab≤0 5.已知集合A={x|a-2≤x<a+2},B={x|x≤-2,或x≥4},则“A∩B=⌀”的充要条件是 (　 ) A.0≤a≤2 B.-2<a<2 C.0<a≤2 D.0<a<2 6.设计如图所示的四个电路图,则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是 (　 ) A B C D 7.“当1≤x≤2时,x2-a≤0恒成立”的一个充分不必要条件是 (　 ) A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 8.(多选题)设全集为U,A,B是U的子集,在下列选项中是“B⊆A”的充要条件的有 (　 ) A.A∩B=A B.(∁UA)∩B=⌀ C.(∁UA)⊆(∁UB) D.A∪(∁UB)=U 9.(多选题)[2024·广东佛山容山中学高一月考] 下列说法正确的是 (　 ) A.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件 B.若p是q的必要不充分条件,p是r的充要条件,则q是r的充分不必要条件 C.“方程ax2+x+a=0有唯一解”的充要条件是“a=±” D.若[x]表示不超过x的最大整数,􀎮x􀎯表示不小于x的最小整数,则“[a]=􀎮b􀎯”是“a≥b”的充要条件 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知q是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则s是q的　　　　条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”中选填)  11.若“x<-2”是“x≤a”的必要不充分条件,则a的取值范围是　　　　.  12.关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)下列所给的各组p, q中,p是q的什么条件? (1)p:点在角的平分线上,q:点到角的两边所在直线的距离相等; (2)p:两个直角三角形的斜边相等,q:两个直角三角形全等; (3)p:x2-1=0,q:|x|-1=0. 14.(10分)求证:“一元二次方程x2+(m+1)x+2=0有两个实数根,且有一根为-1”的充要条件是“m=2”. 15.(5分)[2024·四川广元中学高一月考] “a,b至少有一个不为0”是“a2+b2≠0”的 　　　　　　　条件.(用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空)  16.(15分)[2024·重庆八中高一期中] 已知△ABC的三边长为a,b,c,其中a=2.求证: “△ABC为等边三角形”的充要条件是“b2+c2-2(b+c)=bc-4”. 学科网（北京）股份有限公司 $