2.1必要条件与充分条件第一课时同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础辨析-中档应用-综合提升三层设计，实现从单一概念到跨知识综合应用的巩固路径，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一充分必要条件判断|题1-8直接辨析概念，如题2结合古文情境强化抽象能力| |进阶层|集合/函数/几何的条件关系|题9-12融合一次函数、方程根等知识，如题12通过二次方程根分析提升推理意识| |综合层|含参数/实际情境的逻辑推理|题13-16涉及参数范围、电路情境，如题16通过电路图考查条件关系的实际应用|

2.1　必要条件与充分条件 第一课时　必要条件与充分条件 1.设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q的（　　） A.既是充分条件，也是必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 2.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.既是充分条件，也是必要条件 3.若p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的（　　） A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 4.已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的（　　） A.充分条件 B.必要条件 C.必要不充分条件 D.既是充分条件又是必要条件 5.（多选）下列式子：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜1；④－1＜x＜0.其中，是－1＜x＜1的充分条件的序号为（　　） A.①　　　　　　　　 B.② C.③　 D.④ 6.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件 B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0” C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D.“｜x｜＝1”是“x＝－1”的充分条件 7.“x＜5”是“x＜3”的　　　　条件（填“充分”或“必要”）. 8.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　　　条件（填“充分”或“必要”）. 9.设命题p：k＞5，b＜5，命题q：一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的　　　　条件；q是p的　　　　条件（用“充分”或“必要”填空）. 10.指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： （1）p：x2＝2x＋1，q：x＝； （2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； （3）p：x＞4或x＜－1，q：x≥4或x＜0. 11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是（　　） A.x＋y＝2　 B.x＋y＞2 C.x2＋y2＞2　 D.xy＞1 12.（多选）一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件是（　　） A.n＝4　 B.n＝－5 C.n＝－1　 D.n＝－12 13.（多选）集合A＝，B＝{x∈R｜－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围可以是（　　） A.m≥2　 B.m≤2 C.m＞3　 D.2＜m＜5 14.已知p：－1＜x＜3，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围. 15.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（　　） A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D.丙是甲的既不充分也不必要条件 16.在如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？ 第一课时　必要条件与充分条件 1.C　因为{x｜－1＜x＜3}⫋{x｜x＜3}，所以p是q的必要不充分条件. 2.A　荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A. 3.D　依题意，当四边形ABCD是菱形时，不一定是矩形.当四边形ABCD是矩形时，不一定是菱形.∴p⇒/ q，q⇒/ p，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 4.A　若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件，不是必要条件. 5.BCD　∵－1＜x＜1，∴②③④是－1＜x＜1的充分条件. 6.ABC　由A∩B＝B，得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝－1”的必要条件，D错误.故选A、B、C. 7.必要　解析：设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为A⫌B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要条件. 8.充分　解析：若“四边形ABCD”为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件. 9.充分　必要　解析：当k＞5，b＜5时，函数y＝（k－4）x＋b－5的图象如图所示，此时一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件. 10.解：（1）因为x2＝2x＋1⇒/x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件. （2）因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒/ a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件. （3）因为p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分条件. 11.B　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立. 12.BCD　设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根，则满足当x＝0时，y＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件可以为B、C、D.故选B、C、D. 13.ACD　由A＝，得A＝{x∈R｜＜x＜3}，又B＝{x∈R｜－1＜x＜m＋1}，且x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A⫋B，所以m＋1≥3，解得m≥2.故选A、C、D. 14.解：由于p：－1＜x＜3， 又由－a＜x－1＜a，得1－a＜x＜1＋a， 依题意，得{x｜－1＜x＜3}⊆{x｜1－a＜x＜1＋a}， 所以解得a≥2， 则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是{b｜b＜2}. 15.A　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图.有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分不必要条件. 16.解：题图①中，闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮；反之，若要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件. 题图②中，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡B亮，则开关A必须闭合，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件. 题图③中，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，灯泡B亮也可不闭合开关A，只要闭合开关C即可，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $