第1章 §1 集合 1.2 集合的基本关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 聚焦集合的基本关系，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念辨析到综合创新的知识巩固路径，适配新授课教学，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|子集、真子集、集合相等的概念辨析|选择1-4直接考查基本关系，填空10辨析符号运用，强化概念理解| |中档|含参数的子集关系、集合运算综合|选择5-9结合不等式求解，填空11-12通过参数讨论提升推理能力| |提升|新定义问题、复杂集合关系应用|解答15-16引入"保均值子集""交替和"，培养创新意识与数学表达|

1.2　集合的基本关系 1.D　[解析] 对于A,⌀⊆P,A错误;对于B,{0}⊆P,B错误;对于C,P⊆N,C错误;对于D,{1}⊆P,D正确.故选D. 2.D　[解析] ∵集合A={x∈N|-2<x<2}={0,1},∴集合A的真子集的个数是22-1=3.故选D. 3.C　[解析] 易知P={x|x<4},Q={-1,-2},∴Q⊆P,故选C. 4.D　[解析] 只有元素与集合之间的关系才用“∈”,故①⑤错误.由题图可知,S⊆U,S⊆T,F⊆U,T⊆U,S与F之间不存在包含关系,F与T之间不存在包含关系.故选D. 5.B　[解析] 依题意得A={x|x<1},当n=0时,B=R,符合题意.当n≠0时,因为B={x|nx<11},A⊆B,所以解得0<n≤11.综上所述,n的取值范围为[0,11].故选B. 6.B　[解析] 当x,y,z都是正数时,m=4;当x,y,z都是负数时,m=-4;当x,y,z中有一个是正数另外两个是负数,或者有两个是正数另外一个是负数时,m=0.故该集合中有3个元素,则其子集个数为23=8.故选B. 7.A　[解析] 集合M==,N==,∵k∈Z,∴2k-1为奇数,k-2为整数,∴M⫋N. 8.AC　[解析] 对于A,集合P表示偶数集,对于Q,因为n∈Z,所以n-1∈Z,所以Q表示偶数集,所以P=Q;对于B,P是由所有正奇数组成的集合,Q是由所有大于1的正奇数组成的集合,所以P与Q不相等;对于C,P={0,1},Q={0,1},所以P=Q;对于D,P是点集,表示一次函数y=x-1图象上所有的点,而Q是数集,表示满足方程y=x-1的y的值,所以P与Q不相等.故选AC. 9.AC　[解析] 因为A={0,1},所以B={x|x∈A,x∈N}={0,1},C={x|x⊆A}={⌀,{0},{1},{0,1}},所以A=B成立,A∈C成立,A⊆C不成立,故选AC. 10.③　[解析] 由集合元素的无序性可得{1,2}={2,1},故①正确;因为1为集合{1,2}中的元素,且只有元素与集合之间的关系才用“∈”,所以1∈{1,2},故②正确,③错误;因为空集是任何非空集合的真子集,所以⌀⫋{0},故④正确.故填③. 11.1　[解析] 由题意知A=B={1,0,-1},则可得故a-b-c=1. 12.[-2,2)　[解析] ①当B=⌀时,ax+2≤0无解,此时a=0,满足题意.②当B≠⌀时,ax+2≤0有解,当a>0时,由ax+2≤0可得x≤-,要使B⊆A,则需要 解得0<a<2.当a<0时,由ax+2≤0可得x≥-,要使B⊆A,则需要解得-2≤a<0.综上,实数a的取值范围是[-2,2). 13.解:(1)∵集合P={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},Q={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},S={x|y=x2+1,x∈R}=R,∴Q⫋P,P⫋S. (2)由已知得A={0,1,2},其子集有⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},真子集有⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}. 14.解:(1)由x2-8x+15=0,解得x=3或x=5,故A={3,5}.当a=时,由ax-1=0,得x=5,则B={5},故B⫋A. (2)当B=⌀时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠⌀时,a≠0,B=, 由B⊆A,得=3或=5,所以a=或a=. 综上所述,实数a的取值集合为. 15.7　[解析] 因为集合A={1,2,3,4,5}的算数平均数E(A)==3,所以由“保均值子集”的定义知,所求集合B只需满足B⊆A且E(B)=3即可,故{1,2,3,4,5},{1,2,4,5},{1,3,5},{2,3,4},{1,5},{2,4},{3}符合要求,故集合{1,2,3,4,5}的“保均值子集”有7个. 16.解:(1)集合{1,2,3}的非空子集为{1},{2},{3},{2,1},{3,1},{3,2},{3,2,1},集合{1},{2},{3}的交替和分别为1,2,3,集合{2,1}的交替和为2-1=1,集合{3,1}的交替和为3-1=2,集合{3,2}的交替和为3-2=1,集合{3,2,1}的交替和为3-2+1=2,所以集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12. (2)集合{1,2,3}的所有非空子集中,数字1,2,3各出现了4=22(次).集合{1,2,3,4}的所有非空子集为{1},{2},{3},{4},{2,1},{3,1},{4,1},{3,2},{2,4},{3,4},{3,2,1},{4,2,1},{4,3,1},{4,3,2},{4,3,2,1},其中数字1,2,3,4各出现8=23(次).在集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,含1的子集的个数为24=16,故数字1在16个子集中出现,即数字1在所有的非空子集中出现了16次.同理,数字2,3,4,5在所有的非空子集中各出现了24=16(次). 由以上规律可知,在集合{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中,数字1,2,3,4,5,6各出现了25=32(次),所以集合M的所有非空子集的元素和的总和为32×(1+2+3+4+5+6)=672. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　集合的基本关系 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.若集合P={0,1},则下列表示中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.⌀=P B.{0}∈P C.N⊆P D.{1}⊆P 2.已知集合A={x∈N|-2<x<2},则集合A的真子集的个数是 (　 ) A.8 B.7 C.4 D.3 3.已知集合P={x|2x-8<0},Q={x|x2+3x+2=0},则集合P,Q的关系为 (　 ) A.P=Q B.P⊆Q C.Q⊆P D.P,Q之间不存在包含关系 4.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,给出下列关系:①S∈U;②F⊆T;③S⊆T;④S⊆F;⑤S∈F;⑥F⊆U.其中正确关系的序号是 (　 ) A.①③ B.②③ C.③④ D.③⑥ 5.[2024·江西赣州高一期末] 若集合A={x|x-1<0},B={x|nx<11},且A⊆B,则n的取值范围是 (　 ) A.(0,11] B.[0,11] C.(11,+∞) D.(-∞,11] 6.[2024·山东淄博七中高一月考] 已知集合M=,则M的子集个数是 (　 ) A.2 B.8 C.4 D.16 7.已知集合M=,N=,则集合M与集合N的关系是 (　 ) A.M⫋N B.N⫋M C.M=N D.不能确定 8.(多选题)下列选项中两集合相等的是 (　 ) A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+} C.P={x|x2-x=0},Q= D.P={(x,y)|y=x-1},Q={y|y=x-1} 9.(多选题)[2024·湖南长沙德成学校高一月考] 已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N},C={x|x⊆A},则关于集合A,B,C之间的关系,下列说法正确的有 (　 ) A.A=B B.A⫋B C.A∈C D.A⊆C 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知关系式:①{1,2}={2,1},②1∈{1,2},③{1}∈{1,2},④⌀⫋{0}.其中不正确的序号是　　　　.  11.[2024·昆明一中高一月考] 已知实数a,b,c,集合A={a,0,-1},B={c+b,,1},且A=B,则a-b-c=　　　　.  12.集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|ax+2≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)(1)已知集合P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},S={x|y=x2+1,x∈R},试判断P与Q,P与S的关系. (2)已知集合A={x∈N|-1<x<3},写出集合A的所有子集与真子集. 14.(10分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a=,试判断集合A与B的关系; (2)若B⊆A,求实数a的取值集合. 15.(5分)[2024·吉林集安一中高一月考] 对于非空数集A={a1,a2,a3,…,an}(n∈N*),其所有元素的算术平均数记为E(A),即E(A)=.若非空数集B满足下列两个条件:①B⊆A;②E(B)=E(A),则称B为A的一个“保均值子集”.据此,集合A={1,2,3,4,5}的“保均值子集”有　　　　个.  16.(15分)对于含有有限个元素的数集,定义“元素和”如下:把集合中的各数相加;定义“交替和”如下:把集合中的数按从大到小的顺序排列,然后从最大的数开始交替减加各数.例如{4,6,9}的元素和是4+6+9=19;交替和是9-6+4=7.而{5}的元素和与交替和都是5. (1)求集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和; (2)求集合M={1,2,3,4,5,6}的所有非空子集的元素和的总和. 学科网（北京）股份有限公司 $