1.2　集合的基本关系 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 高中数学集合基本关系同步练，分层设计梯度清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|元素与集合关系、子集定义|如1题直接辨析∈与⊆符号，4题计算真子集个数，夯实概念理解| |中档|集合相等、参数范围|如9题结合集合互异性求参数，14题用数轴分析子集关系，提升应用能力| |提升|封闭集、开放探究|如15题新定义辨析，16题含参数开放问题，培养逻辑推理与创新意识|

1.2　集合的基本关系 1.下列选项中正确的是（　　） A.1⊆{1}　 B.{1}∈{1，2} C.{1}⊆{1，2}　 D.1∉{1} 2. (2025高一上·仁寿期末) 已知，， 若， 则（　　） A. 0 B. 1 C.  D.  3. (2025高一上·东莞期末) 设集合，，满足，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  4.已知集合A＝{－1，0，1，2}，则A的真子集的个数为（　　） A.7　 B.8 C.15　 D.16 5.（多选）已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（　　） A.∅⊆A　 B.－2∈A C.{0，2}⊆A　 D.A⊆{y｜y＜3} 6.（多选） (2025高一上·顺德月考) 下列选项中正确的是（　　） A. {质数}⊆{奇数} B. 集合{1,2,3}与集合{4,5,6}没有相同的子集 C. 任何集合都有子集，但不一定有真子集 D. 若A⊆B,B⊆C，则A⊆C 7.设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a2 025＋b2 025＝　　　　. 8.已知集合A＝{x∈Z｜0＜x≤4}，若M⊆A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M的个数为　　　　. 9.已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x｜1＜x－1＜4}. （1）若A＝B，则y的值为　　　　； （2）若A⊆C，则a的取值范围为　　　　. 10.已知集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集. 11. (2025高一上·中山月考) 已知集合，则的非空子集的个数为（　　） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 12.（多选）设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则（a，b）可能是（　　） A.（－1，1）　 B.（－1，0） C.（0，－1）　 D.（1，1） 13. (2025高一上·宁波月考) 设集合，.若中恰有2个元素，则实数的值为 　　　　. 14.已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，B＝{x｜1≤x≤a，a≥1}. （1）若A⫋B，求a的取值范围； （2）若B⊆A，求a的取值范围. 15.（多选）设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，则下列说法中正确的是（　　） A.集合S＝{a＋b｜a，b为整数}为封闭集 B.若S为封闭集，则一定有0∈S C.封闭集一定是无限集 D.若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集 16.已知集合A＝{x｜｜x－a｜＝4}，集合B＝{1，2，b}. （1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出相应的a值；若不存在，试说明理由； （2）若A⊆B成立，求出相应的实数对（a，b）. 1.2　集合的基本关系 1.C　对A，1是元素，{1}是集合，元素与集合的关系是属于关系，不是包含关系，故A错误；对B，{1}和{1，2}都是集合，集合与集合间的关系是包含关系，故B错误；对C，{1}与{1，2}是包含关系，故C正确；对D，1与{1}是属于关系，故D错误.故选C. 2.C　因为 ，所以或 ，解得或或 ，又集合中的元素需满足互异性，所以 ，则 ．故答案为：C. 3.C　，，，由题意如图：，解得.故答案为：C. 4.C　A的真子集有24－1＝15个，故选C. 5.ACD　由题得集合A＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误. 6. CD　 A、2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}⊆{奇数}错误，该选项错误，不合题意；B、集合{1,2,3}与集合{4,5,6}有相同的子集∅，该选项错误，不合题意；C、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，该选项正确，符合题意；D、若A⊆B,B⊆C，则A⊆C，该选项正确，符合题意.故答案为：CD. 7.0　解析：由{1，a＋b，a}＝易知a≠0，a≠1，根据两个集合相等可知a＋b＝0，即b＝－a，则＝－1.此时{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 025＝（－1）2 025＋12 025＝0. 8.12　解析：因为A＝{x∈Z｜0＜x≤4}，所以A＝{1，2，3，4}.由M⊆A，知集合M是集合A的子集，且M中至少有一个偶数，则满足条件的集合M分别为{2}，{2，1}，{2，3}，{1，2，3}，{4}，{1，4}，{3，4}，{1，3，4}，{2，4}，{1，2，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，所以满足题意的集合M共有12个. 9.（1）1或3　（2）（3，5）　解析：（1）若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.综上，y的值为1或3. （2）因为C＝{x｜2＜x＜5}，所以所以3＜a＜5. 10.解：因为A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}.所以A＝{（0，2），（1，1），（2，0）}.所以A的子集有：∅，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），（1，1），（2，0）}. 11. C　因为，且，所以当时，；当时，；当时，；当时，. 所以集合. 所以集合的非空子集有：  ，共15个.故答案为：C. 12.ACD　当a＝－1，b＝1时，B＝{x｜x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x｜x2＋2x＝0}＝{－2，0}，不符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x｜x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合.故选A、C、D. 13. 1或2　解析：因为，，又因为集合恰有两个元素，所以的两个元素是和或的两个元素是和，则或，所以或. 故答案为：1或2. 14.解：（1）若A⫋B，由图可知，a＞2. 故实数a的取值范围为{a｜a＞2}. （2）若B⊆A，由图可知，1≤a≤2. 故实数a的取值范围为{a｜1≤a≤2}. 15.AB　A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2（a1，a2，b1，b2∈Z），则x＋y＝（a1＋a2）＋（b1＋b2），其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S，同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0}⊆T＝{0，1}，显然S是封闭集，T不是封闭集.因此，说法正确的是A、B. 16.解：（1）不存在.理由如下： 若对任意的实数b都有A⊆B，则当且仅当1和2是A中的元素时才有可能. 因为A＝{a－4，a＋4}，所以或这都不可能，所以这样的实数a不存在. （2）由（1）易知，当且仅当或或或时，A⊆B. 解得或或或 所以所求的实数对为（5，9），（6，10），（－3，－7），（－2，－6）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $