第1章 §1 集合 1.1 集合的概念与表示(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 高中数学第一章“集合的概念与表示”新授课同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，覆盖集合概念、表示方法及综合应用，通过梯度化题型培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合概念、元素特性、基本表示法|选择题1-5直接考查集合确定性、元素与集合关系，填空题10用列举法表示整数集，夯实基础认知| |提升层|元素互异性、含参集合、综合表示|选择题6-9结合元素互异性求参数（题6）、多选题辨析集合相等（题8），填空题12含参集合整数元素分析，提升逻辑推理| |拓展层|新定义应用、代数证明|题15“孤立元”新情境探究，题16集合元素性质证明，培养创新意识与数学表达能力|

第一章　预备知识 §1　集合 1.1　集合的概念与表示 1.C　[解析] 组成集合的元素具有确定性,而选项A,B,D中没有明确标准来判断一个元素是否符合要求,不符合集合的定义,不能组成集合.故选C. 2.B　[解析] 对于A选项,0∈N,故A错误;对于B选项,1是集合{0,1,2}中的元素,故B正确;对于C选项,0∉⌀,故C错误;对于D选项,∈Q,故D错误.故选B. 3.D　[解析] 由元素0组成的集合是{0},该集合含有一个元素,不是空集,A错误;因为“个子比较高”不是一个明确的标准,所以不能组成集合,B错误;因为x∈N,所以集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是无限集,C错误;由大于的实数组成的集合为,是无限集,D正确.故选D. 4.D　[解析] 不等式组的解集是{x|-2<x≤8},可以用区间表示为(-2,8],故选D. 5.A　[解析] “interesting”的所有字母组成的集合为{i,n,t,e,r,s,g},共有7个元素.故选A. 6.D　[解析] 由集合A={12,a2+4a,a-2},得a2+4a≠a-2,解得a≠-2且a≠-1,则a-2≠-3.由-3∈A,得a2+4a=-3,又a≠-1,所以a=-3.当a=-3时,A={12,-3,-5},符合题意,所以a=-3.故选D. 7.C　[解析] 因为x∈N,y∈N,xy=16,所以x,y是自然数,且x,y是16的因数,所以x的取值为1,2,4,8,16,则集合A中共有5个元素,故选C. 8.ABD　[解析] A选项中,因为方程x2+1=0无实数根,所以P=Q=⌀,P与Q表示同一个集合;B选项中,集合P中有两个元素2,5,集合Q中也有两个元素2,5,P与Q表示同一个集合;C选项中,集合P中有一个元素,是点(2,5),集合Q中有一个元素,是点(5,2),元素不同,P与Q不表示同一个集合;D选项中,集合P={x|x=2m+1,m∈Z}表示所有奇数构成的集合,集合Q={x|x=2m-1,m∈Z}也表示所有奇数构成的集合,P与Q表示同一个集合.故选ABD. 9.BCD　[解析] 对于A,集合{x∈N|x3=x}中只含有两个元素0和1,所以用列举法表示为{0,1},故A中说法正确;对于B,R就表示实数集,{R}为错误表示,故B中说法错误;对于C,方程组的解集应为,故C中说法错误;对于D,集合{y|y=x2}为y的取值集合,集合{(x,y)|y=x2}表示曲线y=x2上点的集合,所以两个集合不是同一个集合,故D中说法错误.选BCD. 10.{0,1}　[解析] 满足-1<x<2的整数x有0,1,故组成的集合为{0,1}. 11.[2,+∞)　[解析] 因为2∉{x|x-a>0},所以x=2不满足x-a>0,可得2-a≤0,解得a≥2,所以实数a的取值范围是[2,+∞). 12.7(答案不唯一)　[解析] 依题意可得7<-≤9,解得6<a≤,则2<≤,所以集合的整数元素的最小值为3,从而最大值为10,所以10<≤11,解得<a≤.故当a=7时,满足题意. 13.解:(1)20的所有质因数为2,5,用列举法表示为A={2,5}. (2)满足小于3且大于-1的实数组成的集合为{x|-1<x<3},用区间表示为B=(-1,3). (3)当n∈N+时,4n表示4的倍数,可用描述法表示为C={x|x=4n,n∈N+}. 14.解:(1)因为A=⌀,所以关于x的方程ax2-3x+2=0无实数解,则a≠0且Δ=9-8a<0,解得a>,则a的取值范围为. (2)集合A中仅有一个元素,可分为两种情况: ①当a=0时,方程为-3x+2=0,解得x=,此时A=; ②当a≠0时,需满足Δ=9-8a=0,解得a=,此时A=. 15.6　[解析] 依题意可知,无“孤立元”是指集合中的任何一个元素,在该集合中都有与之相邻的元素.因此,符合题意的集合是{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个. 16.解:(1)因为(+)2=8+4,所以m=8,n=4,不满足m2-3n2=1,所以(+)2不是集合A中的元素. (2)证明:因为c∈A,所以==(m+n)(2-)=(2m-3n)+(2n-m),其中(2m-3n)2-3(2n-m)2=m2-3n2=1,2m-3n,2n-m都是整数,所以∈A. (3)证明:因为x∈A,所以x+=m+n+=m+n+=2m,因为m∈Z,所以2m为偶数,即x+为偶数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　预备知识 §1　集合 1.1　集合的概念与表示 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.下列能组成集合的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.某电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.某市所有的中学生 D.数学必修第一册课本中所有的简单题 2.下列表述正确的是 (　 ) A.0∉N B. 1∈{0,1,2} C.0∈⌀ D. ∉Q 3.下列说法正确的是 (　 ) A.由元素0组成的集合是空集 B.某班个子比较高的同学可以组成一个有限集 C.集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是有限集 D.由大于的实数组成的集合是一个无限集 4.不等式组的解集可以表示为 (　 ) A.⌀ B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} C.[-2,8) D.(-2,8] 5.英文单词“interesting”的所有字母组成的集合共有 (　 ) A.7个元素 B.8个元素 C.9个元素 D.11个元素 6.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a= (　 ) A.-1 B.-2 C.3 D.-3 7.集合A={x∈N|xy=16,y∈N}的元素个数为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.(多选题)下列选项中,P与Q表示同一个集合的是 (　 ) A.P={x|x2+1=0,x∈R},Q=⌀ B.P={2,5},Q={5,2} C.P={(2,5)},Q={(5,2)} D.P={x|x=2m+1,m∈Z},Q={x|x=2m-1,m∈Z} 9.(多选题)下列说法中错误的是 (　 ) A.集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{0,1} B.实数集可以表示为{x|x为实数}或{R} C.方程组的解集为 D.集合{y|y=x2}与{(x,y)|y=x2}是同一个集合 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.用列举法表示由满足-1<x<2的整数x组成的集合为　　　　.  11.若2∉{x|x-a>0},则实数a的取值范围是　　　　.  12.若集合中恰有8个整数元素,则a的值可以为　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)用所要求的方法表示下列集合: (1)20的所有质因数组成的集合A(列举法); (2)满足小于3且大于-1的实数组成的集合B(区间); (3)所有是4的倍数的正整数组成的集合C(描述法). 14.(10分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若A=⌀,求实数a的取值范围; (2)若A中仅有一个元素,求实数a的值及集合A. 15.(5分)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,若k-1∉A,且k+1∉A,则称k是A的一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},在由S的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为　　　　.  16.(15分)已知集合A={x|x=m+n,且m2-3n2=1,m,n∈Z}. (1)判断(+)2是否为A中的元素; (2)设c∈A,求证:∈A; (3)证明:若x∈A,则x+是偶数. 学科网（北京）股份有限公司 $