1.1　集合的概念与表示 第1课时同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 本同步练习围绕集合概念，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到应用创新的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|集合概念、元素与集合关系|以选择题为主，直接考查概念辨析，如元素属于关系判断，培养抽象能力| |提升层（6-10题）|集合性质（互异性）、简单应用|包含多选、填空与解答题，如集合相等问题，强化推理意识与数学语言表达| |拓展层（11-16题）|综合应用、新定义运算、证明|通过新定义集合运算、证明题（如单元素集不可能），发展逻辑推理与创新意识|

1.1　集合的概念与表示 第一课时　集合的概念 1.若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是（　　） A.0∈A　　　　　　　 B.a∉A C.a∈A　 D.a＝A 2. 以下元素的全体能构成集合的是（　　） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 3.集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列正确的是（　　） A.∈M　 B.0∉M C.1∈M　 D.－∈M 4.由实数－a，a，｜a｜，所组成的集合最多含有的元素个数是（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 5.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则x＋y＝（　　） A.0　 B.1 C.2　 D.3 6.（多选）下列说法正确的是（　　） A.N＋中最小的数是1 B.若－a∉N＋，则a∈N＋ C.若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2 D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 7.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b　　　A，ab　　　A.（填“∈”或“∉”） 8.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有　　　　个元素. 9. 把集合A = {x ∈ N|3 < x < 7}用列举法表示出来　　　　. 10.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合. （1）0是否是集合A中的元素？ （2）若－5∈A，求实数a的值. 11. 定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为 （　　） A.  B.  C.  D.  12.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（　　） A.2∈A，且2∈B B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B C.2∈A，且（3，10）∈B D.（3，10）∈A，且2∈B 13.（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（　　） A.0∉M　 B.2∈M C.－4∈M　 D.4∈M 14.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. （1）求元素x应满足的条件； （2）若－2∈A，求实数x的值. 15.设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是　　　　. 16.设集合A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A（a≠1）.求证： （1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素； （2）集合A不可能是单元素集. 第一课时　集合的概念 1.C　由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C. 2.A　A、中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A正确；B、接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B错误；C、未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C错误；D、地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D错误；故答案为：A 3.D　＞1，故A错；－2＜0＜1，故B错；1不小于1，故C错；－2＜－＜1，故D正确. 4.B　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝｜a｜＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中最多含有两个元素，故选B. 5.B　由题意得x≠0，即得故x＋y＝1. 6.AC　N＋是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝时，－a∉N＋，且a∉N＋，故B错误；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C. 7.∉　∈　解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A. 8.3　解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素. 9. {4,5,6}　解析：因为x ∈ N且3 < x < 7，所以x的所有取值为4，5，6. 故答案为：{4,5,6}. 10.解：（1）将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素. （2）若－5∈A，则有（－5）2－（－5）a－5＝0，解得a＝－4. 11.C　 ．又，，, 所以集合的所有元素之和为. 故选：． 12.C　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C. 13.CD　x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4，显然A、B错误，故选C、D. 14.解：（1）由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3. （2）若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2时集合中的元素满足互异性.故x＝－2. 15.8　解析：若a∈P，b∈Q，则a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P＋Q中有8个元素. 16.证明：（1）若a∈A，则∈A. ∵2∈A，∴＝－1∈A. ∵－1∈A，∴＝∈A. ∵∈A，∴＝2∈A. ∴A中必还有另外两个元素，且为－1，. （2）若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无解. ∴a≠，∴集合A不可能是单元素集. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $