第6章 §4 用样本估计总体的数字特征 4.2 分层随机抽样的均值与方差(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦分层随机抽样的均值与方差这一核心知识点，先从两层样本平均数推导公式并引入权重，再扩展到多层均值的加权求和，进而学习方差计算，构建从基础到综合的学习支架。 该资料通过诊断分析（如两班平均成绩是否104分）培养数学思维的推理意识，结合演讲比赛打分、评委观众打分等实例，用数学眼光观察现实问题，以例题变式和素养小结引导学生有条理地解决问题。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

4.2　分层随机抽样的均值与方差 【课前预习】 知识点一 1.　　+　w1,w2　2.wi 诊断分析 解:若两个班人数相同,则两个班的平均成绩是104分;若两个班人数不同,则两个班的平均成绩不是104分. 知识点二 wi[+(-)2] 【课中探究】 探究点一 例1　解:因为演讲内容、演讲能力、演讲效果的权重分别是50%,40%,10%,所以选手A的综合成绩是85×50%+95×40%+95×10%=42.5+38+9.5=90(分),选手B的综合成绩是95×50%+85×40%+95×10%=47.5+34+9.5=91(分). 变式　解:选手A的85分是演讲内容,选手B的85分是演讲能力,根据题意可知,演讲内容的权重比演讲能力的权重大,所以两名选手的综合成绩不同.如果按演讲内容占40%、演讲能力占50%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩,那么选手A的综合成绩是85×40%+95×50%+95×10%=34+47.5+9.5=91(分),选手B的综合成绩是95×40%+85×50%+95×10%=38+42.5+9.5=90(分). 探究点二 例2　解:(1)由题意知,评委和热心观众的权重分别为,, 则选手甲得分的平均数=×8.7+×9.0=8.86. (2)选手甲得分的方差s2=×[0.01+(8.7-8.86)2]+×[1.40+(9.0-8.86)2]≈0.77. 变式　118.52　[解析] 设二线城市的房价的方差为s2,由题意可知20=[s2+(2.4-1.2)2]+×[10+(1.8-1.2)2]+×[8+(0.8-1.2)2],解得s2=118.52,即二线城市的房价的方差为118.52. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　分层随机抽样的均值与方差 【学习目标】 1.了解分层随机抽样的均值公式与方差公式的推导过程. 2.会求分层随机抽样的均值与方差. ◆ 知识点一　分层随机抽样的平均数 1.由两层构成的样本平均数 一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为=　　　　·+　　　·.  于是,当已知两层构成的新样本中每层的平均数分别为和时,可得这个新样本的平均数为　　　　　　　.  记w1=,w2=,则这个新样本的平均数为w1+w2,其中　　　　　　称为权重.  2.含n层的样本平均数 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为,,…,和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为w1+w2+…+wn.为了简化表示,引进求和符号,记作w1+w2+…+wn=　　　　　　.  【诊断分析】 某次数学考试中,若高一(1)班的平均成绩为106分,高一(2)班的平均成绩为102分,则两个班的平均成绩是104分吗? ◆ 知识点二　分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为,,…,,方差分别为,,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2=　　　　　　　　,其中为这个样本的平均数.  ◆ 探究点一　分层随机抽样的均值 例1 在一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各项成绩均按百分制打分,然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩(百分制).已知进入决赛的前两名选手的单项成绩(单位:分)如下表所示: 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 请计算这两名选手的综合成绩. 变式 在例1的条件下,两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分,为什么他们的综合成绩不同?如果按演讲内容占40%、演讲能力占50%、演讲效果占10%的比例计算选手的综合成绩,那么这两名选手的综合成绩分别是多少分? [素养小结] 求分层随机抽样的均值一般有以下几步:(1)确定样本由几层构成;(2)分别计算各层的平均数及对应的权重;(3)根据分层随机抽样的均值公式求解. ◆ 探究点二　分层随机抽样的方差 例2 在某项活动中,设计了由7名评委打分和8名热心观众打分的环节,经统计计算得选手甲的得分情况如下: 平均数 方差 评委打分情况 8.7 0.01 热心观众打分情况 9.0 1.40 (1)求选手甲得分的平均数; (2)求选手甲得分的方差(结果保留两位小数). 变式 已知某省二、三、四线城市的数量之比为1∶3∶6,且调查得知该省所有城市的房产均价为1.2万元/平方米,房价方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市的房价的方差为　　　　.  [素养小结] 分层随机抽样的方差的计算通常有三步:(1)确定总平均数;(2)确定各层数据的平均数和方差;(3)根据公式求出样本数据的方差. 学科网（北京）股份有限公司 $