第4章 对数运算与对数函数 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理对数函数知识体系，涵盖对数运算性质、函数图象与性质、综合应用及实际问题，按“基础巩固-题型突破-综合应用”递进呈现，突出单调性、反函数等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，通过判断题夯实基础，分题型例题（如对数式化简求值、指对数实际应用）培养数学思维与模型观念，如用函数模型解决汽车稳定性系数问题。变式练习满足不同层次学生需求，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

本章总结提升 判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”) 1.lg(ln e)=0. (　 ) 2.函数y=2+log2x和y=log5都是对数函数. (　 ) 3.log20.3<log0.20.3. (　 ) 4.函数y=logax与y=lox(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称. (　 ) 5.函数y=5x与y=log5x互为反函数. (　 ) 6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则=4. (　 ) 7.函数y=lo(x2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2). (　 ) 8.函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则实数a=2. (　 ) ◆ 题型一　对数式的化简与求值 [类型总述] (1)对数的运算性质;(2)换底公式及常用结论. 例1 (1)若xlog34=1,则4x+4-x=　　　　.  (2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 20+log225×log34×log59=　　　　.  (3)已知lg 2=a,10b=3,则log245可以用a,b表示为　　　　.  变式 (1)=　　　　.  (2)已知10m=2,10n=3,则2m+lg 25+10m-n=　　　　.(用数字作答)  ◆ 题型二　对数函数的图象 [类型总述] (1)含对数式的函数图象的画法;(2)函数图象经过的特殊点;(3)底数对函数图象的影响;(4)简单的图象变换. 例2 [2024·长春三中高一期中] 已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是 (　 ) A B C D 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)已知a<b,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象大致为 (　 ) 　　 A　　　　B　　　　　C　　　　　D (2)函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为 (　 ) 　　　　　　 A　　　　　　　　B 　　　　　　 C　　　　　　　　D ◆ 题型三　对数函数性质的综合应用 [类型总述] (1)与对数函数有关的单调性、最值及不等式问题;(2)利用单调性比较大小. 例3 (1)设a=log3,b=ln 2,c=,则 (　 ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a (2)(多选题)已知-1<a<0且b>1,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.logb(b-a)>0 B.logb(b-a)>log(b-a) C.logb(-a)<log(-a) D.log(-a)<log(-a)(b-1) 变式 (1)若a=log0.32,b=log23,c=log69,则 (　 ) A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c (2)[2024·广州南武中学高一期末] 已知a=log34,b=log45,c=log56,则a,b,c的大小关系是　　　　.(用“>”表示)  例4 若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=　　　　.  变式 已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是 　　　　　　.  ◆ 题型四　函数的综合应用 [类型总述] 对数函数与二次函数、不等式、指数函数结合. 例5 (1)(多选题)[2024·湖南株洲三中高一期末] 已知函数f(x)=ln,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)的定义域为(-2,2) B.f(x)为奇函数 C.f(x)在定义域上是减函数 D.f(x)为偶函数 (2)[2024·江西景德镇高一期末] 已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(1-x)(a>0,且a≠1). ①当a=2时,求函数f(x)的单调区间. ②是否存在实数a,使得函数f(x)在区间上取得最大值2?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由. 变式 已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域; (2)当a>1时,解关于x的不等式f(x)<f(1); (3)当a=3时,若不等式f(x)-log3(1+3x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围. ◆ 题型五　指、对数函数的实际应用 [类型总述] (1)已知函数模型解应用题;(2)选择函数模型解应用题. 例6 (1)某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是大于0的常数.经检测,当t=2时,μ=0.9μ0,则当稳定性系数降为0.5μ0时,该种汽车已使用的年数约为(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　 ) A.10 B.11 C.12 D.13 (2)某机构建立了一个应用心理学的学习平台,该平台积极服务广大群众,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知经过x年,平台会员的人数为y万人,x与y的一组数据如下表所示: x 1 2 3 y 14 20 29 (i)给出下列三种模型:①y=+b(t>0),②y=d·logrx+s(d>0,r>1),③y=m·ax+n(m>0,a>1).从中选择一个恰当的模型建立y关于x的函数关系式. (ii)根据(i)中求得的函数模型,计算经过多少年平台会员人数首次超过66万人? 参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6. 变式 (多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　 ) A.p1≥p2 B.p2>10 p3 C.p3=100 p0 D.p1≤100 p2 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【知识辨析】 1.√　[解析] lg(ln e)=lg 1=0. 2.×　[解析] 根据对数函数的定义知,两个函数都不是对数函数. 3.√　[解析] ∵log20.3<log21=0,log0.20.3>log0.21=0,∴log20.3<log0.20.3. 4.√　[解析] 因为y=lox=-logax,所以函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称. 5.√　[解析] 同底的指数函数与对数函数互为反函数. 6.√　[解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知等式知,x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y不符合题意,所以=4. 7.√　[解析] 因为0<<1,所以y=lox是定义域上的减函数,而x2-4x+5>0恒成立且函数y=x2-4x+5的单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=lo(x2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2). 8.×　[解析] 分两种情况讨论:①当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;②当0<a<1时,有loga2-loga4=1,解得a=.故a=2或a=. 【素养提升】 题型一 例1　(1)　(2)10　(3)　[解析] (1)∵xlog34=1,∴x==log43,∴4x+4-x=+=3+=3+=. (2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 20+log225×log34×log59=lg 5×(lg 2+lg 5)+lg 20+××=lg 5+lg 20+××=lg 100+8=10. (3)由10b=3,得b=lg 3,又lg 2=a,所以log245===. 变式　(1)　(2)　[解析] (1)===. (2)∵10m=2,10n=3,∴m=lg 2,n=lg 3.∴2m+lg 25+10m-n=2lg 2+lg 25+10lg 2-lg 3=lg 4+lg 25+=lg 100+=. 题型二 例2　B　[解析] 因为lg a+lg b=0,所以ab=1,所以g(x)=-logbx=x=logax,故f(x)=ax与函数g(x)=-logbx=logax单调性相同,且二者图象关于直线y=x对称.因为选项A,C,D中图象表示的函数单调性不同,选项B中图象表示的函数单调性相同,且关于直线y=x对称,所以选B. 变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)在定义域上是增函数,排除A,D.令x+a=1,得x=1-a,因为0<a<1,所以0<1-a<1,易知g(x)的图象过定点(1-a,0),排除C.故选B. (2)依题意,f(x)的图象由函数y=loga|x|的图象向上平移1个单位长度得到.因为y=loga|x|是偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,又0<a<1,所以当x>0时,函数f(x)单调递减,由对称性知,当x<0时,函数f(x)单调递增,排除B,C.当x=1时,f(1)=loga1+1=1,排除D.故选A. 题型三 例3　(1)A　(2)ABC　[解析] (1)根据题意,因为a=log3<log31=0,b=ln 2<ln e=1且b=ln 2>ln 1=0,c=>50=1,所以a<b<c.故选A. (2)∵-1<a<0且b>1,∴b-a>1,∴logb(b-a)>0,故A恒成立;由题意可得b-a>b>1,∴logb(b-a)>log(b-a),故B恒成立;由题意可得b>1>-a>0,∴0<<1,∴logb(-a)<0,log(-a)>0,∴logb(-a)<log(-a),故C恒成立;由于0<-a<1,1-∈(0,1),b-1>0,故1-与b-1的大小关系不确定,故D不一定成立.故选ABC. 变式　(1)B　(2)a>b>c　[解析] (1)易知a<0,0<c=log69=lo3<log23=b,∴b>c>a.故选B. (2)因为a=log34=,b=log45=,c=log56=,所以a-b=,又ln 3ln 5<=<=ln24,故a-b>0,则a>b.同理可得b>c,则a>b>c. 例4　或　[解析] 当0<a<1时,对数函数y=logax是减函数,∴函数f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是logaa,最小值是loga(2a),∴logaa=3loga(2a),可得1=3loga2+3,可得a=.当a>1时,对数函数y=logax是增函数,∴函数f(x)=logax(a>1)在区间[a,2a]上的最小值是logaa,最大值是loga(2a),∴3logaa=loga(2a),可得2=loga2,可得a=.综上可得a=或. 变式　(0,1)∪(2,+∞)　[解析] f(x)=log2x-x+1的定义域为(0,+∞),易知f(1)=log21-1+1=0,f(2)=log22-2+1=0.由f(x)<0,可得log2x<x-1,则y=x-1的图象在y=log2x的图象上方时,对应点的横坐标组成不等式f(x)<0的解集.画出y=log2x,y=x-1(x>0)的图象,如图所示,由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,+∞). 题型四 例5　(1)ABC　[解析] 对于函数f(x)=ln,令>0,得(x-2)(x+2)<0,解得-2<x<2,所以函数f(x)的定义域为(-2,2),故A正确;因为f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)为奇函数,故B正确,D错误;因为y==-1+在(-2,2)上单调递减,y=ln x在定义域上单调递增,所以f(x)在定义域上是减函数,故C正确.故选ABC. (2)解:①由题意可得解得-2<x<1, 则函数f(x)的定义域为(-2,1). 当a=2时,f(x)=log2(x+2)+log2(1-x)=log2(-x2-x+2). 令t=-x2-x+2,则y=log2t,易知函数y=log2t在(0,+∞)上单调递增. 函数t=-x2-x+2图象的对称轴为直线x=-, 则当x∈(-2,1)时,函数t=-x2-x+2在上单调递增,在上单调递减. 所以由复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. ②f(x)=loga(x+2)+loga(1-x)=loga(-x2-x+2)(a>0,且a≠1). 令y=-x2-x+2=-+, 由-1≤x≤,得≤y≤,则y=-+在上的取值范围为. (i)当0<a<1时,y=logax在上单调递减, 所以函数f(x)在上的最大值为loga, 则loga=2,所以a2=,可得a=,显然0<a<1,满足题意. (ii)当a>1时,y=logax在上单调递增, 所以函数f(x)在区间上的最大值为loga, 则loga=2,所以a2=,可得a=,显然a>1,满足题意. 综上所述,存在满足题意的a,且a的值为或. 变式　解:(1)当a>1时,由ax-1>0,得x>0,当0<a<1时,由ax-1>0,得x<0. 综上,当a>1时,函数f(x)的定义域为(0,+∞); 当0<a<1时,函数f(x)的定义域为(-∞,0). (2)由(1)知f(x)=loga(ax-1)(a>1)的定义域为(0,+∞),任取x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=loga(-1)-loga(-1)=loga>0, 所以函数f(x)为(0,+∞)上的增函数. 由f(x)<f(1),知 故关于x的不等式f(x)<f(1)的解集为{x|0<x<1}. (3)设g(x)=f(x)-log3(1+3x)=log3, t==1-,易知t=1-在[1,3]上单调递增,又y=log3t为增函数,所以g(x)在[1,3]上单调递增,故g(x)min=g(1)=log3. 因为f(x)-log3(1+3x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立, 所以m<g(x)min=log3=-log32,故实数m的取值范围为(-∞,-log32). 题型五 例6　(1)D　[解析] 由0.9μ0=μ0e-2λ=μ0(e-λ)2,得e-λ=.令0.5μ0=μ0(e-λ)t,得0.5=()t,两边取常用对数,得lg 0.5=lg 0.9,所以t=≈13.故选D. (2)解:(i)从表格中的数据可知,函数是一个增函数,故①不符合题意,因为数据增长的速度越来越快,而模型②中函数增长的速度越来越慢,所以②不符合题意, 所以应选择③y=m·ax+n(m>0,a>1). 代入表格中的数据可得可得 所以y关于x的函数解析式为y=8·+2,x∈N*. (ii)由(i)可知f(x)=8·+2,x∈N*,可得8·+2>66.所以>8,则x>8== ≈≈5.13, 所以经过6年,平台会员人数首次超过66万人. 变式　ACD　[解析] 方法一:由题意可得燃油汽车的声压级=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90]①.同理,=1,∈[50,60]②,=1=102=100③.对于A,由表知≥,可得p1≥p2,故A正确;对于B,②÷③得=1∈[1,10],所以p2≤10p3,故B错误;对于C,=100,即p3=100p0,故C正确;对于D,①÷②得=1∈[100,102],即∈[1,100],即p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 方法二:因为Lp=20×lg,所以-=20×lg-20×lg=20×lg,又因为-≥0,所以lg≥0,即≥1,所以p1≥p2,故A正确;同理,-=20×lg-20×lg=20×lg,因为-=20×lg∈[10,20],所以lg∈,即∈[,10],所以∈,则p2≤10p3,故B错误;因为=40,所以20×lg=40,则lg=2,即=100,所以p3=100p0,故C正确;因为-≤40,即20×lg≤40,所以lg≤2,即p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $