第4章 §2 对数的运算 2.2 换底公式(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数换底公式这一核心知识点，作为对数运算的进阶工具，承接对数基本定义与运算性质，构建从公式推导、重要结论到化简计算、已知对数表示、指数对数互化的学习支架。 该资料以诊断分析引导学生思考底数特性，通过探究点例题与变式培养数学运算能力，结合素养小结提炼解题策略，助力逻辑推理素养提升。课中辅助教师引导学生推理运算，课后帮助学生巩固方法，查漏补缺。

2.2　换底公式 【课前预习】 知识点 1.　2.　 诊断分析 解:底数a是大于0,且不等于1的任意数. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)　[解析] (1)由换底公式得log45·log56·log64=··=1,故选B. (2)原式===×××=. 变式　(1)C　[解析] 原式=(log32)2+2log32·log23+(log23)2-=(log32)2+2×1+(log23)2-=2.故选C. (2)解:①lg 20+log10025=1+lg 2+=1+lg 2+lg 5=2. ②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52)=(log253+lo52+lo5)·(lo23+lo22+log52)=×log25×(1+1+1)×log52=×3=13. 探究点二 例2　解:(1)方法一:∵18b=5,∴log185=b, 又log189=a,∴log3645=====. 方法二:∵18b=5,∴log185=b,又log189=a,∴log3645===. 方法三:∵log189=a,18b=5,∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18, ∴log3645====. (2)∵2a=3b=5,∴a=log25,b=log35,∴lg 15====. 变式　　[解析] ∵lg 2=a,lg 3=b,∴log1815====. 探究点三 例3　证明:令3x=4y=6z=m,由x,y,z均为正实数, 得m>1,x=log3m,y=log4m,z=log6m, ∴=logm3,=logm4,=logm6, ∴-=logm6-logm3=logm2=.故得证. 变式　A　[解析] 由已知,得52a=404b=2020c=2022,得2a=log52022,b=log4042022,c=log20202022,所以=log20225,=log2022404,=log20222020,又5×404=2020,所以+=,即+=.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　换底公式 【学习目标】 1.通过对数换底公式的推导,提升逻辑推理的核心素养. 2.通过用对数换底公式进行化简求值,培养数学运算的核心素养. ◆ 知识点　对数换底公式 1.换底公式 logab=　　　　(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).  2.几个重要结论 lobm=　　　　logab(a>0,b>0,且a≠1,n≠0);   logab=　　　　(a>0,b>0,且a≠1,b≠1).   【诊断分析】 对数换底公式中底数a是特定数还是任意数? ◆ 探究点一　用换底公式化简计算 例1 (1)log45·log56·log64= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.1 C.2 D.3 (2)化简:(log43+log83)·(log32+log92)=　　　　.  变式 (1)(log32+log23)2--的值为 (　 ) A.log26 B.log36 C.2 D.1 (2)计算下列各式的值: ①lg 20+log10025; ②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52). [素养小结] 在解题方向尚不明确的情况下,一般统一将对数换成常用对数(当然也可以换成以其他非1正数为底数的对数或自然对数),然后再化简计算. ◆ 探究点二　用已知对数表示其他对数 例2 (1)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log3645; (2)已知2a=3b=5,用a,b表示lg 15的值. 变式 已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=　　　　.  [素养小结] 用已知对数表示其他对数时,常用换底公式,把其他对数化成和已知对数底数相同的形式,从而进行表示. ◆ 探究点三　利用对数式与指数式的互化解题 例3 已知正实数x,y,z满足3x=4y=6z,求证:-=. 变式 若实数a,b,c满足25a=404b=2020c=2022,则 (　 ) A.+= B.+= C.+= D.+= [素养小结] 求解此类问题,通常先把指数式化成对数式,然后根据已知条件,利用对数的运算性质进行计算. 学科网（北京）股份有限公司 $