第4章 §2 对数的运算 2.1 对数的运算性质(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦对数的运算性质这一核心知识点，基于对数的定义，系统梳理了log_a(M·N)=log_aM+log_aN、log_a(M/N)=log_aM-log_aN、log_aM^b=b log_aM三个运算性质，为后续对数的综合应用搭建学习支架。 资料通过诊断分析判断正误辨析易错点，探究点设置例题与变式分层训练，结合素养小结强调真数范围与公式逆用，助力学生提升数学运算能力和推理意识。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 【学习目标】 1.掌握对数的运算性质. 2.理解对数运算性质的推导过程. 3.通过推导对数运算性质的过程,提升数学运算的核心素养. ◆ 知识点　对数的运算性质 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则有 (1)loga(M·N)=　　　　　　　;  (2)loga=　　　　　　　;  (3)logaMb=blogaM. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)loga(M·N)=logaM·logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 ) (2)loga(M±N)=logaM±logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 ) (3)logaM·logaN=loga(M+N),其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 ) (4)log2=-2. (　 ) ◆ 探究点一　对数的运算性质 例1 已知a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0,用logax,logay,logaz表示下列各式: (1)loga(xyz);　　(2)loga; (3)loga;　　(4)loga. 变式 [2024·广东两阳中学高一月考] 若2a=log28,b=log2,则+= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.2 C.4 D.8 [素养小结] 利用对数的运算性质解题时,一定要注意真数的取值范围是(0,+∞).公式可以逆用. ◆ 探究点二　利用对数运算性质求值 例2 计算:(1)4lg 2+3lg 5-lg; (2); (3)2log32-log3+log38-. 变式 计算: (1)lg-lg+lg; (2)+; (3)lg 5·(lg 8+lg 1000)+(lg )2+lg+lg 0.06. [素养小结] 利用对数的运算性质求值时,一般有两个思路: (1)正用公式:将式中真数的积、商、幂运用对数的运算性质化为对数的和、差、积,然后化简求值; (2)逆用公式:将式中对数的和、差、积运用对数的运算性质化为真数的积、商、幂,然后化简求值. 拓展 已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,求实数x的值. ◆ 探究点三　条件求值与化简 例3 (1)已知lg 2=m,lg 3=n,求100m-2n的值. (2)已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3. 变式 (1)设5m=9,则log53= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C.m D. (2)已知log53=a,log54=b,则log5270可表示为 (　 ) A.ab B.3a++1 C.3a+ D.a3++1 [素养小结] 条件求值与化简的基本原则和方法:①正用或逆用对数运算性质;②对真数进行处理,要么把已知条件的真数化简,要么化简所求对数的真数. 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 【课前预习】 知识点 (1)logaM+logaN　(2)logaM-logaN 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)loga(xyz)=logax+logay+logaz. (2)loga=loga(xy2)-logaz=logax+logay2-logaz=logax+2logay-logaz. (3)loga=loga(y)-loga=loga+logay-loga=logax+logay-logaz. (4)loga=loga(x5y3)-logaz2=logax5+logay3-2logaz=5logax+3logay-2logaz. 变式　A　[解析] 由2a=log28得2a=3,所以a=log23,又b=log2,所以a+b=log23+log2=log21=0,所以+==0.故选A. 探究点二 例2　解:(1)原式=lg=lg 104=4. (2)原式===. (3)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2)-3=-1. 变式　解:(1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=. (2)原式=+()-1=1-1=0. (3)原式=3lg 5·(1+lg 2)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 2·(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3-2=1. 拓展　解:10x=lg(10m)+lg =lg=lg 10=1,所以x=0. 探究点三 例3　解:(1)∵lg 2=m,lg 3=n,∴10m=2,10n=3, ∴100m-2n=(102)m-2n=102m-4n====. (2)∵3b=5,∴b=log35.又log32=a,∴log3=log3(2×3×5)=(log32+log33+log35)=(a+b+1). 变式　(1)D　(2)B　[解析] (1)由5m=9得m=log59=log532=2log53,∴log53=.故选D. (2)log5270=log527+log510=3log53+log52+1=3a++1.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $