第3章 §1 指数幂的拓展(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦高中数学指数幂的拓展核心知识点，先通过分数指数幂（正分数指数幂定义为满足\(b^n=a^m\)的正数\(b\)，负分数指数幂为正分数指数幂的倒数）实现与根式的互化，再引入无理数指数幂（\(a^\alpha\)是确定正实数），将指数范围从整数扩充到实数，构建完整的指数幂知识体系。 该资料以核心素养为导向，通过诊断分析（如判断正误、根式意义辨析）培养逻辑推理，探究点例题与变式（如多选题辨析根式化分数指数幂的正确性）强化数学运算。课中例题解析帮助教师突破重难点，课后变式练习与拓展题助力学生巩固互化与化简技能，有效查漏补缺。

第三章　指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 【课前预习】 知识点一 1. 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)=. (2)根据分数指数幂的定义知,要使(1-2x有意义,应满足1-2x>0,即x<. (3)分数指数幂不可以理解为个a相乘,其实质是一个数. 2.解:①若n为奇数,则对任意的实数a,都有意义; ②若n为偶数,则当a≥0时,才有意义,当a<0时,没有意义. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)ABD　(2)-　[解析] (1)==(y>0),C错误,易知A,B,D正确.故选ABD. (2)由分数指数幂的意义可知,-=-. 变式　BD　[解析] 因为=3|x|·y2,且=-3xy2,所以3|x|·y2=-3xy2,故x<0,又xy≠0,所以y>0或y<0.故选BD. 探究点二 例2　解:(1)=-0.1. (2)因为x<y,所以=|x-y|=y-x. (3)因为-3<x<1,所以原式=-=|x-1|-|x+3|=1-x-(x+3)=-2x-2. 变式　(1)BC　[解析] 对于A,===,不符合题意;对于B,=,符合题意;对于C,===,符合题意;对于D,==,=23=8,不符合题意.故选BC. (2)解:原式=(100-1-(-1)-8+(23=10-+1-8+=10+1-8=3. 拓展　解:原式=+ =+= |-|+|+|=2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 【学习目标】 1.理解分数指数幂的概念,会进行分数指数幂与根式的互化. 2.了解无理数指数幂的概念,了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近得到的思想方法. 3.通过指数幂的拓展的学习,培养逻辑推理的核心素养;通过分数指数幂与根式的互化,培养数学运算的核心素养. ◆ 知识点一　分数指数幂 1.正分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=　　　　,这就是正分数指数幂.  2.负分数指数幂的定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义==. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)=. (　 ) (2)若(1-2x有意义,则x≠. (　 ) (3)分数指数幂(a>0)可以理解为个a相乘. (　 ) 2.根式(n∈N+)一定有意义吗? ◆ 知识点二　无理数指数幂 　 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的正实数.至此,指数幂aα中指数的取值范围扩充为R. ◆ 探究点一　根式与分数指数幂 例1 (1)(多选题)下列各式中,根式化成分数指数幂的形式正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.=(a>0) B.==(a>0) C.=y3(y>0) D.=a3(a>0) (2)将-(x>0)表示为根式的形式为　　　　.  变式 (多选题)[2024·四川南充高级中学高一月考] 已知xy≠0,且=-3xy2,则下列不等关系可能成立的是 (　 ) A.x>0,y>0 B.x<0,y<0 C.x>0,y<0 D.x<0,y>0 [素养小结] (1)根式与分数指数幂互化的规律:根指数指数位置分数的分母,被开方数(式)的指数指数位置分数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. ◆ 探究点二　化简、求值 例2 化简: (1); (2)(x<y); (3)-,x∈(-3,1). 变式 (1)(多选题)下列各式的值相等的是 (　 ) A.-和 B.和 C.和 D.和 (2)计算:--8×(-)0+. [素养小结] (1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值. (2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论. 拓展 化简:+. 学科网（北京）股份有限公司 $