第2章 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 第2课时 函数性质的应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦函数性质的应用，核心知识点为函数的奇偶性、单调性，通过梳理从性质定义到求解析式、解不等式、比较大小及图象对称性判断的应用脉络，搭建学习支架帮助学生掌握性质应用方法。 资料设计亮点在于结合例题、变式与素养小结，以数学思维（推理能力）、数学语言（模型观念）引导学生，如利用奇偶性求解析式的步骤培养逻辑推理，解不等式转化过程强化模型意识。课中辅助教师教学，课后助力学生回顾与查漏补缺。

第2课时　函数性质的应用 【学习目标】 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题. ◆ 知识点　函数的奇偶性、单调性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性. (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最大(小)值与最小(大)值互为相反数. (3)奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,研究的是函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,研究的是函数图象在整个定义域上的对称性. ◆ 探究点一　利用函数的奇偶性求函数的解析式　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x+1,求函数f(x)的解析式. (2)已知函数f(x)(x∈R)满足y=f(x)-x2-3为奇函数,函数y=f(x)+2x为偶函数,求f(x)的解析式. 变式 (1)已知函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,f(x)+g(x)=x2-x+1,则f(2)=(　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)将例1(1)中的“奇函数”改为“偶函数”,其他条件不变,求当x>0时,函数f(x)的解析式. [素养小结] 利用奇偶性求函数解析式的思路:(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间上.(2)利用f(x)在已知区间上的解析式,写出f(-x).(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(x),从而得到f(x)的解析式. ◆ 探究点二　利用函数的单调性、奇偶性解不等式 例2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,求不等式f(2x)>f(x-1)的解集. 变式 f(x)是定义在[-4,2b]上的偶函数,且在[-2b,0]上单调递增,则f(x+1)≤f(-1)的解集为 (　 ) A.[-2,0] B.[-5,3] C.[-5,-2]∪[0,3] D.(-∞,-2]∪[0,+∞) [素养小结] 利用函数的单调性、奇偶性解不等式,首先应利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式,然后再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解. ◆ 探究点三　利用函数的单调性、奇偶性比较大小 例3 f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,则 (　 ) A.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(3)<f(-2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(-2) 变式 (多选题)[2024·河南省实验中学高一期中] 已知函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,f(x)在[0,5]上单调,且f(-4)<f(-2),则下列结论正确的是 (　 ) A.f(4)<f(2) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)<f(1) [素养小结] 利用函数的单调性、奇偶性比较大小时,当自变量在同一单调区间上时,直接利用函数的单调性比较大小;当自变量不在同一单调区间上时,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. ◆ 探究点四　函数图象的对称性的判断 例4 已知函数g(x)=,证明:函数g(x)的图象关于点(2,-4)对称. 变式 (多选题)已知函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)=x3-3x2的图象关于点(1,2)对称 B.若f(x+1)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称 C.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是y=f(x+a)为偶函数 D.若f(x)=x2-2x+5,则y=f(x-1)为偶函数 [素养小结] (1)要证明函数f(x)的图象关于直线x=h对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(h-x)=f(h+x). (2)要证明函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(a+x)+f(a-x)=2b. 拓展 若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f(π)= (　 ) A.-π B.-π C.π- D.π- 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数性质的应用 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1. 因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x), 所以当x>0时,-f(x)=x2+x+1, 即f(x)=-x2-x-1. 故函数f(x)的解析式为f(x)= (2)∵y=f(x)-x2-3为奇函数, ∴f(-x)-(-x)2-3=-f(x)+x2+3, ∴f(x)+f(-x)=2x2+6①. ∵y=f(x)+2x为偶函数,∴f(-x)-2x=f(x)+2x, ∴f(x)-f(-x)=-4x②. 由①+②,得2f(x)=2x2-4x+6,∴f(x)=x2-2x+3. 变式　(1)A　[解析] 根据题意,由f(x)+g(x)=x2-x+1①,得f(-x)+g(-x)=x2+x+1,因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以-f(x)+g(x)=x2+x+1②.由①-②得2f(x)=-2x,所以f(x)=-x,则f(2)=-2.故选A. (2)解:当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2+x+1=x2+x+1. 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以当x>0时,f(x)=x2+x+1. 探究点二 例2　解:因为对于任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上为减函数.由f(2x)>f(x-1),得2x<x-1,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1). 变式　C　[解析] 因为f(x)是定义在[-4,2b]上的偶函数,所以-4+2b=0,解得b=2,所以f(x)的定义域为[-4,4],又因为f(x)在[-4,0]上单调递增,所以f(x)在[0,4]上单调递减.因为f(x+1)≤f(-1),所以f(|x+1|)≤f(|-1|),所以解得-5≤x≤-2或0≤x≤3,所以f(x+1)≤f(-1)的解集为[-5,-2]∪[0,3].故选C. 探究点三 例3　C　[解析] 由题意得,对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以f(1)>f(2)>f(3).又f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(1)>f(-2)>f(3),故选C. 变式　BCD　[解析] 因为函数f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数,所以f(-4)=-f(4),f(-2)=-f(2),因为f(-4)<f(-2),所以f(4)>f(2),故A错误;因为f(x)在[0,5]上单调,f(4)>f(2),所以f(x)在[0,5]上单调递增,所以f(x)在[-5,5]上单调递增,所以f(2)<f(3),f(0)<f(1),f(-3)<f(5),故B,C,D正确.故选BCD. 探究点四 例4　证明:∵g(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞), ∴g(4-x)==, ∴g(x)+g(4-x)=+==-8. 即对任意的x∈(-∞,2)∪(2,+∞), 都有g(x)+g(4-x)=-8成立, ∴函数g(x)的图象关于点(2,-4) 对称. 变式　BC　[解析] 由题意知,若函数y=f(x+a)-b为奇函数,则f(x+a)-b=-f(-x+a)+b,则f(x+a)+f(-x+a)=2b.对于A,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),a=1,b=2,则f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x+1-3)+(-x+1)2(-x+1-3)=-4≠2b=4,故A错误;对于B,由f(x+1)+f(1-x)=2,得f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,设F(x)=f(x+1)-1,则F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,故B正确;对于C,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)=f(2a-x),令x=t+a,则f(t+a)=f(a-t),用x替换t,则f(x+a)=f(a-x),故y=f(x+a)是偶函数,若y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),令h=x+a,则f(h)=f(2a-h),故函数y=f(h)的图象关于直线h=a对称,用x替换h,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故C正确;对于D,因为f(x-1)=x2-4x+8,f(-x-1)=x2+4x+8,所以f(x-1)≠f(-x-1),所以y=f(x-1)不是偶函数,故D错误.故选BC. 拓展　D　[解析] ∵f(x)是偶函数,且其图象关于点对称,∴f(x)=f(-x),f(1-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(-x),∴f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x).又当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,∴f(π)=f(π-2+2)=f(π-2)=f(π-4+2)=f(π-4)=f(4-π)=-(4-π)+=π-.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $