第1章 §4 一元二次函数与一元二次不等式 4.3 一元二次不等式的应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用这一核心知识点，先梳理利用不等式解决实际问题的一般步骤，再通过探究点一系统讲解恒成立问题（含R上及给定区间情形），探究点二结合实例分析实际应用，辅以素养小结与拓展题，构建完整学习支架。 资料特色在于强化数学建模素养，通过农产品税收、台灯销售等实例引导学生用数学眼光观察现实问题，将恒成立问题转化为不等式组或最值问题培养数学思维，建模三关步骤助力用数学语言表达，课中例题变式辅助教学，课后拓展题帮助学生查漏补缺。

4.3　一元二次不等式的应用 【学习目标】 1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. 3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养. ◆ 知识点　一元二次不等式的应用 利用不等式解决实际问题的一般步骤: (1)选取合适的字母表示题中的未知数; (2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组); (3)求解所列出的不等式(组); (4)结合题目的实际意义确定答案. ◆ 探究点一　一元二次不等式恒成立问题 例1 (1)若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,则m的取值范围是　　　　.  (2)若对任意的x∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围. 变式 (1)当1<x<2时,关于x的不等式x2+mx+4>0恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 (2)已知二次函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0,则实数m的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. [素养小结] (1)对于一元二次不等式在R上恒成立的问题,通常转化为不等式组来求解.一般地,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立的条件是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立的条件是若所给不等式未指明为一元二次不等式,还应注意对二次项的系数进行讨论,需验证二次项系数为0时是否满足题意. (2)对于给定区间的恒成立问题,通常转化为最值问题来求解. ◆ 探究点二　一元二次不等式的实际应用 例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并按收购金额的10%纳税(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.当地政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(0<x<10)个百分点,并预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降低征税率后税收y(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在征税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. 变式 (多选题)[2024·四川合江马街中学高一月考] 某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏,若单价每提高1元,则日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入,则这批台灯的单价x(单位:元)的取值可以是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.18 B.15 C.16 D.20 [素养小结] 求解数学应用题,需要过三关. (1)事理关:通过阅读、理解,找出关键词、句,确定条件是什么,要解决什么问题. (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系. (3)数理关:构建相应的数学模型,并求解模型,得到问题的答案. 拓展 为配制一种药液,进行了二次稀释,先在容积为V升的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出8升后用水补满,若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　一元二次不等式的应用 【课中探究】 探究点一 例1　(1)-4<m≤0　[解析] 若m=0,则-1<0,满足题意;若m≠0,要使mx2-mx-1<0恒成立,则需 解得-4<m<0.所以-4<m≤0. (2)解:方法一:要使mx2-mx-1<-m+5对x∈[1,3]恒成立,需满足m+m-6<0对x∈[1,3]恒成立. 令y=m+m-6,x∈[1,3], 则当m>0时,y在[1,3]上随自变量x的增大而增大,所以ymax=7m-6<0,所以0<m<; 当m=0时,-6<0恒成立; 当m<0时,y在[1,3]上随自变量x的增大而减小, 所以ymax=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m<. 方法二:当x∈[1,3]时,mx2-mx-1<-m+5恒成立, 即当x∈[1,3]时,m(x2 -x+1)-6<0恒成立. 因为x2-x+1=+>0, 所以当x∈[1,3]时,m<恒成立. 易知函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可. 变式　(1)[-4,+∞)　(2)D　[解析] (1)令y=x2+mx+4,易知函数y=x2+mx+4的图象的对称轴为直线x=-.当-≤1,即m≥-2时,1+m+4≥0,解得m≥-5,所以m≥-2.当1<-<2,即-4<m<-2时,Δ=m2-16<0,满足题意,所以-4<m<-2.当-≥2,即m≤-4时,4+2m+4≥0,解得m≥-4,所以m=-4.综上所述,m≥-4. (2)根据题意需满足解得-<m<0,即实数m的取值范围是.故选D. 探究点二 例2　解:(1)降低征税率后的征税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元, 依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a×10%=20a(万元). 依题意得a(10-x)≥20a×83.2%,化简得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2. 因为0<x<10,所以0<x≤2, 故x的取值范围是0<x≤2. 变式　ABC　[解析] 由题意知,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入,需满足x[30-2(x-15)]>400,整理得x2-30x+200<0,解得10<x<20.故选ABC. 拓展　10≤V≤40　[解析] 第一次操作后,桶中剩下的纯药液为(V-10)升,第二次操作后,桶中剩下的纯药液为升.由题意可知V-10-×8≤V·60%,化简得V2-45V+200≤0,解得5≤V≤40,因为V≥10,所以10≤V≤40. 学科网（北京）股份有限公司 $