3.4.2简单幂函数的图像和性质教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

§4.2简单幂函数的图像和性质 一、教学目标 （1）理解幂函数的概念，能识别幂函数的形式。 （2）通过实例分析，掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图像，并能描绘其草图。 （3）归纳总结以上五种常见幂函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点）。 二、教学重难点 重点：幂函数的概念及五个幂函数的图象与性质； 难点：幂函数图像与性质随指数a变化的规律，从特殊到一般的归纳过程。 3、 教学过程 （1） 创设情景，引入新知 1.情景引入 展示问题： 1．我们知道函数可以来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子： （1）如果张红以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜 w kg ，那么她需要支付p＝ w 元，这里p是w的函数； (2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积s= a 2，这里s是a的函数； (3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积v＝b3的，这里v是 b 的函数； (4）如果一个正方形场地的面积为s，那么这个正方形的边长这里c是s的函数； (5）如果某人ts 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度 这里v是 t 的函数． 2．抽象概念 提问：观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共性？你能尝试用数学语言表达幂函数的定义吗？ 教师给出幂函数的定义，并进行板书。 一般地，形如(为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数。 辨析练习：下面哪一个函数是幂函数？ 【即时演练】1.已知幂函数y=f(x）的图象过点（2,21/2）求这个函数的解析式。 2.已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( ) A．2 B．1 C. D．0 (二) 合作探究，绘制图像 任务分配： 将学生分为5个小组，每个小组负责研究一个幂函数：第1组y=x；第2组y=x2；第3组y=x3；第4组 y=​；第5组y=x-1。 发放《探究学习单》，要求： （1）写出函数的定义域。 （2）在坐标纸上用“列表、描点、连线”的方法画出函数图像（要求取点合理）。 （3）观察图像，尝试描述函数的性质（值域、单调性、奇偶性）。 小组活动与教师巡视： 学生分组活动，教师巡视指导，关注学生取点的合理性、作图的规范性。 成果展示与工具验证： 每组选派代表，用实物投影展示所画图像，并汇报初步发现的结论。 教师利用几何画板动态演示五个函数的精确图像，验证学生的结论，并强调图像的连续性和变化趋势。 将五个图像画在同一坐标系中，引导学生观察对比 （三）归纳性质 1.归纳性质： 教师引导学生，根据图像和小组汇报，共同完成思考交流表格的填写 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数 2.规律总结: (1)公共点：所有的幂函数都经过点（1，1）；当>0时，还经过点（0，0）。 (2)奇偶性：与指数有关。 (3)单调性：当>0时，在区间(0，+∞)上递增，当<0时，在区间(0，+∞)上递减。 （4）第一象限图像的特征： >1时，图像下凸；=1时，直线；0<<1时，图像上凸；<0时，图像下降，以坐标轴为渐近线。 （四）例题解析 例1 证明幂函数f(x)=是增函数. 例2 比较的大小: （五）课堂练习 1.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1）(－1.5)3，(－1.4)3； （2），。 2.根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数y=x3的单调性，并判断其奇偶性。 四、归纳小结 教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题： （1）什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说说幂函数具有哪些性质吗？ (2）结合对五个幂函数的研究过程，你能归纳一下函数的研究内容和方法吗？ 【通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。】 五、布置作业 1.作业本：教材91页：习题3.3第1,3题（必做），第2题（选做）； 2.同步学考练：完成本课时练习。 六、课后反思 本节课围绕“幂函数的图像与性质”展开教学，基本达成了预设目标，学生通过实例归纳出概念，借助作图与软件观察，初步掌握了五种基本幂函数的特征。 成功之处在于： 1. 情境导入贴近生活，学生能快速抽象出幂函数模型。2. 采用小组合作探究与信息技术融合的方式，学生动手绘制、观察对比，体现了“做中学”，课堂参与度高。3. 引导学生从特殊到一般归纳性质，渗透了数形结合与分类讨论思想。 有待改进的是： 1. 部分学生在比较大小（如负指数幂）时，对“同一单调区间”的前提运用不熟练，反映出对奇偶性与单调性关系的理解需强化。2. 小组探究时间可进一步优化，对y=定义域的讨论可引入更多学生发言。3. 可增加y=作为例子，完善对指数范围的认知。 后续改进方向： 将在习题课中针对性设计辨析练习，强化性质应用的条件判断，并鼓励学有余力的学生自主探究更多幂函数的图像规律。 学科网（北京）股份有限公司 $