第1章 §2 常用逻辑用语 2.1 必要条件与充分条件 第2课时 充要条件(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“充要条件”核心知识点，先通过定义梳理“p⇔q”的充要条件概念，再系统呈现充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要等四种条件类型，结合定义法、集合法、传递法构建从概念到判断的完整学习支架。 该资料以探究点（判定、求参数、证明）为主线，通过例1集合关系判定、例3方程根证明等问题链，引导学生抽象条件关系（数学眼光），逻辑推理判断方法（数学思维），严谨表达证明过程（数学语言）。课中助教师引导探究，课后助学生通过诊断分析和变式训练查漏补缺。

第2课时　充要条件 【课前预习】 知识点 1.充要条件　⇔ 诊断分析 (1)√　(2)√　[解析] (1)若x=y=0成立,则x2+y2=0成立;若x2+y2=0成立,则x=y=0成立.故(1)正确. (2)当p⇒q且q⇒p时,p才是q的充要条件,故(2)正确. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)AB　[解析] (1)由A∪B=B可得A⊆B,由A⊆B可得A∪B=B,所以“A⊆B”是“A∪B=B”的充要条件.故选C. (2)若三角形是等腰三角形,则该三角形的两底角相等;反之,当三角形中有两角相等时,这两角所对的边相等,即该三角形为等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充要条件,故A正确.若两个三角形全等,则两个三角形的三边分别相等;反之,若两个三角形的三边分别相等,则这两个三角形全等.所以“两个三角形全等”是“两个三角形的三边分别相等”的充要条件,故B正确.当xy>0时,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充要条件,故C错误.正方形的对角线互相垂直且平分,但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四边形是正方形”不是“四边形的对角线互相垂直且平分”的充要条件,故D错误.故选AB. 探究点二 例2　解:设x1,x2是方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0的两个根,由已知可得解得1<a<2或a>10,即所求充要条件为“1<a<2,或a>10”. 变式　m=±2　[解析] 因为A∩B={4},所以4∈A,又-2≠4,所以m2=4,解得m=±2.经验证m=±2符合题意,则所求充要条件是“m=±2”. 探究点三 例3　证明:若关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 则x=1满足方程ax2+bx+c=0, ∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 若a+b+c=0,则c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,因此,方程有一个根为1.故“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1”的充要条件是“a+b+c=0”. 变式　证明:必要性:若∠A=∠B,则a=b,得a2-b2-ac+bc=0. 充分性:a2-b2-ac+bc=(a+b)·(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c),若a2-b2-ac+bc=0成立, 则(a-b)(a+b-c)=0成立.∵在△ABC中,a+b-c>0, ∴a-b=0,∴a=b,∴∠A=∠B. 综上可知,“a2-b2-ac+bc=0”的充要条件是“∠A=∠B”. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　充要条件 【学习目标】 1.理解充要条件的定义,掌握充分、必要条件的四种类型. 2.会判断条件和结论的关系. 3.通过判断p与q的关系引导充要条件的定义,由诱导探究的方法归纳出判断“p是q的什么条件”的步骤及方法(定义法、集合法、传递法). ◆ 知识点　充要条件 1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的　　　　　,记作p　　　　q.   p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”. 当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. 2.如果p⇒q,q⇒/ p,则称p是q的充分不必要条件; 如果p⇒/ q,q⇒p,则称p是q的必要不充分条件; 如果p⇒/ q,q⇒/ p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x=y=0”是“x2+y2=0”的充要条件. (　 ) (2)若“p不能推出q”和“q不能推出p”有一个成立,则p一定不是q的充要条件. (　 ) ◆ 探究点一　充要条件的判定　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)设A,B是两个集合,则“A⊆B”是“A∪B=B”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选题)[2024·广东东莞东华高级中学月考] 下列四个选项中,p是q的充要条件的有(　 ) A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等 B.p:两个三角形全等,q:两个三角形的三边分别相等 C.p:xy>0,q:x>0,y>0 D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分 [素养小结] 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断. (3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性. ◆ 探究点二　根据充要条件求参数 例2 求“关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个不同的正根”的充要条件.(附:由a2-12a+20>0,得a<2或a>10) 变式 [2024·河北邢台翰林中学高一月考] 若集合A={-2,m2},集合B={2,4},则“A∩B={4}”的充要条件是 　　　　.  [素养小结] p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.已知两个条件为充要条件求参数的值,通常转化为两个集合相等列方程(组)来求解. ◆ 探究点三　充要条件的证明 例3 求证:“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1”的充要条件是“a+b+c=0”. 变式 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,求证:“a2-b2-ac+bc=0”的充要条件是“∠A=∠B”. [素养小结] 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.证明充要条件要分两个环节:一是证明充分性成立;二是证明必要性成立. 学科网（北京）股份有限公司 $