第1章 §1 集合 1.2 集合的基本关系(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集的概念及性质，集合相等的定义，以及用Venn图表达集合关系的方法，形成“概念定义-性质探究-应用判断”的学习支架，为后续集合运算学习奠定基础。 该资料通过诊断分析判断正误培养数学推理意识，结合Venn图和探究例题发展几何直观与抽象能力。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后学生可借助变式练习和素养小结查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

1.2　集合的基本关系 【学习目标】 1.了解集合之间的包含、相等关系的含义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.能利用Venn图表达集合间的关系. ◆ 知识点一　子集 1.子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集,记作　　　　(或　　　　),读作“A　　　　　B”(或“B　　　　A”).  2.子集的性质: (1)任何一个集合都是它本身的子集,即　　　　.  (2)规定:空集是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有　　　　.  3.Venn图:为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.如A⊆B,可用Venn图(如图)表示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C. (　 ) (2)若A⊆B,则集合A是由集合B的部分元素组成的. (　 ) (3){0}⊆Z,⌀⊆{1,2}. (　 ) ◆ 知识点二　集合相等 1.定义:对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B. 2.表示:可用Venn图(如图)表示.即对于两个集合A与B,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若x∈A且x∈B,则A=B. (　 ) (2){2,7}={(2,7)}. (　 ) ◆ 知识点三　真子集 1.真子集:对于两个集合A与B,如果　　　,且　　　　,那么称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A),读作“A　　　　　B”(或“B　　　　　A”).可用Venn图(如图)表示.  2.集合的基本关系(如图): 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若A⫋B,则集合A,B都是非空集合. (　 ) (2){x|x>3}⫋{x|x≥3}. (　 ) (3)当A⫋B时,A⊆B一定成立. (　 ) ◆ 探究点一　判断集合之间的关系 例1 (1)下列表示集合M={1,-1,2,-2}和集合N={x|x2-4=0}关系的Venn图中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A B C D (2)已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},则P与Q的关系是 (　 ) A.P=Q B.P⊆Q C.Q⊆P D.Q⫋P (3)(多选题)已知集合A={x|x>2},B={x|x>3},则下列说法中正确的是 (　 ) A.存在x∈A,使x∉B B.对于任意的x∈A,都有x∈B C.A⊆B D.B是A的真子集 变式 判断下列各组中两个集合之间的关系. (1)集合A={-1,1}与B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)集合A={x|-1<x<4}与B={x|x-5<0}; (3)集合A={x|x是等边三角形}与B={x|x是等腰三角形}; (4)集合M={x|x=2n-1,n∈N*}与N={x|x=2n+1,n∈N*}; (5)集合A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}与B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}. [素养小结] 判断集合间关系的方法: (1)用定义判断.(2)结合数轴判断.(3)用Venn图判断. ◆ 探究点二　确定有限集合的子集、真子集 [提问] 当所给集合中元素的个数较少时,求其子集(或真子集)的个数可采用什么方法?     例2 已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={0,1,2,3,4},写出满足A⊆C⊆B的集合C. 变式1 若集合A={x∈Z|m<x<4}有15个真子集,则实数m的取值范围为 (　 ) A.[-1,0) B.(-1,0] C.(-1,0) D.[-1,0] 变式2 设Y是由6的所有正约数组成的集合,写出集合Y的所有子集. [素养小结] 1.对于含有有限个元素的集合,求该集合的子集或真子集时,有三个关键点: (1)确定该集合; (2)合理分类; (3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 2.非空集合(元素个数为n)的子集的个数为2n. 拓展 已知集合A={x|x≤2,x∈N},若B⊆A且B≠A,则满足条件的集合B的个数为 (　 ) A.3 B.4 C.7 D.8 ◆ 探究点三　由集合的基本关系求参数 例3 (1)设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若M⊆N,则k的取值范围是 (　 ) A.k≤2 B.k≥2 C.k>-1 D.k≤-1 (2)设集合A={x|x2-9x+14=0},B={x|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值组成的集合C=　　　　　　.  (3)已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值. 变式 已知a>0,集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4}.若A⫋B,则实数a的取值范围是　　　　.  [素养小结] 根据集合的关系求参数的值或取值范围时, 需要把集合语言转换为方程或不等式,然后灵活应用解方程的方法或利用数形结合求解.要特别注意考虑⌀是否满足题意. 拓展 已知集合A={x|ax=1},B={x|x2+3x-4=0},是否存在实数a,使B⊆A成立?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　集合的基本关系 【课前预习】 知识点一 1.A⊆B　B⊇A　包含于　包含　2.(1)A⊆A　(2)⌀⊆A 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)如图,利用Venn图可知正确. (2)集合A也可以是空集,所以错误. (3)因为0∈Z,空集是任何集合的子集,所以{0}⊆Z,⌀⊆{1,2},正确. 知识点二 诊断分析 (1)×　(2)×　[解析] (1)如A={1,2},B={2,3},满足2∈A,2∈B,但A≠B,错误. (2)集合{2,7}是数集,含有两个元素2,7,集合{(2,7)}是点集,含有一个元素(2,7),错误. 知识点三 1.A⊆B　A≠B　真包含于　真包含 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)A可以是空集,但集合B一定是非空集合. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)B　(3)AD　[解析] (1)集合M={1,-1,2,-2},集合N={2,-2},所以N是M的真子集.故选B. (2)因为P={x|y=},所以x-1≥0,即x≥1,故P=[1,+∞).因为Q={y|y=},且y=≥0,所以Q=[0,+∞).则P⊆Q,因此A,C,D错误,B正确. (3)当x=时,满足x∈A,x∉B,所以A正确,B不正确;由A={x|x>2},B={x|x>3},可得B⊆A,且B是A的真子集,所以C不正确,D正确.故选AD. 变式　解:(1)集合A中的元素表示实数,集合B中的元素表示有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)由题意知,集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B. (3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B. (4)集合M是正奇数组成的集合,包含元素“1”,集合N是大于或等于3的正奇数组成的集合,不包含元素“1”,故N⫋M. (5)因为对于任意的k1∈Z,有k1=2×(-k1)+3k1∈A,所以A={x|x=2a+3b,a∈Z,b∈Z}=Z. 因为对于任意的k2∈Z,有k2=4k2-3k2∈B,所以B={x|x=4m-3n,m∈Z,n∈Z}=Z,所以A=B=Z. 探究点二 提问 解:列举法. 例2　解:由题知A={1,3},B={0,1,2,3,4},因为A⊆C⊆B,所以C一定含有元素1,3,故满足A⊆C⊆B的集合C为{1,3},{1,3,0},{1,3,2},{1,3,4},{1,3,0,2},{1,3,0,4},{1,3,2,4},{1,3,0,2,4},共8个. 变式1　A　[解析] 因为集合A有15个真子集,所以集合A中有4个元素,所以-1≤m<0,即实数m的取值范围为[-1,0).故选A. 变式2　解:因为6的正约数为1,2,3,6,所以集合Y={1,2,3,6},所以集合Y的子集为⌀,{1},{2},{3},{6},{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6},{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6},{1,2,3,6},共16个. 拓展　C　[解析] 集合A={x|x≤2,x∈N}={0,1,2},因为B⊆A且B≠A,所以集合B为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},所以满足条件的集合B的个数为7.故选C. 探究点三 例3　(1)B　(2)　[解析] (1)由题意知N={x|x≤k},∵M⊆N,M={x|-1≤x<2},∴k≥2.故选B. (2)由x2-9x+14=0,解得x=2或x=7,所以集合A={x|x2-9x+14=0}={2,7}.当a=0时,方程ax-1=0无解,则B={x|ax-1=0}=⌀,满足题意;当a≠0时,由ax-1=0,解得x=,所以=2或=7,解得a=或a=.综上所述,实数a的值组成的集合C=. (3)由A=B,可得或解得或或 当x=0,y=0时,集合A,B中的元素不满足互异性,舍去. 所以或 变式　(0,2]　[解析] 因为A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|x≤3,或x≥4},A⫋B,且a>0,所以1+a≤3或1-a≥4,可得0<a≤2,即a的取值范围为(0,2]. 拓展　解:不存在满足题意的实数a.因为集合B={1,-4},而集合A中无论a取什么值,集合A要么是空集,要么是只含有一个元素的集合,所以仅从元素的个数就可判断B⊆A不可能成立. 学科网（北京）股份有限公司 $