专题2.2 全称量词与存在量词（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词，系统梳理量词含义及符号、命题识别与真假判断、否定规则（量词互换+结论否定），并延伸至含参恒成立与有解综合问题，构建从概念到应用的完整学习支架，含思维导图辅助知识梳理。 资料通过即学即练与变式训练结合，强化数学思维的逻辑推理，如命题否定规则的层层递进练习。以符号化改写和含参问题培养数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后便于学生查漏补缺，提升逻辑严谨性。

专题2.2 全称量词与存在量词 教学目标 理解全称量词、存在量词的含义，熟记两类量词标准符号； 区分全称量词命题、存在量词命题，能规范写出命题形式； 掌握两类量词命题真假判断方法，会举反例 / 证明成立； 熟练写出全称、存在量词命题的否定，掌握 “量词互换、结论否定” 核心规则； 能结合集合、方程、不等式解决含参量词综合题型，提升逻辑推理严谨性。 教学重难点 1.重点 全称量词、存在量词定义与符号：（任意）、（存在）； 全称量词命题、存在量词命题的结构识别； 两类命题真假判定； 全称命题、存在命题的否定改写规则。 2.难点 命题否定时量词互换+结论完整否定，易漏改量词； 含不等式、二次方程的量词命题真假分析； “恒成立（全称）”“有解（存在）” 含参综合问题； 区分普通陈述句与带量词的含量词命题。 知识点 01 全称量词与全称量词命题 全称量词：表示 、 的词语 常见词汇： 、 、 、 、 、 符号：，读作 “任意” 全称量词命题：含有全称量词的命题 标准形式：文字翻译：对集合M中任意一个x，都满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中所有元素都满足p(x)； 假命题：只需找到1 个反例，存在使不成立。 【即学即练】 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 知识点 02 存在量词与存在量词命题 存在量词：表示 、 对象的词语 常见词汇： 、 、 、 、 符号：，读作 “存在” 存在量词命题：含有存在量词的命题 标准形式：文字翻译：集合M中存在至少一个x，满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中能找到至少 1 个元素满足p(x)； 假命题：集合M中全部元素都不满足p(x)。 【即学即练】 下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 知识点 03 全称量词命题与存在量词命题的否定（核心考点） 核心改写规则：量词互换，结论否定 全称命题的否定 → 原命题：否定： 逻辑：“全部都成立” 的反面是 “至少有一个不成立” 存在命题的否定 → 原命题：否定： 逻辑：“存在一个成立” 的反面是 “全部都不成立” 常见结论否定对照表 表格 原结论 否定形式 > < = 是 都有 / 全部成立 至多 1 个 至少 1 个 【即学即练】 命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点 04 恒成立、有解问题（量词与含参综合基础） 恒成立问题 ⇔ 全称量词命题 恒成立：对区间内 不等式都成立 有解问题 ⇔ 存在量词命题有解：区间内 使不等式成立 基础区分： 恒成立：找最小值满足条件； 有解：找最大值满足条件。 【即学即练】 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 01 将文字命题改写为符号标准形式 【典例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【变式1】用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【变式2】将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【变式3】用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 题型 02 全称量词命题真假判断 【典例1】用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 【变式1】下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【变式2】下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【变式3】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 题型 03 存在量词命题真假判断 【典例1】下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【变式2】下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 题型 4 求全称命题的否定（高频基础题） 【典例1】下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【变式1】命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式3】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 题型 05 求存在命题的否定（易错题） 【典例1】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式1】命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型 06 已知全称命题为真，求参数取值范围（恒成立问题） 【典例1】已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【变式1】命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【变式2】设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 题型 07 已知存在命题为真，求参数取值范围（有解问题） 【典例1】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【变式2】已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【变式3】已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 1．已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 5．已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 6．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 9．已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 11．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 12．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 13．下列命题是全称量词命题且为假命题的是（    ） A． B． C．矩形的对角线互相平分且相等 D．所有的素数都是奇数 14．用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 1．下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 2．（多选）下列命题说法错误的是（   ） A． B． C．的充要条件是 D．若，且，则中至少有一个大于1 3．下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 4．下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．下列说法正确的是（   ） A．命题“”为真命题 B．“”的否定是“” C．命题“”为真命题 D．“3是方程的一个根”的否定是“3不是方程的一个根” 6．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 7．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 全称量词与存在量词 教学目标 理解全称量词、存在量词的含义，熟记两类量词标准符号； 区分全称量词命题、存在量词命题，能规范写出命题形式； 掌握两类量词命题真假判断方法，会举反例 / 证明成立； 熟练写出全称、存在量词命题的否定，掌握 “量词互换、结论否定” 核心规则； 能结合集合、方程、不等式解决含参量词综合题型，提升逻辑推理严谨性。 教学重难点 1.重点 全称量词、存在量词定义与符号：（任意）、（存在）； 全称量词命题、存在量词命题的结构识别； 两类命题真假判定； 全称命题、存在命题的否定改写规则。 2.难点 命题否定时量词互换+结论完整否定，易漏改量词； 含不等式、二次方程的量词命题真假分析； “恒成立（全称）”“有解（存在）” 含参综合问题； 区分普通陈述句与带量词的含量词命题。 知识点 01 全称量词与全称量词命题 全称量词：表示全体、全部对象的词语 常见词汇：所有、任意、全部、每一个、一切、凡是 符号：，读作 “任意” 全称量词命题：含有全称量词的命题 标准形式：文字翻译：对集合M中任意一个x，都满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中所有元素都满足p(x)； 假命题：只需找到1 个反例，存在使不成立。 【即学即练】 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【分析】先判断各命题的量词类型筛选出全称量词命题，再验证命题真假即可得解 【详解】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 知识点 02 存在量词与存在量词命题 存在量词：表示部分、至少有一个对象的词语 常见词汇：存在、有一个、至少有一个、有些、某个 符号：，读作 “存在” 存在量词命题：含有存在量词的命题 标准形式：文字翻译：集合M中存在至少一个x，满足条件p(x) 真假判定 真命题：集合M中能找到至少 1 个元素满足p(x)； 假命题：集合M中全部元素都不满足p(x)。 【即学即练】 下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 知识点 03 全称量词命题与存在量词命题的否定（核心考点） 核心改写规则：量词互换，结论否定 全称命题的否定 → 存在命题 原命题：否定： 逻辑：“全部都成立” 的反面是 “至少有一个不成立” 存在命题的否定 → 全称命题 原命题：否定： 逻辑：“存在一个成立” 的反面是 “全部都不成立” 常见结论否定对照表 表格 原结论 否定形式 > < = 是 不是 都有 / 全部成立 不都有、至少一个不成立 至多 1 个 至少 2 个 至少 1 个 一个都没有 【即学即练】 命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定规则，更换量词并否定结论即可求解． 【详解】全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”． 所以命题“，”的否定是“，”． 知识点 04 恒成立、有解问题（量词与含参综合基础） 恒成立问题 ⇔ 全称量词命题 恒成立：对区间内所有x不等式都成立 有解问题 ⇔ 存在量词命题有解：区间内至少一个x使不等式成立 基础区分： 恒成立：找最小值满足条件； 有解：找最大值满足条件。 【即学即练】 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 题型 01 将文字命题改写为符号标准形式 【典例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 【变式1】用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 【变式2】将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的意义，改写命题. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式3】用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 题型 02 全称量词命题真假判断 【典例1】用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假. 【详解】（1）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． （2）命题表示为“，”． 因为，，所以该命题为真命题． （3）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． 【变式1】下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 【变式2】下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 【变式3】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 题型 03 存在量词命题真假判断 【典例1】下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 【变式1】下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念逐一判断即可. 【详解】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 【变式2】下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 题型 4 求全称命题的否定（高频基础题） 【典例1】下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 【变式1】命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】就是对命题改量词并否结论，所以，． 【变式2】命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 【变式3】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解不等式可得， 通过否定命题的定义可知，的否定为. 题型 05 求存在命题的否定（易错题） 【典例1】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保留原变量的取值范围、否定结论即可求解. 【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 【变式1】命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据命题否定的定义可知，，的否定为，. 【变式2】命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据特称量词的否定选出答案即可. 【详解】命题p：，的否定是，， 故选：B． 题型 06 已知全称命题为真，求参数取值范围（恒成立问题） 【典例1】已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 【变式1】命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 【变式2】设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 【变式3】若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 题型 07 已知存在命题为真，求参数取值范围（有解问题） 【典例1】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 【变式1】已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 【变式2】已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 【变式3】已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可. （2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可. 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 1．已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】先判断命题的真假： 分式不等式等价于且，解得或， 恰好对应命题给出的取值范围， ∴ ，恒成立，故为真命题，为假命题. 再判断命题的真假： 不等式化简得，即， ∵ ，∴ 不等式等价于，解得， 即当时，成立，例如取，，满足条件， ∴ ，成立，故为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题，A选项正确. 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足且，故A正确； 对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故D错误． 3．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 对于C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 4．已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先判断集合B是A的真子集，再区分存在量词、全称量词含义：存在命题只需举一个满足的例子即可成立，全称命题需全部元素满足才成立，依次代入特殊值3、1验证四个选项，得出A正确． 【详解】，， 对于A，，，这是存在量词命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，A正确； 对于B，，，这是存在量词命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，B错误； 对于C，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，C错误； 对于D，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，D错误． 5．已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，若取，满足 且，故A正确； 对于B，因为集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，若取，而，故C错误； 对于D，若取，但，故D错误． 6．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数性质求出，根据全称命题为真直接求参即可. 【详解】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 7．已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则， 故是真命题. 8．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题， 因为集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 9．已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A， ，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题， 因为集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 10．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解全称量词和存在量词，存在就是有就可以，任意是所有的都要满足，利用这些知识进行求解即可得到答案. 【详解】， 选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； 选项B，，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误. 故选：A. 11．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法确定命题真假即可. 【详解】对于命题，取，，是假命题，是真命题， 对于命题，取，，是真命题，是假命题， 因此选项ACD错误，B正确. 故选：B 12．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定规则，改换量词、否定结论、保持取值范围不变即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 13．下列命题是全称量词命题且为假命题的是（    ） A． B． C．矩形的对角线互相平分且相等 D．所有的素数都是奇数 【答案】AD 【分析】根据全称量词命题的定义和全称量词命题真假的判断方法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，当时，，故A选项是全称量词命题且为假命题； 对于B，当时，成立，故B选项是存在量词命题且真命题； 对于C，所有矩形的对角线互相平分且相等，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，所有的素数都是奇数， 2为素数且为偶数，故D选项是全称量词命题且为假命题. 故选：AD. 14．用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 【答案】(1)，； (2)，，，使得； (3)，则． 【详解】（1），； （2），，，使得； （3），则． 1．下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【详解】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 2．（多选）下列命题说法错误的是（   ） A． B． C．的充要条件是 D．若，且，则中至少有一个大于1 【答案】ABC 【详解】对于A：根据指数函数的性质可知恒成立，故A错误； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：当时，无意义，所以必要性不成立，故C错误； 对于D：假设，则与矛盾，所以假设不成立，故D正确. 3．下列命题中，正确的是（   ） A．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“，”是真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】使用全称量词命题，命题的否定，充分条件与必要条件的判断方法求解. 【详解】“至少有一个x，使成立”是特称量词命题，A选项错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 当时，，，，C选项错误； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； 4．下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】根据全称量词命题的特征可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 5．下列说法正确的是（   ） A．命题“”为真命题 B．“”的否定是“” C．命题“”为真命题 D．“3是方程的一个根”的否定是“3不是方程的一个根” 【答案】ABD 【分析】根据含有量词命题的真假性判断AC；根据命题的否定判断BD. 【详解】对于选项A：令，解得， 所以命题“”为真命题，故A正确； 对于选项B：“”的否定是“”，故B正确； 对于选项C：因为，所以命题“”为假命题，故C错误； 对于选项D：“3是方程的一个根”的否定是“3不是方程的一个根”，故D正确； 故选：ABD. 6．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 7．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 8．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解， 则，解得， 故集合； （2）由条件可知， ①当时，，解得，满足； ②当，则需使，解得. 由①②可知，实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $