第1章 §1 集合 1.3 集合的基本运算 第2课时 集合的基本运算(二)—— 全集与补集(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算（二）——全集与补集，在子集、交集、并集基础上引入全集概念，系统讲解补集的定义、符号表示、图形表示及性质，构建集合运算的完整知识支架。 该资料通过诊断分析强化概念理解，探究点分层次设计补集运算、混合运算及参数问题，结合Venn图与数轴直观表达（数学眼光的几何直观），例题与变式训练提升推理能力（数学思维），素养小结归纳方法，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第2课时　集合的基本运算(二)—— 全集与补集 【课前预习】 知识点 1.U　2.{x|x∈U,且x∉A} 3.(1)U　⌀　(2)A　⌀　U 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)补集也是集合之间的一种运算,其结果也是集合形式,所以(1)错误. (2)∁BC所对应的全集是集合B,而不是集合A,所以∁BC={1,5},所以(2)错误. (3)根据补集与全集的定义可知(3)正确. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)A　(3){x|x是无理数}　[解析] (1)因为集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5}, 所以∁UM={0,1,2},故选B. (2)由集合A=(1,+∞),得∁RA=(-∞,1].故选A. (3)因为实数包含有理数和无理数,所以∁UA={x|x是无理数}. 探究点二 例2　解:因为集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|2<x<10},所以∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.易知A∩B={x|3≤x<7}, 所以∁R(A∩B)={x|x<3,或x≥7}. 因为A={x|3≤x<7},所以∁RA={x|x<3,或x≥7}, 所以(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. 因为B={x|2<x<10},所以∁RB={x|x≤2,或x≥10}, 所以A∪(∁RB)={x|x≤2,或3≤x<7,或x≥10}. 变式　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵全集U={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},∴∁UA={0,3,4}, ∁UB={0,1,4},∴(∁UA)∩(∁UB)={0,4}. (2)由题图可知,图中阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B,因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},故∁UA={2,5,6,7},则(∁UA)∩B={2,5,6},故选C. 探究点三 例3　解:方法一:由A={x|x+m≥0}={x|x≥-m}, 得∁UA={x|x<-m}. 因为B={x|-2<x<4},(∁UA)∩B=⌀, 所以-m≤-2,即m≥2,故实数m的取值范围是[2,+∞). 方法二:由(∁UA)∩B=⌀可知B⊆A,因为B={x|-2<x<4},A={x|x+m≥0}={x|x≥-m}, 所以-m≤-2,即m≥2,故实数m的取值范围是[2,+∞). 变式　(1)D　(2)AD　[解析] (1)∵全集U={1,2,3,4},∁UM={1,4},∴集合M={x∈U|x2-5x+p=0}={2,3},∴方程x2-5x+p=0的两个根为2和3,则p=2×3=6.故选D. (2)因为全集U=R,集合A={x|x≤a},所以∁UA={x|x>a}.又集合B={x|x<1},所以若B∪(∁UA) =R,则实数a的取值范围是(-∞,1);若B∩(∁UA)=⌀,则实数a的取值范围是[1,+∞),故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　集合的基本运算(二)—— 全集与补集 【学习目标】 1.在具体情境中,了解全集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 3.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. ◆ 知识点　全集与补集 1.全集的概念:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号　　　　表示.  2.补集的概念: 定义 设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集 符号表示 记作∁UA,即∁UA=　　　　　　　  图形表示 3.补集的性质: (1)A∪(∁UA)=　　　,A∩(∁UA)=　　　.  (2)∁U(∁UA)=　　　,∁UU=　　　,∁U⌀=　　　.  (3)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB), ∁U(A∪B)=(∁UA) ∩(∁UB). 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若全集U={1,2,3,4},集合A={2,3,4},则∁UA=1. (　 ) (2)若集合A={1,2,3,4,5},B={1,3,5},C={3},则∁AB={2,4},∁BC={1,2,4,5}. (　 ) (3)若集合A={1,3,5},∁UA={2,4},则U={1,2,3,4,5}. (　 ) ◆ 探究点一　补集的运算　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)已知集合U={0,1,2,3,4,5},M={3,4,5},则∁UM= (　 ) A.{0,1,2,3,4,5} B.{0,1,2} C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5} (2)已知集合A=(1,+∞),则∁RA= (　 ) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.[-1,+∞) (3)已知全集U={x|x是实数},A={x|x是有理数},则∁UA=　　　　　　　.  [素养小结] 求集合补集的方法:(1)定义法:当集合是由列举法表示时,可利用定义直接求解.(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出补集.(3)数轴法:当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴求解,但需注意端点能否取到. ◆ 探究点二　交集、并集、补集的混合运算 例2 已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B, A∪(∁RB). 变式 (1)设全集U={x∈N|x≤4},集合A={1,2},B={2,3},则(∁UA)∩(∁UB)= (　 ) A.{0,4} B.{4} C.{1,2,3} D.⌀ (2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,4,8},B={2,4,5,6},则图中阴影部分所表示的集合是 (　 ) A.{2,5} B.{4,6} C.{2,5,6} D.{1,3,8} [素养小结] 交集、并集、补集的综合运算问题的解法:(1)对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.(2)对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,解答过程中注意端点值的取舍. ◆ 探究点三　由补集运算求参数 例3 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=⌀,求实数m的取值范围. 变式 (1)设全集U={1,2,3,4},集合M={x∈U|x2-5x+p=0},若∁UM={1,4},则p的值为 (　 ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 (2)(多选题)[2024·河南济源高级中学高一月考] 已知全集U=R,集合A={x|x≤a},集合B={x|x<1},则下列说法中正确的是 (　 ) A.若B∪(∁UA)=R,则实数a的取值范围是(-∞,1) B.若B∪(∁UA)=R,则实数a的取值范围是(-∞,1] C.若B∩(∁UA)=⌀,则实数a的取值范围是(1,+∞) D.若B∩(∁UA)=⌀,则实数a的取值范围是[1,+∞) [素养小结] 根据补集的运算结果求参数的值或取值范围时,关键是利用补集的定义,即补集∁UA中的元素在全集中不在集合A中,列方程(组)求解.但要注意分类讨论并检验所得结果是否保证U是全集、是否满足集合中元素的互异性. 学科网（北京）股份有限公司 $