第1章 1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全集、补集及综合应用”核心知识点，从考试选项、同学集合等情境导入，系统梳理全集与补集的含义、文字符号图形语言定义及性质，构建从概念到交并补综合运算，再到参数求解与新定义问题的学习支架。 该资料以生活情境激发兴趣，通过Venn图和数轴直观表征培养几何直观，分层练习提升运算能力与推理意识，新定义问题发展创新意识。课中辅助教师直观教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　全集、补集及综合应用 新课导入 学习目标 　　在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识． 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 3．会用Venn图、数轴解决集合的综合运算问题． 如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F. 思考1　这三个集合之间有什么联系？ 提示：S＝M∪F，M∩F＝∅. 思考2　如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 提示：x∈F. [知识梳理] 1．全集 定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 记法：通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数集问题的全集一定是R.(　　) (2)集合∁BC与∁AC相等．(　　) (3)A∩(∁UA)＝∅.(　　) (4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知全集U＝{－5，－2，0，1}，∁UA＝{0，1}，则A＝(　　) A．{－5，0} B．{－5，－2} C．{－2，0} D．{－2，1} 解析：选B.因为U＝{－5，－2，0，1}， ∁UA＝{0，1}，所以A＝{－5，－2}． 3．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，则∁UA的真子集个数为________． 解析：由全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，得∁UA＝{3，4，5}，因此∁UA中有3个元素，其真子集个数为23－1＝7. 答案：7 4．若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或1＜x≤2}，则∁UA＝________． 解析：如图，由补集定义可知∁UA表示图中阴影部分，故∁UA＝{x|0<x≤1或2<x≤3}．　 答案：{x|0＜x≤1或2＜x≤3} 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． [例1] (1)设集合U＝{x∈N＋|x≤4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{3} B．{1，2，3，4} C．{3，4} D．{2，3，4} (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则(∁UA)∪B＝____________，A∩(∁UB)＝________． 【解析】　(1)由条件可得，U＝{1，2，3，4}，A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3}． (2)根据题意，画出数轴， 由图1可得∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}． 由图2可得∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．　 【答案】　(1)A　(2){x|x≤2，或3≤x≤4}　{x|2<x<3} 集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； (3)注意对运算结果进行检验． [跟踪训练1] (1)(2026·驻马店月考)已知全集U＝{－2，2，4，6}，集合A＝{－2，2，4}，B＝{2，4，6}，则(∁UA)∪(∁UB)＝(　　) A．{2，4} B．{－2，6} C．{2} D．{6} 解析：选B.方法一：由题意得∁UA＝{6}，∁UB＝{－2}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝{－2，6}． 方法二：因为A∩B＝{2，4}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{－2，6}． (2)如图，设全集U＝R，M＝{x|x＜－1}，N＝{x|－3＜x＜0}，则图中的阴影部分表示的集合为________． 解析：题图表示的集合为(∁UM)∩N＝{x|x≥－1}∩{x|－3＜x＜0}＝{x|－1≤x＜0}． 答案：{x|－1≤x＜0} 应用点一　利用集合间的关系求参数 [例2] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，则实数m的取值范围为__________． 【解析】　由已知A＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图， 所以－m≤－2，即m≥2. 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}． 【答案】　{m|m≥2} 母题探究　若将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则实数m的取值范围为____________． 解析：因为A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆∁UA， 所以－m≥4，解得m≤－4. 所以实数m的取值范围是{m|m≤－4}． 答案：{m|m≤－4} 由集合的补集求解参数的方法 (1)对于由补集求参数问题，当集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，当集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解． [跟踪训练2] (1)(2026·焦作月考)已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．－1或－2或2 解析：选A.由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2. (2)已知a∈R，集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|－1＜x＜2}，A∪(∁RB)＝R，则a的取值范围是________． 解析：因为B＝{x|－1＜x＜2}， 所以∁RB＝{x|x≤－1或x≥2}． 又因为A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x＞a}， 观察∁RB与A在数轴上表示的范围，如图所示， 所以当a≤－1时，A∪(∁RB)＝R. 答案：a≤－1 应用点二　集合的新定义问题 [例3] (1)若x∈A，则－x∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝{－2，－1，0，1，2，3}的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是(　　) A．6 B．7 C．3 D．1 (2)(2026·淮北月考)对于集合M，N，定义M－N的运算结果为图中阴影部分表示的集合，定义M⊕N＝(M－N)∪(N－M).若全集U＝R，A＝{x|x＋2≥0}，B＝{x|x<0}，则A⊕B＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x<－2} C．{x|x<－2或x≥0} D．{x|x≤－2或x>0} 【解析】　(1)若x＝－2，则－x＝2； 若x＝－1，则－x＝1； 若x＝0，则－x＝0， 则{－2，2}，{－1，1}，{0}，{－2，2，0}，{－1，1，0}，{－2，2，－1，1}，{－2，2，0，－1，1}为“伙伴关系”集合，共7个． (2)因为M－N＝M∩(∁UN)，所以A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x≥－2}∩{x|x≥0}＝{x|x≥0}，B－A＝B∩(∁RA)＝{x|x<0}∩{x|x<－2}＝{x|x<－2}，所以A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝{x|x≥0}∪{x|x<－2}＝{x|x<－2或x≥0}． 【答案】　(1)B　(2)C 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义．分析新定义，把新定义的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解集合中的新定义问题的关键． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． [跟踪训练3] 给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个． 解析：若集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 答案：6 1．已知全集U＝{x|0＜x＜4}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁UA＝(　　) A．{x|2＜x＜4} B．{x|2＜x≤4} C．{x|2≤x＜4} D．{x|2≤x≤4} 解析：选C.由题意，易得∁UA＝{x|2≤x＜4}． 2．(多选)图中阴影部分用集合表示正确的是(　　) A．A∩B B．∁A(A∩(∁UB)) C．∁U(A∩B) D．(∁UA)∩(∁UB) 解析：选AB.根据题图可知，阴影部分表示的集合是A∩B＝∁A(A∩(∁UB))，所以A，B正确，C错误，而(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，不符合题意，D错误． 3．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤5}，A∩(∁UB)＝{1，3，5}，则B＝________． 解析：由题意，U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，因为A∩(∁UB)＝{1，3，5}，所以1∈A，3∈A，5∈A，1∉B，3∉B，5∉B，即B＝{0，2，4}． 答案：{0，2，4} 4．(2026·北京期中)定义某种运算“⊗”如下：a⊗b＝ 则集合M＝中的元素个数是______． 解析：因为a⊗b＝6，且a，b∈N＋， 若a，b的奇偶性相同，则a＋b＝6，满足条件的(a，b)有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)； 若a，b的奇偶性不相同，则a×b＝6， 满足条件的(a，b)有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1). 综上所述，集合M中的元素个数是9. 答案：9 1．已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集合间的关系求参数． 2．须贯通：补集相对于全集而存在，既是集合间的一种关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想(正难则反). 3．应注意：对补集和全集的概念理解不透彻，集合运算时要注意空集及端点值． 学科网（北京）股份有限公司 $