1.1.3 集合的基本运算-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算，系统梳理交集、并集、全集与补集的概念，通过“多维理解”抽象含义，“微点助解”明确关键细节，“微点练明”结合例题应用，构建从概念到应用的学习支架。 资料采用“逐点理清”式设计，通过辨析“所有”“或”等关键词培养数学语言精确性，结合高考真题提升数学思维的推理与运算能力，课中助力教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

1.3　集合的基本运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.能从实例中抽象出两个集合的并集、交集和全集、补集的含义. 2.能根据集合的运算结果判断两个集合之间的关系及简单应用. 3.能用Venn图表示两个集合的并集与交集及解决集合的综合问题. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 逐点清(一)　交　集 [多维理解] 　　交集的概念与性质 |微|点|助|解| (1)A∩B仍是一个集合; (2)文字语言中“所有”的含义:A∩B中任一元素都是A与B的公共元素,A与B的公共元素都属于A∩B; (3)如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B=∅. [微点练明] 1.(2024·全国甲卷)若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= (　　) A.{1,3,4} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9} 解析:选C　因为B={x|x+1∈A},分别令x+1=1,x+1=2,x+1=3,x+1=4,x+1=5,x+1=9,得x=0,1,2,3,4,8,所以B={0,1,2,3,4,8},于是A∩B={1,2,3,4},故选C. 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析:选A　因为A={x|-5<x3<5}={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<<2,所以A∩B={-1,0}.故选A. 3.已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B等于 (　 ) A.{2,1} B.{x=2,y=1} C.{(2,1)} D.(2,1) 解析:选C　A∩B=={(2,1)}. 4.已知集合M={x|-2≤x-1≤2},N={x|x=2k-1,k∈N+},Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有 　　　　个. 解析:M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有2个元素. 答案:2 逐点清(二)　并　集 [多维理解] 　　并集的概念与性质 |微|点|助|解| (1)A∪B仍是一个集合; (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况: ①x∈A且x∉B; ②x∈A且x∈B; ③x∉A且x∈B; (3)对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性. [微点练明] 1.(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N= (　 ) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 解析:选C　由集合的并运算,得M∪N={x|-3<x<4}. 2.已知集合M={0,1},则满足M∪N={0,1,2}的集合N的个数是 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:选C　依题意,可知满足M∪N={0,1,2}的集合N有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2},共4个.故选C. 3.已知集合A={1,2,3,4},A∪B={1,2,3,4,6},A∩B={2,4},则B= (　 ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{2,4,6} D.{1,4,6} 解析:选C　因为A={1,2,3,4},A∪B={1,2,3,4,6},所以6∈B,B⊆{1,2,3,4,6}.又因为A={1,2,3,4},A∩B={2,4},所以2∈B,4∈B,1∉B,3∉B.故B={2,4,6}. 4.设S={x|x<-1或x>5},T={x|a<x<a+8},若S∪T=R,则实数a应满足 (　 ) A.{a|-3<a<-1} B.{a|-3≤a≤-1} C.{a|a≤-3或a>-1} D.{a|a<-3或a>-1} 解析:选A　在数轴上表示集合S,T,如图所示.因为S∪T=R,由数轴可得解得-3<a<-1.故选A. 逐点清(三)　全集与补集 [多维理解] 1.全集 在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示. 2.补集 文字 语言 设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 运算 性质 ①A∪(∁UA)=U; ②A∩(∁UA)= ∅; ③∁U(∁UA)=A; ④∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB); ⑤∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) |微|点|助|解| (1)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念. (2)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. [微点练明] 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM= (　 ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 答案:C 2.设全集U为R,已知集合A={x|x+2<0},则∁UA= (　 ) A.(-2,+∞) B.[-2,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 解析:选B　由题意,可得A={x|x+2<0}={x|x<-2},故∁UA={x|x≥-2}. 3.设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则 (　 ) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析:选A　由题意知M={2,4,5},故选A. 4.(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN= (　 ) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U 解析:选A　由题意知,∁UN={2,4,8},所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}.故选A. 5.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},∁UA={x|x<1或x≥2},则实数b=　　　　.  解析:因为∁UA={x|x<1或x≥2},所以A={x|1≤x<2}.所以b=2. 答案:2 [课时检测] 1.集合M={1,2,3,4,5},集合N={1,3,5},则 (　 ) A.N∈M B.M∪N=M C.M∩N=M D.M>N 解析:选B　因为NM,所以M∪N=M. 2.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x<-1},则A∪B= (　 ) A.[-2,-1) B.(-1,2] C.[-2,+∞) D.(-∞,2] 解析:选D　因为A={x|-2≤x≤2},B={x|x<-1},则A∪B=(-∞,2]. 3.已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且∁UA={-1},则a的值是 (　 ) A.-1 B.1 C.3 D.±1 答案:A 4.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={y|y=x+1,x∈A},则A∩B= (　 ) A.[-2,3] B.[-1,2] C.[-3,1] D.[-3,2] 解析:选B　因为A={x|-2≤x≤2},B={y|y=x+1,x∈A}={y|-1≤y≤3},所以A∩B=[-1,2]. 5.(多选)已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|x<0},则下列关系正确的是 (　 ) A.2∈A B.A⊆B C.A⊆(∁RB) D.A∪B={x|x<3} 解析:选AC　因为A={x|0<x<3},B={x|x<0},所以2∈A,故A正确;A不是B的子集,故B错误; ∁RB={x|x≥0},A⊆(∁RB),故C正确;A∪B={x|x<0或0<x<3},故D错误. 6.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于 (　 ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 解析:选B　(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩C={1,2,4}. 7.已知集合A={0,1,2},B={1,m},若A∩B=B,则实数m的值是 (　 ) A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2 解析:选C　因为A∩B=B,所以B⊆A,所以m=0或m=2,故选C. 8.已知集合A={(x,y)|x+y=8,x,y∈N*},B={(x,y)|y>x+1},则A∩B中元素的个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选B　依题意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中满足y>x+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5)},有3个元素.故选B. 9.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　因为A={1,2},B={2,4},所以A∪B={1,2,4},则∁U(A∪B)={3,5},共有2个元素. 10.若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是自恋数,已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合B={x∈Z|-3<x<4},则A∩B真子集的个数为 (　 ) A.3 B.4 C.7 D.8 解析:选C　由题中定义可知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},而B={x∈Z|-3<x<4},所以A∩B={1,2,3},因此A∩B真子集个数为23-1=7. 11.已知A,B均为实数集R的子集,∁RA⊆B,则A∪∁RB= (　 ) A.∅ B.A C.B D.R 解析:选B　∵∁RA⊆B,∴∁RB⊆A,∴A∪∁RB=A. 12.定义M-N={x|x∈M且x∉N},则M-(M-N)= (　 ) A.N B.M∩N C.M∪N D.M 解析:选B　如图,M-N={x|x∈M且x∉N}是指图(1)中的阴影部分.同样M-(M-N)是指图(2)中的阴影部分.即M∩N,故选B. 13.(5分)已知集合A=(-∞,2),B=(1,+∞),则A∩B=　　　　.  解析:∵集合A=(-∞,2),B=(1,+∞),∴A∩B=(1,2). 答案:(1,2) 14.(5分)已知全集U=R,M=(-1,1),∁UN={x|0<x<2},那么集合M∪N=　　　　.  解析:因为U=R,∁UN={x|0<x<2},所以N={x|x≤0或x≥2},所以M∪N={x|-1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}={x|x<1或x≥2}. 答案:{x|x<1或x≥2} 15.(10分)已知集合A={(x,y)|y=x+m},B={(x,y)|y=x2}. (1)当m=2时,求A∩B;(5分) (2)若A∩B=∅时,求实数m的取值范围.(5分) 解:(1)集合A={(x,y)|y=x+m},B={(x,y)|y=x2},当m=2时,A={(x,y)|y=x+2},由方程组解得或 所以A∩B={(-1,1),(2,4)}. (2)若A∩B=∅,即为y=x+m与y=x2无公共解,原问题等价于方程x2-x-m=0无解,则Δ=1+4m<0,解得m<-. 所以实数m的取值范围为. 16.(10分)已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求A∩B;(3分) (2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.(7分) 解:(1)由条件可得B={x|x≥2}, ∴A∩B={x|2≤x<3}. (2)由条件可得C=,而B∪C=C⇒B⊆C,则-<2⇒a>-4,即实数a的取值范围为{a|a>-4}. 学科网（北京）股份有限公司 $