1.1.2 集合的基本关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，涵盖子集、真子集、集合相等及空集含义，通过立德中学高一新生集合情境引入，借助Venn图直观表达，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，系统梳理定义、性质及符号表示。 资料特色在于情境化设计与直观工具结合，以“高一新生集合”案例培养数学抽象，Venn图和数轴运用提升直观想象，题型分层（判断、子集个数、参数求解）强化逻辑推理。课中辅助教师引导概念形成，课后练习题帮助学生巩固应用，查漏补缺。

1.2　集合的基本关系 课标 要求 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（数学抽象、逻辑推理）. 2.在具体情境中，了解空集的含义（数学抽象）. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）. 　　2026年开学季，立德中学高一新生组成集合A，其中高一（1）班的50位新生组成集合B. 【问题】　集合A与集合B有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　集合的基本关系 1.Venn图 定义：用平面上　封闭曲线　的内部表示集合，称为Venn图. 2.子集的相关概念 定义 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的　任何一个　元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 记法 A　⊆　B（或B⊇A） 图示 性质 （1）任何一个集合都是它本身的子集，即　A⊆A　； （2）　空集　是任何集合的子集； （3）对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则　A⊆C　 3.集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B　相等　，记作A＝B.可用Venn图（如图）表示.即对于两个集合A与B，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4.真子集的概念 定义 对于两个集合A与B，如果　A⊆B　，且　A≠B　，那么称集合A是集合B的真子集 记法 A⫋B（或B⫌A） 图示 性质 （1）空集是任何非空集合的真子集； （2）对于集合A，B，C，若A⫋B，且B⫋C，则A⫋C 提醒：在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空集没有子集.（　×　） （2）任何集合至少有两个子集.（　×　） （3）空集是任何一个集合的真子集.（　×　） （4）若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集.（　√　） 2.已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是（　　） A.M＜N B.M⊈N C.N⊆M D.M⫋N 解析：D　∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N.∴M⫋N，故选D. 3.已知集合A＝{0，－1}，B＝{0，1，2－a}，若A，B关系如图所示，则a＝（　　） A.1　　 　B.－1 C.－3　　 　D.3 解析：D　由图可知A⊆B，则－1＝2－a，所以a＝3. 4.设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝　－1　. 解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1. 题型一　集合间关系的判断 判断下列集合的关系： （1）A＝{1，2，3}，B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}； 解： B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}＝{1，2，3}＝A. （2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}； 解：集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⫋B. （3）A＝{x｜x是文学作品}，B＝{x｜x是散文}，C＝{x｜x是叙事散文}. 解：画出Venn图，可知C⫋B⫋A. 通性通法 判断集合间关系的常用方法 1.已知A＝{x｜x是正数}，B＝{x｜x是正整数}，C＝{x｜x是实数}，那么A，B，C之间的关系是（　　） A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A＝B⊆C 解析：B　集合A，B，C的关系如图. 2.〔多选〕下列关系中，正确的有（　　） A.0∈{0} B.∅⫋{0} C.{0，1}⫋{（0，1）} D.{（1，2）}＝{（2，1）} 解析：AB　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅⫋{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D，{（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误. 题型二　确定有限集合的子集、真子集及其个数 填写下表，回答后面的问题： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 真子集个数 {a} 1 {a，b} 2 {a，b，c} 3 {a，b，c，d} 4 （1）你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ （2）如果一个集合中有n个元素，你能用n表示出这个集合的子集、真子集个数吗？ （3）设集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，那么满足条件的集合A有多少个？ 解：填表： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 真子集个数 {a} 1 ∅，{a} 2 1 {a，b} 2 ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 3 {a，b，c} 3 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c} 8 7 {a，b，c，d} 4 ∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 15 （1）“子集个数”是2的“元素个数”次方. （2）能，这个集合的子集个数为2n.真子集个数为2n－1. （3）A的个数是集合{3，4，5}的子集的个数，即23＝8个. 通性通法 求集合子集、真子集个数的3个步骤 提醒：（1）要注意两个特殊的子集：∅和自身； （2）含有几个元素的集合，它的所有子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 1.满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，5}的集合M有　3　个. 解析：由{1，2}⫋M⊆{1，2，3，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，5}，故满足题意的集合M共有3个. 2.已知集合M＝{0，1}，N＝{－1，0，1}. （1）写出集合M的子集、真子集； （2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数. 解：（1）M的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为：∅，{0}，{1}. （2）N的子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}. 所以N的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个. 题型三　由集合间的关系求参数值（或范围） 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围. 解：∵A⊆B， ∴解得故3≤m≤4. ∴实数m的取值范围是{m｜3≤m≤4}. 【母题探究】 1.（变条件）本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围. 解：当B＝∅时，m－6＞2m－1，即m＜－5. 当B≠∅时，即m∈∅. 故实数m的取值范围是{m｜m＜－5}. 2.（变条件）本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，且B⊆A，求实数m的值. 解：因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即（m－1）2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}，满足B⊆A.所以m的值为1. 通性通法 由集合间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. 提醒：（1）不能忽视集合为∅的情形； （2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论. 已知集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是（　　） A.{－1，2} B.{－2，1} C.{－2，0，1} D.{－1，0，2} 解析：C　因为B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}.故选C. 1.下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是（　　） A.A＝{π}，B＝{3.141 59} B.A＝{2，3}，B＝{（2，3）} C.A＝{1，，π}，B＝{π，1，｜－｜} D.A＝{x｜－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1} 解析：C　集合相等，两集合中的元素完全相同.选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B；选项B，∵2，3表示两个实数，而（2，3）表示一个点，∴A≠B；选项C，∵｜－｜＝，∴A＝B；选项D，∵A＝{x｜－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}≠B＝{1}，∴A≠B. 2.已知集合A＝{x｜x＝3k，k∈Z}，B＝{x｜x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是（　　） A.A⊆B B.A⊇B C.A⫋B D.B⫋A 解析：D　集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以B⫋A. 3.已知集合A＝{（x，y）｜4x＋3y－12＜0，x∈N＋，y∈N＋}，则集合A的子集的个数为（　　） A.3　　　 　B.4 C.7　　　　D.8 解析：D　用列举法表示集合A，得A＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，则集合A的子集的个数为23＝8. 4.集合A＝{x｜x≥1，或x≤－2}，B＝{x｜x≥a}，若B⫋A，则实数a的取值范围是　[1，＋∞）　. 解析：如图，，若B⫋A，则a≥1. 1.下列选项中正确的是（　　） A.1⊆{1} B.{1}∈{1，2} C.{1}⊆{1，2} D.1∉{1} 解析：C　对A，1是元素，{1}是集合，元素与集合的关系是属于关系，不是包含关系，故A错误；对B，{1}和{1，2}都是集合，集合与集合间的关系是包含关系，故B错误；对C，{1}与{1，2}是包含关系，故C正确；对D，1与{1}是属于关系，故D错误.故选C. 2.下列四个集合中，是空集的是（　　） A.{x｜x＋3＝3} B.{（x，y）｜y2＝－x2，x，y∈R} C.{x｜x2≤0} D.{x｜x2－x＋1＝0，x∈R} 解析：D　∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅，故选D. 3.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{0，3}，若B⊆A，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a≥3} B.{a｜a＞3} C.{a｜a＞0} D.{a｜a≥0} 解析：B　因为B⊆A，故0，3均为A＝{x｜x＜a}中的元素，所以a＞3.故选B. 4.已知集合A＝{－1，0，1，2}，则A的真子集的个数为（　　） A.7 B.8 C.15 D.16 解析：C　A的真子集有24－1＝15个，故选C. 5.〔多选〕已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（　　） A.∅⊆A B.－2∈A C.{0，2}⊆A D.A⊆{y｜y＜3} 解析：ACD　由题得集合A＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误. 6.〔多选〕集合A＝{x｜（a－1）x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值为（　　） A.1　　　 　B. C.－1　　　 　D.－ 解析：AD　由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意.当a≠1时，由Δ＝9＋8（a－1）＝0可得a＝－.故选A、D. 7.设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 026＋b2 026＝　2　. 解析：由{1，a＋b，a}＝{0，，b}易知a≠0，a≠1，根据两个集合相等可知a＋b＝0，即b＝－a，则＝－1.此时{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1.故a2 026＋b2 026＝（－1）2 026＋12 026＝2. 8.同时满足：①M⊆{1，2，3，4，5}，②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有　7　个. 解析：a＝1时，6－a＝5；a＝2时，6－a＝4；a＝3时，6－a＝3；a＝4时，6－a＝2；a＝5时，6－a＝1，所以非空集合M为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个. 9.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{1，2，3，4}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为　4　，满足条件A⊆C⫋B的集合C的个数为　3　. 解析：由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，则A＝{1，2}，由B＝{1，2，3，4}，故满足条件A⊆C⊆B的集合为C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，共4个，满足条件A⊆C⫋B的集合为C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}，共3个. 10.已知集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集. 解：因为A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}. 所以A＝{（0，2），（1，1），（2，0）}. 所以A的子集有：∅，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），（1，1），（2，0）}. 11.设集合A＝{x｜x＝，n∈Z}，B＝{x｜x＝n＋，n∈Z}，则下列图形能表示A与B关系的是（　　） 解析：D　对于集合A：x＝＝，对于集合B：x＝n＋＝＝，因为2n代表偶数，2（3n＋1）＋1代表奇数，所以集合A和集合B没有相同元素. 12.〔多选〕设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则（a，b）可能是（　　） A.（－1，1） B.（－1，0） C.（0，－1） D.（1，1） 解析：ACD　当a＝－1，b＝1时，B＝{x｜x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x｜x2＋2x＝0}＝{－2，0}，不符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x｜x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合.故选A、C、D. 13.若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素但互不为对方的子集，则称这两个集合构成“蚕食”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则实数a的值为　0或或2　. 解析：当a＝0时，B＝∅，则B⊆A，A，B构成“鲸吞”.当a＞0时，B＝{－，}，不满足一个集合是另一个集合的子集，即A，B不能构成“鲸吞”；若A，B构成“蚕食”，则＝2或－＝－1，得a＝或a＝2.综上，a＝0或或2. 14.已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，B＝{x｜1≤x≤a，a≥1}. （1）若A⫋B，求a的取值范围； （2）若B⊆A，求a的取值范围. 解：（1）若A⫋B，由图可知，a＞2. 故实数a的取值范围为{a｜a＞2}. （2）若B⊆A，由图可知，1≤a≤2. 故实数a的取值范围为{a｜1≤a≤2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $