第4章 §3.3 对数函数y=log_ax的图象和性质 第2课时 对数函数y=log_ax的性质与应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数性质及复合函数综合应用，通过课前预习铺垫“同增异减”等基础，课中设置单调性、值域最值、奇偶性及实际问题四个探究点，构建从概念到应用的学习支架。 亮点在于以数学抽象和直观想象素养为导向，通过例1复合函数单调性分析、例4鳙鱼游速实际问题等，结合课前诊断、变式训练及素养小结，培养学生逻辑推理与数学建模能力。学生能提升解题思维，教师可获得系统教学资源。

§3 对数函数 1 3.3 对数函数的图象和性质 第2课时 对数函数 的性质与应用 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性 探究点二 与对数函数有关的值域和最值 探究点三 与对数函数有关的复合函数的奇偶性 探究点四 与指数、对数型函数有关的实际问题 3 【学习目标】 1.通过对数函数图象和性质的应用，体会数学抽象素养. 2.通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养. 4 知识点 与对数函数有关的复合函数的综合 问题 对于函数，它是由， 两个函数复合而成的，其单 调性由, 的单调性决定，当两个函数在定义域内单调性相同 （反）时，函数 在定义域内是增（减）函数，即“同增异减”.而值 域则往往先求出的值域再根据 的单调性求解. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在 上单调递减.( ) × [解析] 令,则,.因为在 上单调递减, 在上是增函数,所以函数在 上单调递减. （2）函数在 上单调递增.( ) × [解析] 令,则, . 因为t=x+1在(-1, )上单调递增,y=log0.5t在(0, )上是减函数, 所以函数y=log0.5(x+1)在(-1, )上单调递减. 课 前 预 习 6 探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性 例1（1） 函数 的单调递增区间为( ) C A. B. C. D. [解析] 由可得或，所以函数 的定义域为 . 因为是由 和复合而成， 在上是减函数， 在上单调递减，在上单调递增， 所以 在上单调递增，在 上单调递减， 所以函数的单调递增区间为 ，故选C. 课 中 探 究 7 （2）已知函数在上单调递增，则 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. [解析] 若函数在 上单调递增， 则当时，且函数单调递增， 则 ，且，解得 ，故选C. 课 中 探 究 8 变式（1） [2024·海南中学高一月考]函数 的单调递增区 间是( ) D A. B. C. D. [解析] 对于函数,需满足， 解得 或，故函数的定义域为 . 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在 上单调递增， 则根据复合函数的单调性可知，的单调递增区间是 .故选D. 课 中 探 究 9 （2）若函数在上单调递减，则实数 的取值 范围为( ) A A. B. C. D. [解析] 若函数在 上单调递减， 则解得即 ,故选A. 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 求形如 的函数的单调区间时，首先要求出函数的定义域，再研究函 数和函数 在定义域上的单调性，最后判断出函数的单调区间. 课 中 探 究 11 探究点二 与对数函数有关的值域和最值 ［提问］ 求函数 的定义域时要考虑哪些方面？ 解：①真数要大于0；②偶次根式的被开方数不小于0. 课 中 探 究 12 例2（1） 求下列函数的值域： ； . 解：①要使函数有意义，需满足 即解得， 所以函数的定义域为 ，值域为 . ②因为 ， 所以函数的定义域为 . 又 ， 所以函数的值域为 . 课 中 探 究 13 （2）求函数在 上的最大值和最小值. 解：设，因为，所以 . 又，且 在上单调递减， 所以当时， 取得最小值， ， 当时，取得最大值， . 课 中 探 究 14 变式（1） 已知函数，，则函数 的 最大值为___，最小值为____. 2 [解析] ，， 令 ，则， 设，其中 ，则， 可得当时，函数 取得最小值，最小值为； 当或时，函数 取得最大值，最大值为 . 课 中 探 究 15 （2）若函数的值域是，则实数 的取值范围是 __________. [解析] 设 ， 则， 当且仅当 时，等号成立，故的值域为. 由的值域为 知，， 所以，故实数的取值范围是 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 求与对数函数有关的函数的值域时，要先求出函数的定义域,明确真数的取值范 围,再利用函数的单调性求解. 课 中 探 究 17 探究点三 与对数函数有关的复合函数的奇偶性 例3 已知函数,且,是定义在 上的 奇函数． （1）求和实数 的值； 解：根据题意可得 . 因为是定义在 上的奇函数， 所以 ， 可得,所以，可得 ． 课 中 探 究 18 （2）若满足，求实数 的取值范围． 解：由（1）可知， ， 易知函数在 上单调递减， 由奇函数性质及 ， 可得 ， 课 中 探 究 19 当时，由复合函数的单调性可知在 上单调递增， 需满足解得 ； 当时，由复合函数的单调性可知在 上单调递减， 需满足解得 . 所以当时，的取值范围为；当时，的取值范围为 ． 课 中 探 究 20 变式（1） （多选题）函数 ，则下列说法 正确的是( ) BC A.的图象关于轴对称 B. 的图象关于原点对称 C.函数在定义域上为增函数 D.函数 在定义域上为减函数 [解析] 函数的定义域为.因为 ， 所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，A错误，B正确； 因为在上单调递增,在 上单调递减， 所以在上为增函数，C正确，D错误.故选 . 课 中 探 究 21 （2）若函数是偶函数，则 ___. 0 [解析] 依题意知，所以当时， 恒成立，所以 . （3）已知函数，实数， 满足 ，则 ___. 2 [解析] 因为，所以的定义域为 ， 又 ，所以 是奇函数， 由可得,则 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称. 对于形如的函数，利用 来判断奇偶性较简便. 课 中 探 究 23 探究点四 与指数、对数型函数有关的实际问题 例4 风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼，记鳙鱼在湖中的游速为 ，鳙鱼在湖中 的耗氧量的单位数为，已知鳙鱼的游速与 成正比，当鳙鱼 的耗氧量为200单位时，其游速为.若某条鳙鱼的游速提高了 ，则它 的耗氧量的单位数是原来的( ) B A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 课 中 探 究 24 [解析] 鳙鱼的游速与成正比， 不妨设， 当时，， ， 解得，. 设鳙鱼开始时的游速为 ，耗氧量的单位数为， 提速后的游速为，提速后的耗氧量的单位数为 ， 则, 又 ， ，故选B. 课 中 探 究 25 变式 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量 不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为 , 其中是自然对数的底数，为常数， 为原污染物总量.若前4个小时废气中的 污染物被过滤掉了，则_______;要能够按规定排放废气，还需要过滤 小时，则正整数的最小值为____.参考数据： 11 [解析] 前4个小时废气中的污染物被过滤掉了 ， ，得，则.由 ， 得， . 故正整数的最小值为 . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 与指数、对数型函数有关的实际问题，关键是要认真审题，从中提炼出相应的 函数模型，再将其转化为指数、对数函数相关问题来求解，但要注意所得结果 要符合实际情况. 课 中 探 究 27 $