第4章 §3 02-3.3 对数函数y=logax的图象和性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数y=logₐx的图象和性质，通过恒过定点问题衔接对数运算，逐步展开图象判断、单调性应用等内容，构建从基础到综合的学习支架，帮助学生形成函数知识体系。 其亮点在于分层设计（基础、能力、创新题型），结合易错警示和解题技法，通过新运算证明等创新题，培养数学思维和模型观念。学生能提升解题逻辑，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

第四章 对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　对数函数 3.3　对数函数y=logax的图象和性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数(型)函数的图象及其应用 1.[2026江苏镇江扬中二中月考]已知函数y=loga(x+1)+3(a>0,a≠1)的图象恒过点A,若点A也在函数f(x)=2 x+b的图象上,则b=( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.3     C     解析　　对于y=loga(x+1)+3(a>0,a≠1),令x+1=1,得x=0,此时y=3,则定点A(0,3), 把(0,3)代入f(x)=2x+b得f(0)=20+b=3,解得b=2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编][多选题]下图是三个对数函数的图象,则 ( )   A.a>1　    B.0<b<1　    C.2b<2c<2a　　    D.c<b     ABC     解析　　由题图得a>1,0<b<1,0<c<1, 令y=1,由logbb=logcc=1及题图得b<c,∴b<c<a. 又y=2x是R上的增函数,∴2b<2c<2a. 第1讲　描述运动的基本概念 解题技法　根据图象判断不同的对数函数的底数大小的巧妙方法:过点(0,1)作平行于x轴的直线,则该 直线与对数函数图象交点的横坐标即为该对数函数的底数,由此可判断大小. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖南张家界期末]已知ab=1(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)= 与g(x)=logbx的图象可能是  ( )  　       　          B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当a>1时,0<b<1,函数f(x)= 与g(x)=logbx均为减函数,四个选项中的图象均不满足; 当0<a<1时,b>1,函数f(x)= 与g(x)=logbx均为增函数,在同一坐标系中的图象可能是B中的图象. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西南昌外国语学校月考]已知函数f(x)=a2x-1- (a>0且a≠1)的图象过定点(m,n),则函数g(x)=logn| x-m|的大致图象为 ( )  　       　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令2x-1=0,得x= ,此时f(x)=1- = ,故f(x)的图象过定点 ,所以m=n= ,则g(x)=lo  ,定 义域为 x x≠  ,排除B,C,g(x)在 上单调递减,排除A,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江西部分学校质量检测]若函数f(x)=log8(x-a+2)的图象经过第一、二、三象限,则实数a的取值范 围为______________.     (-∞,1)     解析　要使函数f(x)的图象经过第一、二、三象限,则f(0)=log8(0-a+2)>0,即-a+2>1,所以a<1,所以实数a 的取值范围为(-∞,1). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数(型)函数的单调性及其应用 6.[2026江西赣州十八县二十四校联考]若a=log34,b=log2 ,c=21.2,则a,b,c的大小关系为( ) A.b>a>c　    B.a>c>b C.a>b>c　    D.c>a>b     D     解析　　因为函数y=log3x在定义域上单调递增,所以1=log33<log34<log39=2,则1<a<2, 因为函数y=log2x在定义域上单调递增,所以log2 <log21=0,则b<0, 因为函数y=2x在定义域上单调递增,所以21.2>21=2,则c>2, 故c>a>b. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南通中学月考]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,若a满足f (ln a)+f(-ln a)≤2f(1),则实数a的取值范围是 ( ) A.[e,+∞)　    B. ∪[e,+∞) C. ∪[e,+∞)　    D.      B     解析　　由f(x)是定义在R上的偶函数得f(ln a)+f(-ln a)=2f(ln a)≤2f(1), 所以f(ln a)≤f(1), 又f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以|ln a|≥1,即ln a≥1或ln a≤-1, 解得a≥e或0<a≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[易错题][2026江西多校联考]若函数f(x)=log2a 在区间(-1,2)上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A. 　    B.  C. 　    D.  B     解析　　由2a>0且2a≠1得a>0且a≠ ,令g(x)=6- ,则g(x)单调递减, 又y=log2ag(x)在区间(-1,2)上单调递增, 所以 解得 ≤a< ,故a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　本题在利用复合函数“同增异减”的原则得到2a的范围时,还要保证满足对数函数的定义 域,即g(x)>0在(-1,2)上恒成立. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025湖南长沙长郡中学期末]若集合A={(m,n)|m≤-2,0<n≤t},∀(m,n)∈A,均有mlog4n-n-3m≥0成立,则 t的最大值为( ) A.2　    B.4　　 C.8　    D.16     B     解析　　令y=log4n,则n=4y,原不等式即为my-4y-3m≥0,即(y-3)m-4y≥0, ∵m≤-2,∴  ∴  令f(y)=-2y-4y+6,则f(y)在R上单调递减,且f(1)=-2-4+6=0, ∴当f(y)≥0时,y≤1,∴log4n≤1,∴0<n≤4,则t的最大值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[易错题]已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是 _________. 解析　当a>1时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上单调递减,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>1,即8-2a>a,解得a < ,又a>1,所以1<a< ; 当0<a<1时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上单调递增,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=loga(8-a)>1,即8-a<a,解得a>4,又0 <a<1,故满足题意的a的值不存在. 综上,实数a的取值范围是 . 易错警示　利用对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性解决问题时,若底数a的值或范围不确定,则要分 0<a<1和a>1两种情况讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026山东枣庄滕州一中月考]已知函数f(x)=ln  . (1)判断f(x)的奇偶性,并证明; (2)判断函数f(x)的单调性,并证明; (3)若f(x-3)+f <0,求实数x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)是奇函数,证明如下: 由 >0,得(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1, 所以f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称, 又f(-x)=ln  =-ln  =-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)在(-1,1)上单调递增,证明如下: f(x)=ln  =ln , 任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则-1<x1<x2<1, 则f(x1)-f(x2)=ln -ln  -1 ,  -1-  -1 = , 第1讲　描述运动的基本概念 因为-1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1-x1>0,1-x2>0,所以 <0, 则 -1- <0⇒ -1< -1⇒ln <ln , 因此f(x1)-f(x2)=ln -ln <0⇒f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(-1,1)上单调递增. (3)因为f(x)是奇函数,所以原不等式可化为f(x-3)<-f ,即f(x-3)<f , 又f(x)在(-1,1)上单调递增,所以-1<x-3< ,解得2<x< ,故x的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　对数(型)函数性质的综合应用 12.[多选题][2026安徽A10联盟月考]已知函数f(x)=log3(x2-4x+a),则下列结论正确的是 ( ) A.当a=3时,f(x)的单调递增区间为(3,+∞) B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围为(4,+∞) D.若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围为(-∞,4)     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,当a=3时,f(x)=log3(x2-4x+3), 令g(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)>0,得x>3或x<1, 由二次函数的单调性可知g(x)在区间(3,+∞)上单调递增, 又y=log3x单调递增,所以根据复合函数同增异减的原则知f(x)的单调递增区间为(3,+∞),故A正确; 对于B,f(4-x)=log3[(4-x)2-4(4-x)+a]=log3(x2-4x+a)=f(x), 所以f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确; 对于C,若f(x)的定义域为R,则x2-4x+a>0在R上恒成立, 所以Δ=16-4a<0,即a>4,故C正确; 对于D,若f(x)的值域为R,则x2-4x+a≤0在R上有解,即Δ=16-4a≥0, 解得a≤4,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江西南昌一中月考]已知满足不等式x2-4x+a<0的每一个x的值至少满足两个不等式log2(x+1)-2< 0和4x-9×2x+1+32<0中的一个,则实数a的取值范围为_____________.     [0,4)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由log2(x+1)-2<0,得log2(x+1)<2,即0<x+1<4,故-1<x<3,设集合A=(-1,3); 由4x-9×2x+1+32<0,得(2x-2)(2x-16)<0,故1<x<4, 设集合B=(1,4), 则A∪B=(-1,4). 设函数f(x)=x2-4x+a, 则由题意知f(x)<0的解集不是空集, 不妨设此解集为C=(x1,x2)(x1<x2),则C⊆(A∪B),即(x1,x2)⊆(-1,4), 所以  解得0≤a<4. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江西鹰潭贵溪一中周测]已知函数f(x)=(log2x-4) . (1)当x∈[1,4]时,求该函数的值域; (2)若f(x)>mlog2x对于x∈[1,4]恒成立,求m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)=(log2x-4)· = (log2x-4)(log2x-1), ∵x∈[1,4],∴log2x∈[0,2], 令t=log2x,则f(x)= (log2x-4)·(log2x-1),x∈[1,4]可转化为g(t)= (t-4)(t-1)= t2- t+2,t∈[0,2], 易知g(t)在[0,2]上单调递减, ∴g(t)max=g(0)=2, g(t)min=g(2)=-1, ∴该函数的值域为[-1,2]. (2)f(x)>mlog2x对于x∈[1,4]恒成立即为y= (t-4)·(t-1)>mt在t∈[0,2]上恒成立. 当t=0时,不等式为2>0,恒成立,m∈R; 第1讲　描述运动的基本概念 当t∈(0,2]时,m< 恒成立, 令h(t)= = =  , 则h(t)≥ ×(2 -5)=- ,当且仅当t=2时取等号, 所以m<- . 综上,m<- . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026福建莆田第二十五中学月考]设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域; (2)求f(x)的单调递增区间和单调递减区间; (3)求f(x)在区间 上的最值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得f(1)=loga2+loga2=2,即loga2=1,解得a=2,故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x). 令  解得-1<x<3, 故f(x)的定义域为(-1,3). (2)由(1)知f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2(-x2+2x+3)=log2[-(x-1)2+4], 令u=-(x-1)2+4,根据二次函数的性质可知u在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减, 又f(u)=log2u为单调递增函数, 所以f(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. (3)由(2)得f(x)在 上单调递增,在[1,2]上单调递减, 第1讲　描述运动的基本概念 又f(1)=2,f(2)=log23,f =log2 >log23, 所以f(x)在区间 上的最大值为f(1)=2,最小值为f(2)=log23. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　对数函数 3.3　对数函数y=logax的图象和性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数(型)函数的图象及其应用 1.[2026福建莆田四中月考]如图,平行于y轴的直线分别与函数f(x)=log2x及g(x)=log2x+2的图象交于点B, C,点A(m,n)为函数g(x)图象上一点.若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,则m= ( )   A. 　    B.1　    C.2　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由BC∥y轴,得|BC|=2,因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,所以|AB|=2, 又A(m,n),所以B(m+2,n), 因为点A在g(x)=log2x+2的图象上,点B在f(x)=log2x的图象上, 所以 得 解得m= . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东湛江联考]设a,b∈R,下列选项中能表示函数f(x)=ax+b与g(x)=loga(x+b)的图象的是 ( )  　       　          B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,f(x)单调递增,且图象与y轴相交于x轴下方,则a>1且b<-1, 所以g(x)单调递增且图象可由y=logax的图象向右平移|b|>1个单位长度得到,不可能过原点,故A错误; 对于B,g(x)单调递增,且图象过原点,所以a>1且b=1, 所以f(x)单调递增,且图象可由y=ax的图象向上平移1个单位长度得到,故B正确; 对于C,f(x)单调递减,且图象过原点,所以0<a<1且b=-1, 所以g(x)=loga(x-1)单调递减,且图象可由y=logax的图象向右平移1个单位长度得到,不可能过原点,故C错 误; 对于D,f(x)单调递减,且图象过原点,所以0<a<1且b=-1,所以g(x)单调递减,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西抚州五校阶段性检测]设2x+3=ey+4=10z+2,则x,y,z的大小关系不可能为 ( ) A.y<x<z　    B.z<x<y　    C.y<z<x　    D.z<y<x     B     解析　　设2x+3=ey+4=10z+2=t, 则x=log2(t-3),y=ln(t-4),z=lg(t-2), 令f(t)=log2(t-3),g(t)=ln(t-4),h(t)=lg(t-2), 画出三个函数的图象如图所示, 设f(t)与h(t)图象交点的横坐标为a,h(t)与g(t)图象交点的横坐标为b, 当t<a时,g(t)<f(t)<h(t),即y<x<z; 当a<t<b时,g(t)<h(t)<f(t),即y<z<x; 当t>b时,h(t)<g(t)<f(t),即z<y<x. 综上,x,y,z的大小关系不可能为z<x<y. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025江西景德镇一中期中]已知函数f(x)= 若存在实数a,b,c,d满足a<b<c<d且|f(a)| =|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=k,则下列说法正确的是 ( ) A.k∈(0,1] B.a+b=-6 C.cd=1 D.a+b+c+d的取值范围为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　在同一坐标系中画出y=|f(x)|的图象与直线y=k如下:   对于A,由图可得0<k≤1,A正确; 对于B,由对称性知a+b=2×(-2)=-4,B错误; 对于C,令-lg x=1,解得x= ,故 ≤c<1, 令lg x=1,解得x=10,故1<d≤10,而|lg c|=|lg d|, 所以-lg c=lg d,故lg c+lg d=0,所以cd=1,C正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,a+b+c+d=c+d-4=c+ -4,其中 ≤c<1, 而y=c+ 在c∈ 上单调递减, 所以y=c+ ∈ ,则a+b+c+d=c+ -4∈ ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数(型)函数的性质及其应用 5.[2026广东江门月考]已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,且∀x∈(0,+∞),f(f(x)+2lo x)=1,则不等 式|f(x)|≥1的解集为 ( ) A. 　     B.[1,+∞) C. ∪[1,+∞)　    D. ∪[1,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得存在正数k,使得f(x)+2lo x=k,且f(k)=1, 所以f(k)+2lo k=1+2lo k=k,即2log4k+k=1. 因为g(k)=2log4k+k在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=1,所以k=1, 所以f(x)=1-2lo x=1+log2x, 由|f(x)|=|1+log2x|≥1,得1+log2x≥1或1+log2x≤-1,解得x≥1或0<x≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026重庆巴蜀教育集团期中]已知函数f(x)=log3(x+ ),设集合A={m|f(m-2)+f(m2)≤0},集合B={m|- 2≤m≤2},则A是B的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)=log3(-x+ )=log3 =-log3(x+ )=-f(x), 则f(x)是奇函数, 令t=x+ ,则t在[0,+∞)上单调递增,又y=log3t在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增, 由奇函数的性质得f(x)在(-∞,0]上单调递增, 因此函数f(x)在R上单调递增,不等式f(m-2)+f(m2)≤0,即f(m2)≤-f(m-2)=f(2-m),则m2≤2-m,即m2+m-2≤0,解 得-2≤m≤1,故集合A={m|-2≤m≤1},则A⫋B, 所以A是B的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025湖北武汉三校联考]若8a+log3a+1=43b+2log9(3b),则( ) A.a<b　    B.a<2b　     C.a>b　    D.a>2b     BC     解析　　由题意得a>0,b>0,原式可变形为8a-43b=log9(3b)2-log9a2-log99,即23a-26b=log9 . 当a=b时,23a-26b=log912=0,所以3a=6b,即a=2b,与a=b相矛盾,故不符合题意; 当a>b时,23a-26b=log9 <log91=0, 所以23a<26b,所以3a<6b,即b<a<2b; 当a<b时,23a-26b=log9 >log91=0, 所以23a>26b,所以3a>6b,即a>2b,与a<b相矛盾,故不符合题意.综上,b<a<2b. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026江西多校联考]已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),且9a-log2b=3b-log2(2a),则 ( ) A.b=a2 B.当|log2a|=|log2b|时,b-a=  C.当loga(a2+1)<logab<0时,a的取值范围是  D.当am=x,bm=x+y, =y时, =      BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由9a-log2b=3b-log2(2a),得32a+log2(2a)=3b+log2b, 令f(x)=3x+log2x(关键点),则f(2a)=f(b), 因为y=3x,y=log2x在(0,+∞)上都单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,则b=2a. 对于A,由a,b∈(0,1)∪(1,+∞),得0<a< 或 <a<1或a>1,显然2a=a2不恒成立,A错误; 对于B,由|log2a|=|log2b|,得log2a=-log2b,则ab=1,所以a= ,b= ,则b-a= ,B正确; 对于C,由loga(a2+1)<0,a2+1>1,得0<a<1,又loga(a2+1)<logab<0, 则a2+1>b>1,即a2+1>2a>1,所以a> 且a≠1,因此 <a<1,C正确; 对于D,bm=am+ ,即2m·am=am+ am, 因为am>0,所以 - -1=0,而 >0,解得 = , 故 = = ,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026湖北武汉大学附属中学月考]已知实数x,y满足ex+x-2 025= -ln(y+2 025),则ex+y+2 026的 最小值是____________.     2  +1     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由ex+x-2 025= -ln(y+2 025), 得ex+x= +2 025-ln(y+2 025), 得ex+ln ex= +ln e2 025-ln(y+2 025)= +ln  , 令f(x)=x+ln x(关键点),则f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(ex)=f ,所以ex= , 则ex+y+2 026= +(y+2 025)+1≥2 +1=2 +1, 当且仅当 =y+2 025,即y= -2 025时等号成立, 所以ex+y+2 026的最小值是2 +1. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　本题把ex+x-2 025= -ln(y+2 025)变形为ex+ln ex= +ln ,通过构造函数f (x)=x+ln x,利用函数的单调性得到ex= 是解题的关键,这种构造函数的思想在解题中会经常用 到,同学们平时要多积累总结. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西赣州第一中学质量检测]设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a, b]上的值域是 ,则称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)=log3(3x+t)为“倍缩函数”,则实数t的取值范围 是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为f(x)=log3(3x+t)为“倍缩函数”,所以存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是 , 由复合函数单调性可知函数f(x)在[a,b]上单调递增, 所以 即  所以方程3x- +t=0有两个不等的实根, 令X= >0,则X2=3x,方程X2-X+t=0有两个不等正实根, 则 解得0<t< . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026福建莆田二中月考]已知函数f(x)=log4(4x+1)-tx是偶函数,x∈R. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数g(x)= +m·2x-1,x∈[0,log23],是否存在m,使g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值;若不存在, 请说明理由; (3)若函数f(x)的图象与直线y= x+a没有公共点,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)是偶函数,x∈R,所以f(1)=log45-t=f(-1)=log4 +t, 解得t= ,经检验符合题意, 故f(x)=log4(4x+1)- x. (2)由题意知g(x)= +m·2x-1=4x+m·2x,x∈[0,log23]. 令s=2x,则s∈[1,3],令p(s)=s2+ms,s∈[1,3]. ①当m≥-2时,- ≤1,g(x)min=p(1)=1+m=0,解得m=-1; ②当-6<m<-2时,1<- <3,g(x)min=p =- =0,所以m=0(舍去); ③当m≤-6时,- ≥3,g(x)min=p(3)=9+3m=0,解得m=-3(舍去). 综上所述,存在m=-1,使得g(x)的最小值为0. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意知方程log4(4x+1)- x= x+a无解,即方程a=log4(4x+1)-x无解. 令h(x)=log4(4x+1)-x=log4 =log4 , 因为x∈R,所以 ∈(0,+∞), 所以1+ ∈(1,+∞), 因此log4 >0,即h(x)>0, 所以函数h(x)的值域是(0,+∞). 故a的取值范围是(-∞,0]. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　定义新运算“ ”,考查对数函数的性质 12.[2026广东深圳高级中学质量检测]定义一种新运算“􀱇”:对于任意实数x,y,都有x􀱇y=loga(ax+ay)(a> 0且a≠1). (1)当a=2时,计算4􀱇4; (2)证明:∀x,y,z∈R,都有(x􀱇y)􀱇z=x􀱇(y􀱇z); (3)设m=loga(x2-3ax+2a2),若f(x)=m􀱇m-loga2在区间[s,t](0<s<t<a)上的值域为[logat,logas],求实数a的 取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=2时,4􀱇4=log2(24+24)=log232=5. (2)证明:因为(x􀱇y)􀱇z=loga(ax+ay)􀱇z= +az]=loga(ax+ay+az), x􀱇(y􀱇z)=x􀱇[loga(ay+az)]=loga[ax+ ]= +ay+az), 所以(x􀱇y)􀱇z=x􀱇(y􀱇z). (3)由题意得, f(x)=m􀱇m-loga2=loga(am+am)-loga2=m+loga2-loga2=m=loga(x2-3ax+2a2). 令g(x)=x2-3ax+2a2, 则g(x)在(0,a)上单调递减. 由于f(x)在[s,t]上的值域为[logat,logas], 所以logat<logas(s<t),所以0<a<1, 所以f(x)在[s,t]上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 即  整理,得s2-t2-3a(s-t)=-(s-t),所以s+t-3a=-1,即t=3a-s-1,代入s2-3as+2a2=t,得s2-(3a-1)s+2a2-3a+1=0.同理,得t2- (3a-1)t+2a2-3a+1=0. 所以s,t是方程x2-(3a-1)x+2a2-3a+1=0在(0,a)上的两个不同的根, 所以  第1讲　描述运动的基本概念 解得  所以2 -3<a< , 故实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $