第2章 §3 函数的单调性和最值 第1课时 函数的单调性和最值(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性和最值，通过课前预习梳理单调性定义、单调区间及最值概念，结合诊断分析（如辨析f(x)=x²在[-1,1]单调性判断误区）搭建学习支架，为课中探究奠定基础。 其亮点在于以问题驱动探究，通过定义辨析（例1判断单调性需任意性）培养数学思维，图象法求单调区间（例2-2分段函数图象分析）发展几何直观，含参数二次函数最值分类讨论（例3）强化模型观念。素养小结系统提炼方法，助力学生提升直观想象与逻辑推理能力，为教师提供结构化教学资源。

§3 函数的单调性和最值 1 第1课时 函数的单调性和最值 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 函数单调性定义的理解 探究点二 利用图象求函数的单调区间、最值 探究点三 一元二次函数的单调性与最值 3 【学习目标】 1.利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间. 2.掌握函数的单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性. 3.熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用. 4.通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论 等基本的数学思想方法，提高数学运算和直观想象能力. 4 知识点一 函数单调性的定义 1.增函数 设函数的定义域是.如果对于任意的 ， ，当 时，都有______________，那么就 称函数是增函数，如图所示.特别地，当 是定 义域上的一个区间时，也称函数在区间 上单 调递增. 课 前 预 习 5 2.减函数 设函数的定义域是.如果对于任意的，，当 时，都有 ______________，那么就称函数是减函数，如图所示.特别地，当 是定 义域上的一个区间时，也称函数在区间 上单调递减. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断函数在区间上的单调性时，因为， ， ，所以函数在区间 上单调递减，这种叙述对吗？ 解：不对.判断函数在区间上的单调性时不能取特殊值，而应在此区间上任选两 数，，且有大小之分，再比较与 的大小，从而判断单调性. 课 前 预 习 7 知识点二 函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就称函数 在区 间上具有________.此时，区间为函数 的__________. 单调性 单调区间 课 前 预 习 8 【诊断分析】 1.如果函数在定义域上的两个区间，上都单调递减，那么 的单调 递减区间能写成 吗？ 解:不能.单调区间不能取并集，如在上单调递减，在 上也单 调递减，但不能说在 上是减函数. 课 前 预 习 9 2.任何函数在定义域上都具有单调性吗？ 解：函数的单调性是指函数在定义域上或定义域的某个区间上的变化趋势，是 单调递增或单调递减的一种定性描述，它是函数的局部性质.有的函数不具有单 调性，例如函数再如函数 ，它的定义域不能 用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性. 课 前 预 习 10 知识点三 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数的定义域为，存在实数，对所有的 ，都有 ___ ___ 存在 ，使得___________ 结论 称为函数 的最大值 称为函数 的最小值 几何意义 图象上最高点的________ 图象上最低点的________ 纵坐标 纵坐标 课 前 预 习 11 【诊断分析】 若函数满足恒成立，则此函数的最小值就是 吗？ 解:不是.虽然恒成立，但在函数定义域内找不到一个 的值使 ，根据最小值的定义可知题中结论不成立. 课 前 预 习 12 探究点一 函数单调性定义的理解 例1 若函数的定义域为，且满足，则函数 在 上( ) D A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.单调性无法确定 [解析] 函数单调性的定义突出了, 的任意性，仅凭区间内有限个函数值的大 小关系是不能判断函数的单调性的，排除A,B,C.故选D. 课 中 探 究 13 变式 下列说法正确的是( ) D A.在区间上存在，，当时，有，则在区间 上单 调递增 B.所有的函数都具有单调性 C.函数 在整个定义域上是增函数 D.若函数在上单调，且，则函数在 上是减函数 课 中 探 究 14 [解析] 根据单调性的定义可知A错误； 不是所有的函数都具有单调性，如函数，B错误； 对于C，在和 上均单调递增，但不能说在整个定义域上是 增函数，如，而 ，故C错误； 对于D，由函数在上单调，即在上是增函数或减函数， 且， ，可以判断函数在 上是减函数，D正确.故选D. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 函数单调性的定义中,有三个特征：一是,属于同一区间；二是, 是该 区间内的任意两个实数，判断单调性时不能用两个特殊值代替；三是, 有大 小之分，通常规定.另外函数单调递增或单调递减是针对定义域 上的某 个区间而言的，显然 . 课 中 探 究 16 探究点二 利用图象求函数的单调区间、最值 例2-1 函数, 的图象如图所示,求函数的单调区间及最值. 解：由题图可知，函数的单调递增区间是， ，单调递减区间是 ，， .当时，取得最大值3， 当时，取得最小值 . 故函数的最大值为3，最小值为 . 课 中 探 究 17 例2-2 已知函数 （1）画出函数 的图象； 解:函数的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，作出 的 图象如图所示. 课 中 探 究 18 （2）求函数 的单调区间、最大值. 解:由函数的图象可知，函数的单调递增区间为 ,单调递减区间 为.当时，函数 取得最大值6， 函数 的最大值为6. 课 中 探 究 19 变式（1） 如图所示是函数的大致图象， 则函数 的单调递增区间是__ _______________， 单调递减区间是______ ______. , , [解析] 观察图象可知的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为， . 课 中 探 究 20 （2）[2024·福建厦门高一期中] 设函数 . ①画出函数 的图象； 解： 画出函数 的图象如图所示. ②写出函数 的单调递增区间； 解：由图可知，函数的单调递增区间为， . ③求在区间上的最小值 . 解：由图知，当时，在 上单调递减， 此时；当时， . 所以 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 1.图象法求函数单调区间的关键： （1）作图：准确作出函数图象. （2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间. 2.利用图象求函数最值，关键是在图象上找到最高点和最低点的纵坐标，从而 确定函数的最大值与最小值. 课 中 探 究 22 [解析] 令,解得或,则 作出的图象，如图中实线所示. 由图可知，函数的最小值为 . 拓展 [2024·湖北孝感高一期中] 设函数,．用 表 示,中的较大者，记为,，则 的最小值是___. 课 中 探 究 23 探究点三 一元二次函数的单调性与最值 例3 已知函数， 为实数. （1）若，求在 上的取值范围； 解：当时， ，其图象开口向上，对称轴为直线 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增. 当时，，，所以 在 上的取值范围为 . 课 中 探 究 24 （2）若，求函数 的最小值. 解：函数的图象开口向上，对称轴为直线 . 当，即时，函数在区间 上单调递增， 所以 ； 当，即时，函数在区间 上单调递减， 所以； 当，即 时， . 综上，当时， 课 中 探 究 25 变式 已知函数 . （1）若函数的值域是，求实数 的值. 解: 函数的值域是，且二次函数 的图象是抛 物线，其开口向下， 方程有且只有一个解，即 ， 解得或， 的值为0或4. （2）若函数在上单调递减，求实数 的取值范围. 解:函数 的图象是抛物线，其开口向下，对称轴是直线 ，要使在上单调递减，应满足,， 的取值 范围是 . 课 中 探 究 26 （3）是否存在实数，使得在上的取值范围是 ？若存在，求出实 数 的值；若不存在，说明理由. 解:假设存在实数，使得在上的取值范围是. 当，即 时，在 上单调递减， 则即 无解； 当，即时，在 上单调递增， 则即解得 ； 课 中 探 究 27 当，即时，在 上先增后减， 且在 处取得最大值， 由 ， 解得或（不满足，均舍去）. 综上，存在实数 ，使得在上的取值范围是 . 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 对于不含参数的一元二次函数的最值问题，只需确定二次函数图象的对称轴， 由函数的图象确定最高点、最低点，代入相应的自变量的值求出最值. 而对于含参数的一元二次函数的最值问题，通常需根据所给区间及图象的对称 轴位置进行分类讨论，即常见的有“动轴动区间”“动轴定区间”“定轴动区间”三种 类型. 以一元二次函数的图象开口向上、对称轴为直线为例，在区间 上， 课 中 探 究 29 ①最小值： ②最大值： 课 中 探 究 $