第二章 4 培优课 抽象函数“不抽象”（课件）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

NN○∨ATVE DESIGN 培优课抽象殴数“不抽象 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征,性质或一些特殊 关系式的函数,常常涉及到抽象函数的单调性、奇偶性的应用,掌握了方法,可以 使抽象函数具体化,有利于提升逻辑推理、数学抽象素养. 索引 类型一求抽象函数的定义域 ∥∥6新叶 INNOVATIVE DESIGN 【例,11(①)若函数f+)的定义城为-22,则函数f-1)的定义域为 3 2 解析由题意知-1x≤2,则;≤+1≤3,即/的定义域为 ≤x-1≤3,解得≤x≤4 2 故(c-1)的定义域是24 索引 (2)已知函数(x)定义域为-2,3,则函数g()(3-x2 的定义域为(C x2-x-2 1)∪(2,+)B.-6,-1)∪(2,3 C[V5,-1)U(2,V5 D[=2,-1)U(2,3 2≤3-x2≤3 解析由题意知 5≤x<-1或2≤5,故选 x-2>0 索引 类型二抽象函数单调性的应用 ∥∥6新叶 INNOVATIVE DESIGN 【例2】定义在(0,+∞)上的函数(x),满足fmm)=f(m)+f(m)(m,m>0),且当x1 时,fx)>0 ()0求(1)的值;(2)求证:fm)=(m)(m) (1)解令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0. (2)证明f(m)nm=(m+(),即n=(m)f(m) 索引 (3)求证:fx)在(0,+∞)上是增函数; 证明任取x,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则、>1 由(2)得x)f(x)=}0,即f(x2)x 故fx)在(0,+∞)上是增函数 索引 (4)若f(2)=1,解不等式/(x+2)-(2x)>2 解由于f(2)=1,∴2=f(2)+f(2)=f(4), 由f(x+2)f(2x)>2,可知f(x+2)>f(2x)+f(4),∴x+2)>f(8x 又fx)在(0,+∞)上为增函数, x+2>8 x+2>0,解得0<T 8x>0 故不等式f(x+2)-f(2x)>0的解集为x0<x小 索引 m)tf(n) 比较广(2 的大小 2 解由题知!(m)+f(n) ff(mn) +)2m士+m+)=2( 2 十 mink ≥0 2 2 2 ≥mn(当且仅当m=n时取等号) 索引 f(x)在(0,+∞)上是增函数 十 2 f(mn) n (m)tf (n 2 2 索引 类型三抽象函数奇偶性的应用 ∥∥6新叶 INNOVATIVE DESIGN 【例3】已知定义在(-,0)∪(,+∞)上的函数f(x)满足:①Vx,y∈(-∞,0) ∪(0,+∞),f(xy)=fx)+f();②当心1时,f(x)>0,且(2)=1. (1)判断函数fx)的奇偶性 解函数f(x)定义域关于原点对称 令y=1,则fx)=f(x)+f(1),∴(1)=0. 令x=y=-1,则有(1)=f(-1)+(-1),得(-1)=0. 令y=—1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x), ∴函数fx)为偶函数 索引