第1章 §3 不等式 3.2 基本不等式 第1课时 基本不等式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦基本不等式，通过课前预习的知识点梳理与诊断分析帮助学生回顾非负实数条件等基础，课中探究设置四个递进探究点，从理解不等式结构到求最值、比较大小、证明不等式，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于以素养小结贯穿始终，结合逻辑推理与数学运算，通过例2求最值强调“一正二定三相等”，变式训练深化应用。学生能系统掌握方法提升解题能力，教师可依托结构化内容实施高效教学。

§3 不等式 1 第1课时 基本不等式 3.2 基本不等式 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 正确理解基本不等式 探究点二 利用基本不等式求最值 探究点三 利用基本不等式比较大小 探究点四 利用基本不等式证明不等式 3 【学习目标】 1.掌握基本不等式，从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度 分析、理解基本不等式. 2.初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学运算素养和逻辑推 理素养，培养发现问题、提出问题的意识与能力. 4 知识点 基本不等式 1.基本不等式： ，当且仅当______时，等号成立. 2.算术平均值与几何平均值：设，，则____称为， 的算术平均值， _____称为， 的几何平均值. 3.基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值 大于或等于它们的几何平均值.当且仅当， 两数相等时两者相等. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若，则 .( ) × [解析] 在基本不等式中，要求, 都是非负数，故（1）错误. （2）当时，有 .( ) × [解析] 没有考虑的正负，当时，（当且仅当 时， 等号成立）；当时， （当且仅当 时，等号成立），故（2）错误. 课 前 预 习 6 探究点一 正确理解基本不等式 例1（1） （多选题）下列说法正确的是( ) AB A.若，且，则 B.若，，则 C.对任意的，，， 均成立 D.若，则 [解析] 由基本不等式可知A,B正确； 当，时， 成立（当且仅当时，等号成立），故C错误； 而D中，当 时，该不等式不成立.故选 . 课 中 探 究 7 （2）设 ，则下列不等式中成立的是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为，所以，，，所以 ， ,所以 .故选B. 课 中 探 究 8 变式 （多选题）[2024·石家庄联邦外国语中学高一期中] 下列不等式中恒成 立的是( ) BC A. B. C. D. 课 中 探 究 9 [解析] 对于A，当时, ，故A错误. 对于B，由题意可知，所以，, 所以 ,当且仅当， 即时取等号，故B正确. 对于C，因为 ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故C正确. 对于D，当, 时，，故D错误.故选 . 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的一端 是“和式”而另一端是“积式”时，就可以考虑利用基本不等式来解决.在应用基本 不等式的过程中要注意“一正、二定、三相等”. 课 中 探 究 11 探究点二 利用基本不等式求最值 例2（1） 已知函数，当 时，( ) B A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最小值8 D. 有最大值8 [解析] 由，得，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以当时，函数 有最小值4.故选B. 课 中 探 究 12 （2）若，则 的最小值为( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 由，得 ， 所以， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以 的最小值为4.故选C. 课 中 探 究 13 变式（1） 已知，则 的最大值为( ) C A. B. C.0 D.2 [解析] 因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以 的最大值是0.故选C. （2）已知,则 的最小值为( ) B A.5 B.3 C. D. [解析] 由,得,当且仅当,即 时等号成立，所以 的最小值为3,故选B. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足（1）， 必须都是正 数（一正）；（2）当为定值时，可以知道的最大值，当 为定值时，可 以知道的最小值（二定）；（3）当且仅当 时，等号成立（三相等）. 课 中 探 究 15 探究点三 利用基本不等式比较大小 例3 已知，，且，试比较， ，4的大小. 解：，，,, 当且仅当 时，等号成立. ，，即 . 故 . 课 中 探 究 16 变式 已知,则,, 三个数的大小关系是( ) C A. B. C. D. [解析] 易知当,是正数时,（当且仅当 时，等号同时成 立）,令,得（当且仅当时，等号同时成立）. 又 , 所以 ,故选C. 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 应用基本不等式比较大小，一般有两种思路：（1）结合基本不等式，确定每个 式子的范围，用不等式的传递性比较大小；（2）观察待比较式子的结构特征， 合理选取基本不等式或其变式，利用不等式的性质比较大小. 课 中 探 究 18 探究点四 利用基本不等式证明不等式 ［提问］ 要证明不等式 ，你会联想到哪些不等 式？通过怎样的方式求证呢？ 解：联想到不等式，， （当且仅当 时，三式中的等号同时成立），将它们相加再化简即可. 课 中 探 究 19 例4 设，，都是正数，求证： . 证明：，，都是正数，，， 也都是正数， ，，， 当且仅当 时，三式中的等号同时成立， 三式相加得 ，即 . 课 中 探 究 20 变式 [2024·福建将乐一中高一月考] 已知，，且 ，证 明： . 证明：因为，当且仅当时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 所以，当且仅当 时，等号 成立,则，即 ，故得证. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 要证明的不等式具有一边或两边是三个式子相加或相乘的形式时，通常先用基 本不等式两两结合，再用同向不等式相加或相乘的性质来证明. 课 中 探 究 22 拓展 已知,,都是正实数,且 . 求证: . 证明： , . 又,,都是正实数,,, , 当且仅当 时,三式中的等号同时成立. , . 课 中 探 究 23 $