第1章 §4 一元二次函数与一元二次不等式 4.2 一元二次不等式及其解法(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法、含参数不等式的处理及三个“二次”关系，通过课前预习定义与诊断分析搭建基础，课中探究从具体例题到变式题逐步深入，形成从特殊到一般的学习支架，衔接函数与方程知识。 其亮点在于以数学运算和逻辑思维为核心，结合实例培养素养。如例2分参数a讨论解集，体现分类讨论思想，例3利用韦达定理转化不等式强化联系。素养小结结构化归纳步骤，帮助学生形成解题框架，提升运算能力和问题解决能力，为教师提供分层教学资源和清晰教学流程。

§4 一元二次函数与一元二次不等式 1 4.2 一元二次不等式及其解法 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 解一元二次不等式 探究点二 解含参数的一元二次不等式 探究点三 三个“二次”之间的关系及应用 3 【学习目标】 1.能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，了解一元二次不等式的 现实意义，发展数学建模素养. 2.探索并归纳一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间 的关系，进一步完成一元二次函数的再认识. 3.通过类比一元一次不等式的求解，从具体实例探究一元二次不等式的解 法，感受从特殊到一般的研究方法及函数、方程、不等式的基本思想，感悟函 数的基本观点，总结求解一元二次不等式的步骤，发展数学运算素养. 4 知识点一 一元二次不等式 1.定义：一般地，形如，或 ，或 ，或（其中,为未知数，,, 均为常数，且 ）的不等式叫作一元二次不等式. 2.一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集 合叫作这个一元二次不等式的解集. 课 前 预 习 5 知识点二 三个“二次”之间的关系 一元二次函数 的图象 _________________________________ ______________________________ ______________________________ 课 前 预 习 6 一元二次方程 的根 有两个相异实根 ， 有两个相等实根 无实根 的解集 ,或 的解集 续表 课 前 预 习 7 【诊断分析】 1.若一元二次方程的两个实根为， ，则 一元二次不等式的解集一定为,或 吗？ 解：不一定.当时，不等式的解集为，或； 当 时，不等式的解集为 . 课 前 预 习 8 2.一元二次函数与一元二次不等式有什么关系? 解：（1）从“形”的方面看：一元二次函数在 轴上方的 图象上的所有点的横坐标组成的集合是一元二次不等式 的解集； 一元二次函数在 轴下方的图象上的所有点的横坐标 组成的集合是一元二次不等式 的解集. （2）从“数”的方面看：当一元二次函数 的函数值大于 0时，相应的自变量的值组成的集合是一元二次不等式 的解集； 当一元二次函数 的函数值小于0时，相应的自变量的值 组成的集合是一元二次不等式 的解集. 课 前 预 习 9 探究点一 解一元二次不等式 例1 解下列不等式: （1） ； 解：由得 ， 因为方程的 ， 所以该方程有两个不相等的实数根，解得， ， 画出函数 的图象，由图可知原不等式的解集为 . 课 中 探 究 10 （2） ； 解：由，得 ， 令，可知 ， 又函数 的图象开口向上， 所以易知的解集为 ， 即的解集为 . 课 中 探 究 11 （3） . 解：由可得 ， 因为方程的 ， 所以该方程有两个不相等的实数根，解得， ， 结合一元二次函数的图象得原不等式的解集为 . 课 中 探 究 12 变式（1） [2024·广东珠海金砖四校高一期中]不等式 的解集 是( ) C A. B.或 C. D. [解析] 不等式可化为，解得 ， 不等式的解集是 .故选C. 课 中 探 究 13 （2）[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 不等式 的解 集为_______________. [解析] 不等式可化为 ， 即，解得， 所以不等式 的解集为 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 解一元二次不等式时，若二次项系数为负数，则可先将二次项系数化为正数， 再求对应方程的根，并根据根的情况画出对应函数的图象，观察图象写出解集. 课 中 探 究 15 探究点二 解含参数的一元二次不等式 例2 解关于的不等式 . 课 中 探 究 16 解：①当时，不等式即为，解得 ， 此时不等式的解集为 . ②当时，方程有两个不相等的实根，分别为0和 . 当时，，此时不等式的解集为； 当时， ，此时不等式的解集为 . 综上所述，当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 . 课 中 探 究 17 变式 （多选题）[2024·安徽六安二中高一期中] 对于给定实数，关于 的一 元二次不等式 的解集可能为( ) ABC A. B. C. D. [解析] 一元二次不等式 对应的一元二次方程为 ，两根为和. 当 时，一元二次不等式的解集为； 当时，不等式 可化为，无解， 则一元二次不等式的解集为 ； 当时，一元二次不等式的解集为.故选 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 含参数的一元二次不等式的解法 课 中 探 究 19 探究点三 三个“二次”之间的关系及应用 例3 若关于的一元二次不等式的解集为 ， 求关于的不等式 的解集. 解：由题意知可得 代入不等式 ， 得 ，即， 化简得，解得 ， 所以所求不等式的解集为 . 课 中 探 究 20 变式 若将例3中的“”改为“ ”，其他条件不变， 如何求解？ 解：由题意知可得 代入不等式 ， 得 ，即，化简得 ， 解得或 .所以所求不等式的解集为，或 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ （1）在三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化 为一元二次方程或一元二次不等式的形式来研究. （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系， 通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 课 中 探 究 22 $