第1章 §3 不等式 3.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的简单应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式的简单应用”，核心涵盖利用变形求最值及实际问题应用。通过课前预习的知识点回顾与诊断分析，搭建从基本不等式性质到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于课中探究通过凑配法、常数代换法等多样例题及素养小结，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。如实际问题中构建成本函数，学生能提升问题解决能力，教师可借助系统流程与实例优化教学。

§3 不等式 1 第2课时 基本不等式的简单应用 3.2 基本不等式 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 利用基本不等式的变形求最值 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用 3 【学习目标】 1.能够运用基本不等式变形求最值. 2.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 4 知识点一 基本不等式与最大（小）值 当， 均为正数时，下面的命题均成立： （1）若为定值，则当且仅当时，取得最大值 ； （2）若为定值，则当且仅当时，取得最小值 . 拓展：当，时，,当且仅当 时,等号同 时成立. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于实数，，若为定值，则 有最小值.( ) × [解析] 要求, 都为正实数且等号能取到，才会有最值，故（1）错误； （2）若，则 的最小值为2.( ) × [解析] 取不到等号，错误. 课 前 预 习 6 知识点二 基本不等式在实际问题中的应用 用基本不等式解决实际问题时的常用思路 （1）理解题意,设出变量,设变量时一般把需要求最大值或最小值的变量定义为函数; （2）建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题; （3）根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值; （4）结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题. 课 前 预 习 7 探究点一 利用基本不等式的变形求最值 例1（1） 若，则 的最小值为_______. [解析] （凑配法）因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为 . 课 中 探 究 8 （2）若，，且，则 的最小值是___. 8 [解析] （常数代换法）因为，，且 ， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以 的最小值为8. 课 中 探 究 9 （3）设，则 的最大值为__. [解析] （凑配法） ， ， 当且仅当 ,即 时等号成立. 课 中 探 究 10 （4）设,则 的最小值为_____. [解析] （分离变量法） , , 当且仅当,即时等号成立，的最小值为 . 课 中 探 究 11 变式（1） 已知，则 的最大值为___. 1 [解析] 因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立.故 的最大值为1. （2）已知,,且，则 的最小值为____. [解析] 因为,,所以 （当且仅当 时，等号成立），又因为，所以，则 ，当且仅 当，时，等号成立，即 的最小值为36. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ （1）利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，小于0的项可以通过取相反 数或绝对值变为大于0的项后再求解；（2）等号能否成立是一个关键步骤，要 认真验证，不能省略；（3）主要方法有常数代换法、凑配法、分离变量法、多 元化一元法等. 课 中 探 究 13 拓展 [2024·黑龙江龙东五地高一期中] 已知，， ，则 的最小值为( ) A A.2 B.3 C. D.4 [解析] （多元化一元法）由，， ，得 ,,，故. 又 ，， 当且仅当，即, 时等号成立，即 的最小值为2， 故选A. 课 中 探 究 14 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用 例2 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环 境，计划建一个八边形的休闲区域，它的主体造型的平 面图是由两个相同的矩形和 构成的面积为 的“十字形”地域，如图所示.现计划在正方形 上建一花坛，造价为4200元/ ，在四个相同的矩 形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/ ， 再在四个空角上铺草坪，造价为80元/.设总造价为元，边的长为 . 课 中 探 究 15 （1）试建立关于 的函数关系式； 解：设边的长为，则，即 ， . （2）至少要投入多少元才能建造这个休闲区域？ 解： ， 当且仅当，即时，等号成立，故 . 因此，至少要投入118 000元才能建造这个休闲区域. 课 中 探 究 16 变式 [2024·陕西榆林府谷中学高一月考] 某公益广告 公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ，如图）上设 计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个 全等的直角三角形且 ），宣传栏（图中阴影部 分）的面积之和为 .为了美观，要求海报上所 有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 （宣传栏中 （1）当时，求海报纸（矩形 ）的周长； 相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是），设 . 课 中 探 究 17 解：设阴影部分直角三角形中边上的高为 ， 则阴影部分的面积，所以， 又 ，所以 . 由图可知， ， 故海报纸的周长为 . 课 中 探 究 18 （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 的面积最小）？ 解：由（1）知，， ， 则 ， 当且仅当，即， 时等号成立， 此时，， . 故选择长、宽分别为， 的矩形海报纸，可使用纸量最少. 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意以下两点： （1）从题意中要确定使得基本不等式中等号成立的条件，或者从构建的函数模 型中直接求出等号成立的条件（如函数模型 等）； （2）所求出的最值必须符合实际情况. 课 中 探 究 20 $