第1章 §4 一元二次函数与一元二次不等式 4.1 一元二次函数(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次函数，系统涵盖概念、解析式、图象变换及性质应用。通过课前预习的诊断分析与知识点梳理，搭建从基础回顾到课中探究的学习支架，衔接解析式求解、图象变换及性质应用的核心内容。 其特色在于以素养培养为导向，例1通过三种方法求解析式发展推理能力，例3结合区间分析最值问题强化数学眼光，素养小结提炼方法渗透模型意识。采用“预习-探究-变式-小结”模式，学生能提升解题思维，教师可直接用于课堂教学提高效率。

§4 一元二次函数与一元二次不等式 1 4.1 一元二次函数 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 一元二次函数解析式的求解 探究点二 一元二次函数的图象及变换 探究点三 一元二次函数性质的应用 3 【学习目标】 1.通过具体实例研究一元二次函数的图象和性质，得到一般性结论，培养 归纳、抽象能力. 2.掌握一元二次函数的概念、表达式、图象与性质，会用配方法解决有关 问题，能熟练地求一元二次函数的最值. 4 知识点一 一元二次函数 定义：一般地，如果，，是常数，，那么叫作 的 一元二次函数. 结构特征：（1）等号左边是因变量，右边是关于自变量的二次式， 的最高次 数是___； （2）二次项系数不为___. 2 0 课 前 预 习 5 【诊断分析】 一元二次函数的解析式有哪几种形式？ 解：一元二次函数的解析式有以下三种形式. 一般式： ； 顶点式： ； 交点式： . 任意一个一元二次函数的解析式都有一般式和顶点式，但不一定有交点式. 课 前 预 习 6 知识点二 一元二次函数的图象及变换 1.抛物线的定义：通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 2.一元二次函数图象的平移 一元二次函数的图象可以由 的图象经过向左（或向右） 平移____个单位长度，再向上（或向下）平移____个单位长度得到.且有以下规 律：“正右移，负左移”，“正上移， 负下移”. 课 前 预 习 7 知识点三 一元二次函数 的性质 函数 一元二次函数 图象 _____________________________ ___________________________ 性质 图象开口______，并向上无限延伸 图象开口______，并向下无限延伸 对称轴方程为_________，顶点坐标为_____________ 向上 向下 课 前 预 习 8 函数 一元二次函数 性质 在区间上,函数值 随自变 量 的增大而______；在区间 上,函数值随自变量 的 增大而______ 在区间上,函数值 随自变 量 的增大而______；在区间 上,函数值随自变量 的 增大而______ 当时, 取得最小值_______ 当时, 取得最大值_______ 减小 增大 增大 减小 续表 课 前 预 习 9 【诊断分析】 1.函数， 的最小值为____. [解析] 因为,,所以当 时，函数取得 最小值 . 2.如何判断一元二次函数的图象与 轴的交点个数？ 解：若，则函数图象与轴有两个交点； 若 ，则函数图象与轴有一个交点； 若，则函数图象与 轴没有交点. 课 前 预 习 10 探究点一 一元二次函数解析式的求解 例1 已知一元二次函数的图象经过点, ，且函数的最大值为8， 求该一元二次函数的解析式. 解：方法一：利用一元二次函数的一般式. 根据题意可设 ， 由题意得可得 故所求一元二次函数的解析式为 . 课 中 探 究 11 方法二：利用一元二次函数的交点式. 根据题意可设 ， 即 . 函数有最大值8，，可得 . 故所求一元二次函数的解析式为 . 课 中 探 究 12 方法三：利用一元二次函数的顶点式. 根据题意可设 . 函数图象经过点,， 函数图象的对称轴为直线， ， 又函数的最大值为8，， . 把点的坐标代入，得，可得 ， . 故所求一元二次函数的解析式为 . 课 中 探 究 13 变式 已知一元二次函数 的图象过原点，图象关于直 线对称且函数的最小值为 ，求该一元二次函数的解析式. 解：由题可得解得 所以该一元二次函数的解析式为 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 一元二次函数解析式的求法 （1）一般式：，，为常数，且 . 当已知抛物线上的任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三 元一次方程组并求解. （2）顶点式：，，为常数，且 . 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常将函数的解析式设 为顶点式. （3）交点式：，，是常数，且 .当已知抛物 线与 轴的交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为交点式. 课 中 探 究 15 探究点二 一元二次函数的图象及变换 例2（1） 设，则一元二次函数 的图象可能是( ) D A. B. C. D. [解析] 由A中的图象知，，，，所以，与 矛盾； 由B中的图象知，，，，所以，与 矛盾； 由C中的图象知，，，，所以，与 矛盾； 由D中的图象知，，，，所以， 成立.故选D. 课 中 探 究 16 （2）为了得到函数的图象，只需把函数 的图象 ( ) B A.向左平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度 B.向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度 C.向左平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度 D.向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度 [解析] 可化为，故将 的图象向 右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度即可得到 的图 象.故选B. 课 中 探 究 17 变式 将函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单 位长度，便得到函数的图象，求， 的值. 解：可变形为 ， 函数的图象的顶点坐标为 . 根据题意，把此函数的图象反向平移，可得到函数 的图象，即 把函数 的图象向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度， 就可得到函数的图象，此时点平移至点 处， 函数的图象的顶点坐标是 ， 则解析式为 ， 对照，得， . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 一元二次函数的图象在平移过程中，不变，只是 或 发生变化，故对于一元二次函数图象的平移问题，关键是准确地求出函数图象 的顶点坐标. 课 中 探 究 19 探究点三 一元二次函数性质的应用 例3 [2024·北京五十五中高一期中] （1）求函数， 的最大值和最小值； 解：函数的图象开口向上，且图象的对称轴为直线 ， 又，所以当时，取得最小值，当 时， 取得最大值12. 所以函数，的最大值为12，最小值为 . 课 中 探 究 20 （2）若函数在上的最小值为1，求实数 的值． 解：的图象的对称轴为直线 ，图象开口向上. ①当，即时，函数在 处取得最小值1， 即，得 ，符合题意； ②当，即时，函数在 处取得最小值1， 即，得，与 矛盾，舍去； ③当，即时， 函数在 处取得最小值1，即 ，无解，舍去. 综上可得 . 课 中 探 究 21 变式 已知函数在区间 上的最大值为4，最小值 为3，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 由可知其图象的对称轴为直线 ，图象开口向上， 所以易知，所以. 令，解得 或,易知 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 因为一元二次函数的最值与其图象的对称轴有关，所以求解一元二次函数的最 值问题时，需要利用配方法，确定一元二次函数图象的对称轴的位置，从而确 定当自变量 为何值时，一元二次函数取得最值. 课 中 探 究 23 $