单元素养测评卷(二) 第2章 等式与不等式-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本卷为高中数学第二章不等式单元复习测评卷，涵盖方程组、不等式性质、线性规划等核心知识，通过基础题、实际应用题及新定义问题，分层考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|方程组解集、不等式性质、绝对值不等式|基础巩固，突出概念辨析| |多选|3/18|充要条件、不等式比较、基本不等式|能力提升，考查逻辑推理| |填空|3/15|绝对值不等式、分式不等式、恒成立问题|细节检测，强调运算准确| |解答|5/77|解不等式组、基本不等式应用、几何面积优化、新定义“完美集”|综合应用，体现数学建模与创新意识|

单元素养测评卷(二)  第二章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.方程组的解集为 (　　) A.{(2,1)} B.∅ C.{1,2} D.{(1,2)} 2.下列说法不正确的是 (　　) A.若x=y,则x+5=y+5 B.若a=b,则ac=bc C.若=,则a=b D.若x=y,则= 3.不等式<2的解集是 (　　) A.{x|-3<x<3} B.{x|-9<x<3} C.{x|-9<x<-3} D.{x|x<-9或x>3} 4.若0<m<1,则不等式(x-m)<0的解集为 (　　) A. B. C. D. 5.已知x,y满足则3x-y的取值范围是 (　　) A.[1,7] B.[1,8] C.[2,7] D.[-1,7] 6.已知关于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集为{x|x1<x<x2},且实数x1,x2满足+<1,则实数m的取值范围是 (　　) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.∪(2,+∞) D.∪(5,+∞) 7.当0<a<1时,关于x的不等式(x-3)[(1-a)x+(a-3)]<0的解集为 (　　) A.∪(3,+∞) B.(-∞,3)∪ C. D. 8.已知3x>y>0,且7x+5y=1,则+的最小值为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 (　　) A.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件 B.若a>b>0,m<0,则< C.若p:∀x∈R,x>0,则􀱑p:∃x∈R,x≤0 D.若实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则+的最小值为2 10.[2026·云南曲靖高一期中] 若关于x的不等式x2+(m-2)x+1-m<0在区间(0,+∞)上恰有1个整数解,则m的值可以是 (　　) A.-3 B.-2 C.- D.-1 11.[2025·黑龙江大庆高一期末] 设正实数x,y满足x+y=1,则 (　　) A.的最小值是 B.+的最小值是3 C.x2+y2的最小值是 D.x3+y3的最大值是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.不等式|3x+1|>2x的解集是　　　　.  13.[2026·山东青岛高一期中] 不等式≥3的解集为　　　　.  14.[2025·辽宁沈阳高一期末] 已知不等式(|x-2|-1)(x2+bx+c)≥0对x∈R恒成立,则b+c=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)解下列方程组或不等式组. (1)(2)(3) 16.(15分)已知a>0,b>0. (1)若不等式+≥恒成立,求m的最大值; (2)若a+2b+2ab=8,求a+2b的最小值. 17.(15分)[2025·安徽芜湖高一期末] 已知关于x的不等式x2-2ax-(2a+b-1)(b-1)≥0(b>0). (1)当不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞)时,求a,b的值; (2)若a>0且不等式恒成立,求+的最小值. 18.(17分)[2025·云南曲靖高一期末] 某村原有一块矩形场地ABCD建有健身器材,为了满足村民对体育锻炼的需求,计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境,建造时要求点B在AE上,点D在AF上,且对角线EF经过点C,如图所示.已知AB=16 m,AD=12 m,设DF=x m,矩形AEGF的面积为y m2. (1)写出y关于x的表达式,并求出x为多少时,y取得最小值. (2)要使矩形AEGF的面积大于1024 m2,则DF的长应在什么范围内? 19.(17分)[2025·广东广州高一期末] 若一个集合含有n个元素(n≥2,n∈N),且这n个元素之和等于这n个元素之积,则称该集合为n元“完美集”. (1)写出一个2元“完美集”(无需写出求解过程); (2)求证:对任意一个2元“完美集”,若其元素均为正数,则其元素之积大于4; (3)记|A|为集合A中元素的个数,若集合A是元素均为正整数的“完美集”,求|A|的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(二) 1.D　[解析] ∵∴∴方程组的解集为{(1,2)}.故选D. 2.D　[解析] 对于A,由等式的性质知,若x=y,则x+5=y+5,故A中说法正确;对于B,由等式的性质知,若a=b,则ac=bc,故B中说法正确;对于C,由等式的性质知,若=,则a=b,故C中说法正确;对于D,由等式的性质知,若x=y,则=的前提条件为a≠0,故D中说法不正确.故选D. 3.B　[解析] 由<2可得-2<<2,解得-9<x<3.故选B. 4.D　[解析] 当0<m<1时,m<,所以不等式的解集为.故选D. 5.A　[解析] 设3x-y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,可得 解得所以3x-y=(x+y)+2(x-y),由题意得所以1≤3x-y≤7,即3x-y的取值范围是[1,7].故选A. 6.D　[解析] 由题得关于x的方程x2-(m+1)x+2m-1=0的根为x1,x2,则x1+x2=m+1,x1x2=2m-1,由Δ=(m+1)2-4(2m-1)>0,得m>5或m<1.由+==<1,得<0,即(m-2)(2m-1)>0,解得m>2或m<,故实数m的取值范围是∪(5,+∞).故选D. 7.C　[解析] 当0<a<1时,1-a>0,不等式(x-3)[(1-a)x+(a-3)]<0可化为(x-3)<0,由-3==>0,得>3,所以原不等式的解集为.故选C. 8.C　[解析] 因为3x>y>0,所以3x-y>0,2x+3y>0,因为7x+5y=(3x-y)+2(2x+3y)=1,所以+=[(3x-y)+2(2x+3y)]=5++≥5+2=9,当且仅当即即时,等号成立,所以+的最小值为9.故选C. 9.CD　[解析] 当x=y=-1时,满足+≥2,但不满足x>0且y>0,故A错误;当a=4,b=3,m=-2时,满足a>b>0,m<0,但>,故B错误;全称量词命题的否定是存在量词命题,故􀱑p:∃x∈R,x≤0,故C正确;因为a>0,b>0,a+b=4,所以+=+=+=a-2+b-2++=+=4=[(a+2)+(b+2)]·=≥=2,当且仅当a=b=2时等号成立,所以+的最小值为2,故D正确.故选CD. 10.BC　[解析] x2+(m-2)x+1-m=(x-1)(x-1+m)<0,对应方程的根为1和1-m.当1-m>1,即m<0时,不等式的解集为(1,1-m),又不等式在(0,+∞)上恰有1个整数解,所以2<1-m≤3,可得-2≤m<-1;当1-m<1,即m>0时,不等式的解集为(1-m,1),不等式在区间(0,+∞)上不存在整数解.综上可知,满足条件的m的取值范围是[-2,-1),故选BC. 11.BC　[解析] 对于A,因为正实数x,y满足x+y=1,所以x,y∈(0,1),因为≤=,当且仅当x=y=时取等号,所以的最大值是,故A错误;对于B,+=+=1++≥1+2=3,当且仅当x=y=时取等号,所以+的最小值是3,故B正确;对于C,由≤,得xy≤,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy≥1-2×=,当且仅当x=y=时取等号,所以x2+y2的最小值是,故C正确;对于D,由≤,得xy≤,则x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=1×(x2-xy+y2)=(x+y)2-3xy=1-3xy≥1-=,当且仅当x=y=时等号成立,所以x3+y3的最小值是,故D错误.故选BC. 12.R　[解析] 当x<0时,|3x+1|≥0,2x<0,此时|3x+1|>2x恒成立,故x<0;当x≥0时,由|3x+1|>2x,得3x+1>2x,可得x≥0.综上,原不等式的解集为R. 13.[-4,-1)　[解析] 由≥3,得-3≥0,即≥0,即≤0,所以解得-4≤x<-1,故原不等式的解集为[-4,-1). 14.-1　[解析] 由|x-2|≥1,得x≤1或x≥3;由|x-2|≤1,得1≤x≤3.因为不等式(|x-2|-1)(x2+bx+c)≥0对x∈R恒成立,所以当x≤1或x≥3,即|x-2|-1≥0时,x2+bx+c≥0,当1≤x≤3,即|x-2|-1≤0时,x2+bx+c≤0,所以关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别为1,3,由根与系数的关系得1+3=-b,1×3=c,所以b=-4,c=3,所以b+c=-4+3=-1. 15.解:(1)由①得2(2x+1)-3(3x+2)>6,解得x<-2.由②得2x-x<3,解得x<3. 所以原不等式组的解集为(-∞,-2). (2)由①-②得2y=-4,由③-①得8x-4y=16, 即2x-y=4.由解得代入③,得9+6+z=17,解得z=2. 所以原方程组的解集是{(1,-2,2)}. (3)由第一个式子可得y=2x-1,代入第二个式子可得x2+2(2x-1)2=3, 即9x2-8x-1=0,解得x1=1,x2=-,代入y=2x-1,可得y1=1,y2=-. 故方程组的解集为. 16.解:(1)由+≥,得m≤(a+3b), 因为a>0,b>0,所以(a+3b)=6++≥6+2=12,当且仅当=,即a=3b时取等号, 所以m≤12,所以m的最大值为12. (2)若a+2b+2ab=8,a>0,b>0,则8-(a+2b)=a·2b≤, 当且仅当a=2b,即b=1,a=2时取等号,则(a+2b)2+4(a+2b)-32≥0, 又a+2b>0,所以a+2b≥4,所以a+2b的最小值为4. 17.解:(1)由题可知,±1为关于x的方程x2-2ax-(2a+b-1)(b-1)=0的根, ∴解得或 ∵b>0,∴a=0,b=2. (2)由题可知,Δ=(-2a)2-4×1×[-(2a+b-1)(b-1)]≤0,∴a2+2a(b-1)+(b-1)2≤0,即(a+b-1)2≤0,∴a+b=1. ∵a>0,b>0,∴+=(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b=时取等号,∴+的最小值为4. 18.解:(1)由题图知CD∥AE,所以=,即=,解得AE=, 所以y=×(x+12)=(x>0). 因为y==16,且x+≥2=24,当且仅当x=12时,等号成立, 所以y=16≥768,所以当x=12时,y取得最小值768. (2)因为矩形AEGF的面积大于1024 m2, 所以>1024,化简得x2-40x+144>0, 即(x-4)(x-36)>0,可得0<x<4或x>36. 19.解:(1)设一个2元“完美集”为{x1,x2}(x1≠x2),则x1+x2=x1x2, 因为+3=×3=,所以2元“完美集”可以为(答案不唯一). (2)证明:设2元“完美集”为{x1,x2}(x1≠x2),则x1+x2=x1x2, 因为x1>0,x2>0,x1≠x2,所以x1+x2>2, 所以x1x2>2,又x1x2>0,所以x1x2>4, 所以对任意一个2元“完美集”,若其元素均为正数,则其元素之积一定大于4. (3)设n元“完美集”为{x1,x2,…,xn},其中xi∈N*,i=1,2,…,n, 不妨设x1<x2<…<xn, 则x1x2…xn=x1+x2+…+xn<nxn,可得x1x2…xn-1<n, 假设|A|=n≥4,可知x1x2…xn-1≥1×2×…×(n-1)≥2(n-1)=n+n-2>n, 所以假设不成立,即|A|=n≤3, 又因为1+2+3=1×2×3,所以存在元素均为正整数的3元“完美集”{1,2,3}, 所以|A|的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $