专题02 等式与不等式性质及一元二次不等式（期中复习讲义）高一数学上学期人教B版

专题02 等式与不等式性质及一元二次不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 等式的性质与方程的解集 考点二 一元二次方程的解集与根与系数的关系 考点三 方程组的解集 考点四 由已知条件判断不等式是否正确 考点五 由不等式的性质比较大小 考点六 利用不等式求最值范围 考点七 解含参的一元一次不等式 考点八 解分式不等式 考点九 解绝对值不等式 考点十 解一元二次不等式 考点十一 由一元二次不等式解集求参数 05 重难题型突破 题型一 解含参数的一元二次不等式 题型二 一元二次不等式的整数解问题 题型三 一元二次不等式在R上恒成立（有解）问题 题型四 一元二次不等式在某区间上恒成立（有解）问题 题型五 一元二次方程根的分布问题 题型六 取整函数与一元二次不等式 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重等式性质不等式性质判断简单不等式求解 中档题集中在一元二次不等式含参不等式根与系数关系 难题多为恒成立与存在性问题根的分布整数解问题 命题侧重代数运算数形结合分类讨论思想易错点集中在参数讨论遗漏空集或二次项系数为0的情况 识记 牢记等式基本性质不等式基本性质一元二次方程根与系数关系分式绝对值不等式等价转化规则 理解 理解方程解集与不等式解集内在联系理解一元二次函数一元二次方程一元二次不等式三者之间的关系 应用 能灵活求解各类不等式会处理含参一元二次不等式能解决恒成立有解整数解根的分布综合问题 1．等式的性质： 性质1  对称性：如果，那么______； 性质2  传递性：如果，，那么______； 性质3  可加（减）性：如果，那么； 性质4  可乘性：如果，那么； 性质5  可除性：如果，，那么. 2．韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则_________；__________. 3．不等关系与不等式 （1）两个实数比较大小的方法 ①作差法 ②作商法 （2）不等式的性质 ①对称性：__ ______； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （3）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 4．分式二次不等式 _______ _______且 5．简单的绝对值不等式 的解集为_____________，的解集为______． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系 判别式 二次函数（）的图象 方程（）的根 有两个不相等的实数根，（） 有两个相等的实数根 没有实数根 （）的解集 _____或__________ （）的解集 _______________ _______ _______ 7．恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 二次不等式恒成立________ 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立. 二次不等式恒成立 ________ 补充：若，当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立__ ______ 在恒成立________ 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 类型 3：区间上有解问题 在有解________ 在有解________ 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 8．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 考点一 等式的性质与方程的解集 ⚠️概念辨析 等式两边同加同减同乘不为0的数等式仍成立方程解集是全部解构成的集合 ⚠️易混易错 变形时留意除数不能为0解方程后可代入原式检验根是否有效 1．（25-26高一下·广东汕头·期末）因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设为两两不同的实数，若，则___________. 4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 考点二 一元二次方程的解集与根与系数的关系 ⚠️概念辨析 判别式判断根的个数韦达定理 ⚠️易混易错 使用韦达定理前先判断区分二次项系数是否为0不能直接套用公式 5．（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）已知关于x的方程的两个实数根分别为，若，则实数_________． 6．（26-27高一上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，则以，为根且二次项系数是1的一元二次方程为________________. 7．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，，若，，则的值为________． 8．（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 考点三 方程组的解集 ⚠️概念辨析 方程组解集为所有方程公共解构成的集合常用代入消元加减消元 ⚠️易混易错 消元过程注意符号最后写成集合形式不要漏写大括号 9．（26-27高一上·上海·阶段检测）（1）设为实数，求关于的方程的解集； （2）设，求关于与的方程组的解集. 10．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 12．（25-26高一上·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 考点四 已知条件判断不等式是否正确 ⚠️概念辨析 不等式同向可加正数同向可乘乘除负数不等号方向反转 ⚠️易混易错 举反例快速排除错误选项乘除参数先判断正负不能随意开方平方 13．（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）已知、、均为实数，若且，则下列不等关系中成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）下列命题为真命题的是（ ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 15．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 16．（26-27高一上·河北·阶段检测）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点五 由不等式的性质比较大小 ⚠️概念辨析 作差法作商法适用于正数比较 ⚠️易混易错 优先作差变形因式分解判断正负作商法务必保证两数都是正数 17．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）一般认为，居民住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则采光效果是变好了还是变坏了？为什么？ （3）已知，，是三角形的三边，比较与2的大小，并说明理由； 18．（26-27高一上·河北·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 19．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了.    (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 考点六 利用不等式求最值范围 ⚠️概念辨析 不等式传递性同向不等式相加求范围注意不能随意相减相乘 ⚠️易混易错 求变量范围避免多次放缩导致范围扩大看清变量独立还是关联 21．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)求a的取值范围. 22．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）（1）已知 ，求证：. （2）已知实数，满足，，求的取值范围. （3）已知实数满足条件：，. 甲同学做法：先求出的取值范围、的取值范围，再直接代入代数式，算出范围； 乙同学做法：使用待定系数整体配凑求的取值范围.①试分别写出甲、乙两人计算得到的结果；②判断哪位同学结果正确，并利用不等式的性质简要说明为什么另一种解法是错误的； 23．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 24．（26-27高一上·甘肃平凉·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 考点七 解含参的一元一次不等式 ⚠️概念辨析 系数a正负决定不等号方向a=0单独讨论 ⚠️易混易错 第一步分类讨论参数a等于0大于0小于0不要直接除以含参代数式 25．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）解关于x的不等式． 26．（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 27．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·上海宝山·开学考试）解关于的不等式. 考点八 解分式不等式 ⚠️概念辨析 等价且 ⚠️易混易错 严禁直接两边乘分母分母不为0不能遗忘转化整式不等式再求解 29．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 30．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式的解集为______________________. 31．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 32．（26-27高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．{或} 考点九 解绝对值不等式 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 分清绝对值里面式子正负去掉绝对值符号分类讨论端点仔细核验 33．（2026高三·全国·专题练习）不等式 的解集为________. 34．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 35．（25-26高一上·江苏泰州·期中）不等式的解集为_____. 36．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）不等式的解集为________. 考点十 解一元二次不等式 ⚠️概念辨析 二次函数图象一元二次方程一元二次不等式三者联系看开口与根写解集 ⚠️易混易错 先把二次项系数化为正数求对应方程的根结合抛物线图象写解集 37．（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 38．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3) . 39．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 40．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 考点十一 由一元二次不等式解集求参数 ⚠️概念辨析 不等式解集端点就是对应一元二次方程的根韦达定理建立等式 ⚠️易混易错 看清二次项正负解集端点带回方程用韦达列式求出参数后检验 41．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 42．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 43．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 44．（26-27高一上·广西·期中）（多选）已知不等式的解集为或}，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为或 题型一 解含参数的一元二次不等式 典例1 （26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，，求此不等式的解集． 💡破题要诀 【核心知识】二次项系数判别式两根大小都会影响解集分类讨论思想 【破题要诀】三级讨论先讨论二次项系数是否为0再讨论判别式正负最后比较两根大小 迁移应用 1．（26-27高一上·四川资阳·阶段检测）解下列关于的不等式： (1); (2) 2．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）对于实数，关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）解关于的不等式： (1)； (2). 题型二 一元二次不等式的整数解问题 典例1 （26-27高一上·广东广州·阶段检测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是________. 💡破题要诀 【核心知识】求出不等式解集结合数轴锁定整数限制区间边界 【破题要诀】画出数轴定位解集端点根据整数个数列出边界不等式重点检验端点能否取等 迁移应用 1．（26-27高一上·福建三明·阶段检测）关于的不等式 恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______. 题型三 一元二次不等式在R上恒成立（有解）问题 典例1 （26-27高三上·江西·阶段检测）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是________． 💡破题要诀 【核心知识】恒成立是全体实数都满足有解是至少存在一个实数满足二者不要混淆 【破题要诀】二次函数R上恒成立看开口方向与判别式恒成立有解二次项系数为0单独讨论 迁移应用 1．（26-27高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A．或 B． C． D． 2．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·上海·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 题型四 一元二次不等式在某区间上恒成立（有解）问题 典例1 （26-27高一上·湖北荆州·阶段检测）设函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围． 💡破题要诀 【核心知识】区间上恒成立转化函数最值大于或小于0有解转化函数最值满足条件 【破题要诀】分开口方向对称轴是否落在给定区间求区间上最值列式求解参数 迁移应用 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设二次函数，其对称轴为． (1)求关于的不等式的解集（请用表示）； (2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3.（26-27高一上·重庆永川·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数的取值范围． 题型五 一元二次方程根的分布问题 典例1 （26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 💡破题要诀 【核心知识】结合二次函数图象利用端点函数值对称轴判别式建立不等式组 【破题要诀】画图辅助分析列出限制条件不能只用韦达定理优先考虑判别式 迁移应用 1．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 2．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高一上·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 题型六 取整函数与一元二次不等式 典例1 （25-26高一上·湖北黄冈·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.那么不等式成立的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 【核心知识】取整函数表示不超过x的最大整数分段写出函数表达式 【破题要诀】设确定t的整数范围转化为一元二次不等式求解回代验证x范围 迁移应用 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）（多选）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（   ） A． B．，若，则 C． D．不等式的解集为 2．（25-26高一上·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C．{或} D．{或} 2．（25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 二、多选题 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）下列式子中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 6．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 三、填空题 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）不等式的解集________. 9．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 四、解答题 11．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 12．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 13．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知不等式的解集为，不等式的解集为． (1)若，不等式的解集为，求不等式的解集； (2)，，求a的取值范围． 14．（26-27高一上·四川·期中）根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C．{或} D．{或} 2．（25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 二、多选题 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）下列式子中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 6．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 三、填空题 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）不等式的解集________. 9．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 四、解答题 11．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 12．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 13．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知不等式的解集为，不等式的解集为． (1)若，不等式的解集为，求不等式的解集； (2)，，求a的取值范围． 14．（26-27高一上·四川·期中）根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式性质及一元二次不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 等式的性质与方程的解集 考点二 一元二次方程的解集与根与系数的关系 考点三 方程组的解集 考点四 由已知条件判断不等式是否正确 考点五 由不等式的性质比较大小 考点六 利用不等式求最值范围 考点七 解含参的一元一次不等式 考点八 解分式不等式 考点九 解绝对值不等式 考点十 解一元二次不等式 考点十一 由一元二次不等式解集求参数 05 重难题型突破 题型一 解含参数的一元二次不等式 题型二 一元二次不等式的整数解问题 题型三 一元二次不等式在R上恒成立（有解）问题 题型四 一元二次不等式在某区间上恒成立（有解）问题 题型五 一元二次方程根的分布问题 题型六 取整函数与一元二次不等式 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 基础题侧重等式性质不等式性质判断简单不等式求解 中档题集中在一元二次不等式含参不等式根与系数关系 难题多为恒成立与存在性问题根的分布整数解问题 命题侧重代数运算数形结合分类讨论思想易错点集中在参数讨论遗漏空集或二次项系数为0的情况 识记 牢记等式基本性质不等式基本性质一元二次方程根与系数关系分式绝对值不等式等价转化规则 理解 理解方程解集与不等式解集内在联系理解一元二次函数一元二次方程一元二次不等式三者之间的关系 应用 能灵活求解各类不等式会处理含参一元二次不等式能解决恒成立有解整数解根的分布综合问题 1．等式的性质： 性质1  对称性：如果，那么______； 性质2  传递性：如果，，那么______； 性质3  可加（减）性：如果，那么； 性质4  可乘性：如果，那么； 性质5  可除性：如果，，那么. 2．韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则_________；__________. 3．不等关系与不等式 （1）两个实数比较大小的方法 ①作差法 ②作商法 （2）不等式的性质 ①对称性：__ ______； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （3）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 4．分式二次不等式 _______ _______且 5．简单的绝对值不等式 的解集为_____________，的解集为______． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系 判别式 二次函数（）的图象 方程（）的根 有两个不相等的实数根，（） 有两个相等的实数根 没有实数根 （）的解集 _____或__________ （）的解集 _______________ _______ _______ 7．恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 二次不等式恒成立________ 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立. 二次不等式恒成立 ________ 补充：若，当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立__ ______ 在恒成立________ 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 类型 3：区间上有解问题 在有解________ 在有解________ 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 8．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 考点一 等式的性质与方程的解集 ⚠️概念辨析 等式两边同加同减同乘不为0的数等式仍成立方程解集是全部解构成的集合 ⚠️易混易错 变形时留意除数不能为0解方程后可代入原式检验根是否有效 1．（25-26高一下·广东汕头·期末）因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题可以用十字相乘法因式分解，也可展开选项验证： 方法一：十字相乘法因式分解 二次三项式可以使用十字相乘法如下拆分 满足一次项系数要求：， 故因式分解结果为： 方法二：对选项逐个展开验证即可. 2．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分析可知，为方程的根，可得出关于、的方程组，即可解得、的值. 【详解】根据题意可知存在，使得， 所以，为方程的根， 所以，解得， 且当时，，符合题意. 故选：D. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设为两两不同的实数，若，则___________. 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解以及对等式性质的运用，解题的关键思路是通过对已知等式进行变形，构造出关于k的方程，进而求解k的值. 【详解】因为，所以 ① 同理可得 ②， ③； 由①得到 ④ 由②得到 ⑤ 由④、⑤得到，即；同理得   所以，化简得到 因为为两两不同的实数，所以 ，所以，得到 ； 故答案为： 4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则______． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 考点二 一元二次方程的解集与根与系数的关系 ⚠️概念辨析 判别式判断根的个数韦达定理 ⚠️易混易错 使用韦达定理前先判断区分二次项系数是否为0不能直接套用公式 5．（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）已知关于x的方程的两个实数根分别为，若，则实数_________． 【答案】 【分析】利用韦达定理得出两根和与积，把变形为，结合已知条件构造方程求m，再结合题意用判别式验证求实数． 【详解】方程的两个实数根满足： ， 则，整理得， 解得或， 当时，，无实根，舍去； 当时，，符合题意， 故实数． 6．（26-27高一上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，，则以，为根且二次项系数是1的一元二次方程为________________. 【答案】 【分析】根据根与系数的关系（韦达定理）求解. 【详解】因为，是一元二次方程的两个实根， 所以，， 所以，， 所以所求一元二次方程为. 7．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，，若，，则的值为________． 【答案】或 【分析】分类讨论的取值，结合题设条件可得两方程有不等于且不等于的一个公共根，再由韦达定理可得答案. 【详解】若，此时，则，这与题设不符； 若，此时，易得， 若，则此时，与题设不符； 若，则此时，这与题设不符. 综上可得均不为0，注意到两集合对应方程判别式均为，则两方程根的个数相同. 若，结合，可得两方程有相同根，这与矛盾. 若，设两根为，因均不是两方程的根， 则方程，从而两根为， 又，，则两方程有不等于且不等于的一个公共根， 又为的根，则两根为， 方程两根为，从而. 当时，由韦达定理可得：，从而； 当时，由韦达定理可得：. 8．（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实根得到判别式以及集合并集即可求解； （2）由韦达定理代入化简即可求解； （3）由韦达定理以及代入即可求解. 【详解】（1）由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 故， 解得：，因此，又，， 故的取值范围是． （2）由题意，当，即时， 有，， 故，即， 解得：或． 又，故． （3）由题意，当，即时， 有，， 故， 关于为开口向上的二次函数，对称轴为， 由， 故， 即的取值范围为． 考点三 方程组的解集 ⚠️概念辨析 方程组解集为所有方程公共解构成的集合常用代入消元加减消元 ⚠️易混易错 消元过程注意符号最后写成集合形式不要漏写大括号 9．（26-27高一上·上海·阶段检测）（1）设为实数，求关于的方程的解集； （2）设，求关于与的方程组的解集. 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为； （2）当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）先将方程化为，再分别讨论和两种情况，求出方程解集即可； （2）联立方程组可得，分别讨论和两种情况，求出方程组解集即可. 【详解】（1）由题可得，方程可化为， 当时，方程的解为，则解集为； 当时，方程为，对取一切实数均成立，所以解集为； （2）由题可得，即， 当时，，所以，因此，解集为； 当时，不成立，所以方程无解，因此解集为. 10．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入解出再求解即可 【详解】，代入得， 化简得：，解得：或，又， 因为，所以，又因为，所以， 解集为. 11．（25-26高一上·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【答案】B 【详解】甲看错，把代入，得，解得. 乙看错，把代入，得，解得. 综上，. 12．（25-26高一上·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【答案】或 【分析】在方程组中消去，得出，由题意知该方程只有一解，按照和分类讨论，利用判别式法求解即可. 【详解】将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 故答案为：或. 考点四 已知条件判断不等式是否正确 ⚠️概念辨析 不等式同向可加正数同向可乘乘除负数不等号方向反转 ⚠️易混易错 举反例快速排除错误选项乘除参数先判断正负不能随意开方平方 13．（26-27高一上·上海徐汇·阶段检测）已知、、均为实数，若且，则下列不等关系中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，以及作差法判断不等式的大小，即可判断选项. 【详解】对于A选项，若，则，当时等号成立，故A错误； 对于B选项，，因为，则， 当、同号时，，则，即， 当、异号时，，则，即，故B错误； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，若，则，，故D正确. 14．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）下列命题为真命题的是（ ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【答案】B 【详解】当时，显然不成立，故A错误； 由，利用不等式的性质易得，故B正确； 当时，取，则，故C错误； 当时，,由不等式的性质，可得，故D错误. 15．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质可判断ABC，由作差法可判断D. 【详解】对于选项A，∵，∴不等式同乘以可得， 不等式同乘以可得，即，A正确. 对于选项B，∵，且，∴，即，B正确， 对于选项C，取，则，但，C错误， 对于选项D，∵，， ∴，， ∴，故，D正确. 16．（26-27高一上·河北·阶段检测）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于，当时，；当时，由，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得，综上，正确. 对于，由，不等式两边同乘正数得；两边同乘正数得，所以，正确. 对于，举反例：取，满足，但，此时，错误. 对于，用作差法：，由，可知，差值大于 0，即，正确. 考点五 由不等式的性质比较大小 ⚠️概念辨析 作差法作商法适用于正数比较 ⚠️易混易错 优先作差变形因式分解判断正负作商法务必保证两数都是正数 17．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）一般认为，居民住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则采光效果是变好了还是变坏了？为什么？ （3）已知，，是三角形的三边，比较与2的大小，并说明理由； 【答案】（1）证明：， 因为，，所以，， 所以，即． （2）采光效果变好了,原因见解析； （3），理由如下： 因为，，是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理，， 所以 ． 即. 【详解】（1）略 （2）采光效果是变好了，理由如下： 设地板面积为，窗户面积为，窗户面积和地板面积同时增加， 由题意，，由（1）知， 即窗户面积与地板面积的比值变大，所以采光效果变好了． （3）略 18．（26-27高一上·河北·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可求解， （2）利用作差法，结合配方以及平方的性质即可求解. 【详解】（1）．     因为，，所以，， 所以．    因为，所以，     又，，所以，所以， 所以，   所以，即．     （2） ．    因为，，所以， 所以． 19．（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】 （1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了.    (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 【答案】(1) (2) 由， 因为，所以， 即. 【分析】 利用浓度的变大来解释变咸了； 利用作差法来证明不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了. （2）略 考点六 利用不等式求最值范围 ⚠️概念辨析 不等式传递性同向不等式相加求范围注意不能随意相减相乘 ⚠️易混易错 求变量范围避免多次放缩导致范围扩大看清变量独立还是关联 21．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 则，解得， ， ， ， 则，即的取值范围为. （2）由于， ，， 则，即的取值范围为. 22．（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测）（1）已知 ，求证：. （2）已知实数，满足，，求的取值范围. （3）已知实数满足条件：，. 甲同学做法：先求出的取值范围、的取值范围，再直接代入代数式，算出范围； 乙同学做法：使用待定系数整体配凑求的取值范围.①试分别写出甲、乙两人计算得到的结果；②判断哪位同学结果正确，并利用不等式的性质简要说明为什么另一种解法是错误的； 【答案】（1）证明：因为，所以，所以，两边同乘以，得. 又，不等式两边同乘负数，不等号反向，所以. （2） （3）①甲同学计算结果；乙同学计算结果 ②乙同学结果正确. 由不等式性质，、并不是相互独立变量，取边界值时，并不能同时取到对应的边界值.单独求出、各自的范围再代入代数式，会扩大最终取值范围，因此甲的解法错误. 【分析】（1）利用不等式性质证明即可； （2）设，利用恒等式得，进而得，进而利用不等式性质可求解； （3）①甲同学，利用不等式性质求得，，进而利用不等式性质求得范围；乙同学：设，利用恒等式得，进而得，进而利用不等式性质可求解； ②乙同学结果正确，说明范围扩大的原因即可. 【详解】（1）略. （2）解：设， 列方程组：，解得：， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 两式相加：， 所以. （3）①解：甲同学： 两式相加：，即； 所以，与相加，得，即. 由，，得. 乙同学：设， 得，解得：， 所以， 因为， 相加得：. 所以甲结果：；乙结果：. ②略 23．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 【答案】（1）证明： ， 所以，等号成立当且仅当且. （2） ． 【分析】（1）应用作差法计算证明即可； （2）应用待定系数法结合不等式性质计算求解. 【详解】（1）略 （2）设． 则，解得，； 所以， 由，得， 又，所以， 两式相加：， 所以的取值范围是 24．（26-27高一上·甘肃平凉·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）（2）根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，， 故， 即， （2）由于，， 故. 考点七 解含参的一元一次不等式 ⚠️概念辨析 系数a正负决定不等号方向a=0单独讨论 ⚠️易混易错 第一步分类讨论参数a等于0大于0小于0不要直接除以含参代数式 25．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）解关于x的不等式． 【答案】 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据不等式的解法，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【详解】由不等式， 当时，即时，解得，所以不等式的解集为； 当时，即时，不等式即为恒成立，所以不等式的解集为； 当时，即时，解得，所以不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 26．（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为. 【分析】由不等式，得，通过讨论，求得不等式的解集. 【详解】由不等式，得. 当时，，所以； 当时，，所以，恒成立； 当时，，所以. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R 当时，不等式的解集为. 27．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知，若这个关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解得，解得，由题意有三个整数解，判断出，解出m的范围即可． 【详解】不等式组恰好有3个整数解， 由可得，由可得，则这3个整数为， 所以，即． 故选：A． 28．（25-26高一上·上海宝山·开学考试）解关于的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】根据不等式的解法，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【详解】由不等式， 当时，即时，解得，所以不等式的解集为； 当时，即时，不等式即为恒成立，所以不等式的解集为； 当时，即时，解得，所以不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 考点八 解分式不等式 ⚠️概念辨析 等价且 ⚠️易混易错 严禁直接两边乘分母分母不为0不能遗忘转化整式不等式再求解 29．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由得， 等价于，解得或， 故原不等式的解集为或. 30．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）不等式的解集为______________________. 【答案】 【详解】∵，∴， 即，即， 即， 解得或， 即不等式解集为. 31．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 即， 所以， 所以， 解得， 所以原不等式的解集为. 32．（26-27高一上·辽宁·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．{或} 【答案】B 【详解】由题意可得 ，解得，即解集为， 考点九 解绝对值不等式 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 分清绝对值里面式子正负去掉绝对值符号分类讨论端点仔细核验 33．（2026高三·全国·专题练习）不等式 的解集为________. 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值并分别求解，将各区间的解集取并集得出最终结果. 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式 的解集为. 34．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 【答案】 【分析】通过对绝对值|2x﹣1|的讨论，分类讨论求解不等式，再把两种情况取并集即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 35．（25-26高一上·江苏泰州·期中）不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】分为和两种情况去绝对值符号，即可求解不等式. 【详解】因为，所以或， 即或，所以或， 所以不等式的解集为：. 故答案为： 36．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）不等式的解集为________. 【答案】 【分析】分情况去掉绝对值，即可分类求解. 【详解】当时，不等式化简为，解得， 当时，不等式化简为，解得， 当时，不等式化简为，解得， 综上可得：不等式的解集为， 故答案为： 考点十 解一元二次不等式 ⚠️概念辨析 二次函数图象一元二次方程一元二次不等式三者联系看开口与根写解集 ⚠️易混易错 先把二次项系数化为正数求对应方程的根结合抛物线图象写解集 37．（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先把不等式变形为标准的一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 所以不等式的解集为． 38．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3) . 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （2）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （3）分为，，，，五种情况，分别求解即可. 【详解】（1）可化为. 方程的根为，. 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为. （2）可化为. 方程的根为，. 二次函数开口向下， 所以不等式的解集为. （3）当时，不等式可化为，解得，此时解集为. 当时，不等式可化为， 方程的根为，. 当时，函数开口向下，此时， 所以不等式的解集为. 当时，函数开口向上， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 39．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1），得或， 故的解集为. （2）恒成立，故的解集为 （3）， 即，即，解得， 故的解集为. （4）由得或，解得或， 故的解集为. （5）由 得，即，解得， 故的解集为. 40．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，等价于， 即，解得：， 当时，等价于，恒成立； 当时，等价于， 即，解得：； 综上，的解集为. 考点十一 由一元二次不等式解集求参数 ⚠️概念辨析 不等式解集端点就是对应一元二次方程的根韦达定理建立等式 ⚠️易混易错 看清二次项正负解集端点带回方程用韦达列式求出参数后检验 41．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】先利用一元二次不等式与二次函数的关系得到，.再代入各选项验证即可. 【详解】对于A，因为不等式的解集为或， 由二次函数的性质可知，，故A正确. 对于B，利用零点式可得一元二次不等式为. 对比，可得. ，故B正确. 对于C，，因为， 所以，故C错误. 对于D，，因为， 所以不等式等价于，所以解集为或，D正确. 42．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先由条件求出，的数量关系，代入一元二次不等式消元，求解即得. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，所以， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 43．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知一元二次不等式的解集，结合韦达定理得到与的关系，代入所求不等式化简后即可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，且是方程的两个实根. 由韦达定理得：， 整理得，，其中. 将代入不等式， 可得：， 因为，可得：，即：， 则，解得或， 即所求不等式的解集为或. 44．（26-27高一上·广西·期中）（多选）已知不等式的解集为或}，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为或 【答案】ABC 【分析】先根据题意可得的两根为.根据根与系数的关系得到的关系及，再逐一分析选项即可． 【详解】根据题意，可得的两根为，且，故A正确. 由根与系数的关系可得，即 ． 因为，所以B正确． 令，则，所以C正确. 由，得， 所以，即， 解得，所以D错误． 题型一 解含参数的一元二次不等式 典例1 （26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，，求此不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值. （2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集. 【详解】（1）由题意知，且1和5是方程的两根， ∴，且， 解得，，∴． （2）若，，原不等式为， ∴，∴． ∴时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 综上所述：当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为． 当时，原不等式解集为． 💡破题要诀 【核心知识】二次项系数判别式两根大小都会影响解集分类讨论思想 【破题要诀】三级讨论先讨论二次项系数是否为0再讨论判别式正负最后比较两根大小 迁移应用 1．（26-27高一上·四川资阳·阶段检测）解下列关于的不等式： (1); (2) 【答案】(1) (2)当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）原不等式可化为，结合一元二次不等式解法可求结论； （2）将所求不等式变形为，对实数 a的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解. 【详解】（1）由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （2） 当时，原不等式为： 当时，则或 ①当时，，或 ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，. 2．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）对于实数，关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分、和，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，则有，显然不成立， 此时原不等式的解集为，故A正确； 当时，原不等式即为， 当时，不等式，即为， 其解集为，故B正确； 当时，不等式，即为， 不等式的解集为，故D正确. 3.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）根据分式不等式的解法转化为求解，再根据二次不等式求解即可； （2）分，，，，五种情况讨论求解即可. 【详解】（1）将移项，并通分整理得， 所以，解得， 所以的解集为. （2）， 当时，，解得，即不等式的解集为； 当时，， 方程的实数根为， 当时，，不等式的解集为； 当时，的大小有以下三种情况： ①当时，即时，不等式的解集为； ②当时，即时，不等式的解集为； ③当时，即时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型二 一元二次不等式的整数解问题 典例1 （26-27高一上·广东广州·阶段检测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】应用分类讨论及含参一元二次不等式的解法求不同参数取值情况下对应的解，结合整数解的个数列不等式求参数范围. 【详解】当时，原不等式为，可得，此时不等式不止一个整数解，不符合题意， 当时，原不等式整理为， 若，即时，得，要使不等式恰有一个整数解，则，可得， 若，即时，不等式无解，不符合题意， 若，即时，得，此时不等式不存在整数解，不符合题意， 若，即时，得或，此时不等式不止一个整数解，不符合题意， 综上，. 💡破题要诀 【核心知识】求出不等式解集结合数轴锁定整数限制区间边界 【破题要诀】画出数轴定位解集端点根据整数个数列出边界不等式重点检验端点能否取等 迁移应用 1．（26-27高一上·福建三明·阶段检测）关于的不等式 恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对不等式进行化简，再由不等号是小于号，得到二次函数开口向上，从而讨论和两种情况即可. 【详解】原不等式可化简为， 即， ∵不等式恰有2个整数解， ∴，即或， 当时，，， 不等式解集为， ∵，∴两个整数只能取，即，解得； 当时，，， 不等式解集为，∵， ∴两个整数只能取，即，解得. 2．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元二次不等式及仅有 4 个整数解排除，确定得到解集区间，再分两类讨论区间内的 4 组连续整数，通过端点不等式求出范围. 【详解】因为不等式为关于的一元二次不等式，所以， 若，则不等式的解集为两段无穷区间，不满足解中有且仅有4个整数； 若，则不等式的解集为， 因为不等式的解中有且仅有4个整数，且则4个整数可能是或， 若4个整数是，则，解得，即； 若4个整数是，则，解得，即， 综上，实数的取值集合是. 3.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】首先对进行因式分解，化简成；再讨论、、；然后在的前提下，再分类讨论、、. 【详解】因式分解 当时，不等式，化成， 解得，有无穷多个整数解，不符合题意，舍去； 当时，方程，解得， 当时，，， 所以不等式的解为或， 有无穷多个整数解，不符合题意，舍去； 当时， 若，即， ，此时不等式， 化成，无解，舍去； 若，即， ，此时不等式的解为， 因为不等式的解集中恰有三个整数， 所以，解得 若，即， ，此时不等式的解为， 因为，所以不可能有三个整数解，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为. 题型三 一元二次不等式在R上恒成立（有解）问题 典例1 （26-27高三上·江西·阶段检测）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】二次函数开口向上，对全体实数恒大于0，等价于判别式. 【详解】命题，为真命题， 因为，二次项系数，所以二次函数开口向上， 要使得对全体实数恒成立，则，即， 解得，即实数的取值范围是. 💡破题要诀 【核心知识】恒成立是全体实数都满足有解是至少存在一个实数满足二者不要混淆 【破题要诀】二次函数R上恒成立看开口方向与判别式恒成立有解二次项系数为0单独讨论 迁移应用 1．（26-27高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为或. 2．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集为，得出解出的取值范围即可. 【详解】若关于的不等式的解集为， 则，解得：， 所以的取值范围是. 3.（26-27高一上·上海·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先对二次项系数为0和不为0分类讨论，再结合一元二次不等式的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】当时，解得，此时，符合题意， 当时，解得， 若不等式的解集为， 可得，解得， 综上可得实数的取值范围为. 题型四 一元二次不等式在某区间上恒成立（有解）问题 典例1 （26-27高一上·湖北荆州·阶段检测）设函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． (2) 【分析】（1）根据题意，得出不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，利用分离参数法，得到，结合函数的单调性、最值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，由，可得， 整理得，解得； 当时，由，可得， 整理得，即，解得； 当时，由，可得， 整理得，即， 令，解得或， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或， 综上可得，时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）解：由关于的不等式在时有解， 即不等式在时有解， 由于，所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是． 💡破题要诀 【核心知识】区间上恒成立转化函数最值大于或小于0有解转化函数最值满足条件 【破题要诀】分开口方向对称轴是否落在给定区间求区间上最值列式求解参数 迁移应用 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设二次函数，其对称轴为． (1)求关于的不等式的解集（请用表示）； (2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，原不等式的解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. (2) (3) 【分析】（1）利用对称轴条件化简不等式，对参数的正负及方程两根大小分类讨论，求解含参一元二次不等式即可. （2）代入条件化简不等式，通过分离参数转化为求函数的值域，得到使不等式在指定区间恒成立的的取值范围. （3）转换主元，令，其中，可得出，解之即可. 【详解】（1）由对称轴得， 则 移项因式分解得， 令，则，. ①若，则， （i）当时，，不等式解集为， 即不等式的解集为； （ii）当时，，不等式解集为； （iii）当时，，不等式解集为. ②若，则，即，此时解集为. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）由则， 所以不等式对恒成立，分离参数得， 要使对恒成立，则 换元得，其在上单调递减， 且，， 故当时，，故， 所以实数的取值范围为. （3）不等式化简为对恒成立， 令，其中， 要使得对恒成立， 只需，解得. 即实数的取值范围为. 3.（26-27高一上·重庆永川·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； (3) 【分析】（1）代入可得，因式分解解一元二次不等式即可； （2）当时，解得，当时，因式分解可得：，分类讨论最高次项系数和两根大小解不等式即可； （3）参变分离可得，根据恒成立问题结合一元二次函数最值运算求解即可. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为． （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为； 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为空集； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3）因为恒成立，所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，开口向上，对称轴为 因为，所以当时，二次函数有最小值 因此的最大值为，即， 所以实数的取值范围为. 题型五 一元二次方程根的分布问题 典例1 （26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】AD 【分析】选项A，代入a值，先算判别式判断有无实根，再看能否使用韦达定理描述实数根之和； 选项B，两正根需同时满足判别式非负、两根和大于 0、两根积大于 0，联立不等式求解参数范围；选项C，先求出无实根对应的a范围，再通过区间包含关系判断充分不必要条件； 选项D，一正一负根只需两根之积小于0，对比选项给出的参数范围判断正误． 【详解】方程，判别式， 若，则， 当时，，无实根，故A错误； 由题意得， 解得或， 又， 故，故B正确； 方程无实根，故，解得， 区间是的真子集， 故满足一定能推出方程无实根，满足充分性； 但方程无实根，不一定满足，必要性不成立，故C正确； 方程一个正根一个负根的充要条件满足且， 但，故当时显然不成立，故D错误． 💡破题要诀 【核心知识】结合二次函数图象利用端点函数值对称轴判别式建立不等式组 【破题要诀】画图辅助分析列出限制条件不能只用韦达定理优先考虑判别式 迁移应用 1．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分、、三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可； （3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得， 综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，由，得或. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令，当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 2．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令函数，结合题意得出，求解即可. 【详解】令函数，这是一个开口向上的二次函数， 根据题意可知，方程的两个实根、满足， 所以函数只需满足，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确. 3.（26-27高一上·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 题型六 取整函数与一元二次不等式 典例1 （25-26高一上·湖北黄冈·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.那么不等式成立的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由高斯函数的定义，即可得到结果. 【详解】先令可得：， 所以，解得， 因为是整数，所以， 即时，，时，， 整理得：， 题目要求满足不等式成立的必要不充分条件，只有符合必要不充分条件. 故选：C 💡破题要诀 【核心知识】取整函数表示不超过x的最大整数分段写出函数表达式 【破题要诀】设确定t的整数范围转化为一元二次不等式求解回代验证x范围 迁移应用 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）（多选）对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（   ） A． B．，若，则 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据取整函数的定义结合举反例，一元二次不等式的解法对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，，，，所以A为真命题； 对于B，因为， 所以，， 所以，B为真命题； 对于C，，，所以C为假命题； 对于D，解不等式， 得或， 所以不等式的解集为，D为真命题. 故选：. 2．（25-26高一上·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 【答案】C 【分析】首先要明确取整函数的含义，对A转化为一元二次不等式有整数解的问题可得；对B则由条件得，然后再分别求x值，最后再求并集可得；对C先由条件得，再分别求不等式恒成立的a的值，最后再取交集可得；对D由条件得，再分别求m的范围，最后取交集可得. 【详解】令， 对于A：不等式变为，解得，但，所以n不存在，故原不等式解集为，所以A正确 对于B：由，即，所以满足的整数或或. 若，则；若，则；若，则. 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：因为，所以或或或. 而恒成立，即对恒成立，不等式变形为， 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以要对恒成立，得，故C不正确； 对于D：因为不等式的解集为，即时满足，时不满足. 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即. 综上所述，得，故D正确. 故选：C 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C．{或} D．{或} 【答案】A 【详解】等价于且，得， 故不等式的解集是. 2．（25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 二、多选题 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式性质及分式不等式求法逐项判断. 【详解】对于A：若，不等式两边同时乘以， 得，即，A错误； 对于B：若，则，即， 等价于，解得，B正确； 对于C：若，则，当时恒成立， 当时，得，C错误； 对于D：若，则，不等式两边同时乘以， 得，即，D正确. 4．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）下列式子中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【详解】对于A， 或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，显然，两边同乘以可得，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 6．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】AD 【分析】根据“和谐方程”的定义，逐一分析选项. 【详解】对于A．，解得，所以是“和谐方程”，A正确； 对于B，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则， 解得，B错误； 对于C，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则，解得， 由，得， 则， 令，解得或，C错误； 对于D，点在反比例函数的图象上，则， 代入方程， 可得，解得，， 则，所以方程是“和谐方程”，D正确． 故选：AD． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 三、填空题 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）不等式的解集________. 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的公式解法进行求解即可. 【详解】， 所以不等式的解集为. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【答案】 【详解】因为两个实数根为、， 所以， 所以，. 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 【答案】 【分析】设，根据题意，且，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，， 且两根均大于1， 设， 则，则， 且，则， 所以，则整数m的值为. 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据给定条件，利用根的判别式求出范围，再利用韦达定理列式求解. (2) 利用一元二次方程实根分布求出的范围 【详解】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 12．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，；当时， 【分析】将方程转化为，分，和求解. 【详解】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，解集为； 当时 ，方程解集为． 13．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知不等式的解集为，不等式的解集为． (1)若，不等式的解集为，求不等式的解集； (2)，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求集合，当时，再求出集合，再计算，根据二次不等式解集与对应方程根的关系，得到、的值，最后代入求解不等式； （2）分和两种情况讨论：当时直接验证不等式是否恒成立；当时，结合二次函数的性质，利用二次项系数和判别式的条件确定的取值范围 【详解】（1）等价于，解得，所以 当时，整理得，解得，所以 所以， 所以的解集为， 所以的两根为和， 所以，即， 所以可化为，即， 该不等式判别式，且二次项系数为正，因此对任意恒成立 故解集为 （2）①时，原不等式化为，恒成立，符合条件； ②时，因为，，所以 解得 综上，的取值范围是 14．（26-27高一上·四川·期中）根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 【答案】(1)（其中，）， 下面给予证明：， 因为，，，，所以，故. (2)2 【分析】（1）根据题意列出不等式，通过作差法证明不等式成立； （2）由（1）得到，，.三个不等式相加，得到不等式左边的范围，再结合特殊值得到正整数的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得：，，， 三个不等式相加，得 ，故. 又当时，故. 所以正整数的最小值为2. 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C．{或} D．{或} 【答案】A 【详解】等价于且，得， 故不等式的解集是. 2．（25-26高一下·云南昭通·期末）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 二、多选题 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式性质及分式不等式求法逐项判断. 【详解】对于A：若，不等式两边同时乘以， 得，即，A错误； 对于B：若，则，即， 等价于，解得，B正确； 对于C：若，则，当时恒成立， 当时，得，C错误； 对于D：若，则，不等式两边同时乘以， 得，即，D正确. 4．（26-27高一上·宁夏陕西·期中）下列式子中变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【详解】对于A， 或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，显然，两边同乘以可得，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 6．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】AD 【分析】根据“和谐方程”的定义，逐一分析选项. 【详解】对于A．，解得，所以是“和谐方程”，A正确； 对于B，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则， 解得，B错误； 对于C，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则，解得， 由，得， 则， 令，解得或，C错误； 对于D，点在反比例函数的图象上，则， 代入方程， 可得，解得，， 则，所以方程是“和谐方程”，D正确． 故选：AD． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 三、填空题 8．（25-26高一上·云南昆明·期中）不等式的解集________. 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的公式解法进行求解即可. 【详解】， 所以不等式的解集为. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海·期中）设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【答案】 【详解】因为两个实数根为、， 所以， 所以，. 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 【答案】 【分析】设，根据题意，且，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，， 且两根均大于1， 设， 则，则， 且，则， 所以，则整数m的值为. 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据给定条件，利用根的判别式求出范围，再利用韦达定理列式求解. (2) 利用一元二次方程实根分布求出的范围 【详解】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 12．（25-26高一上·上海·期中）求关于的方程的解集． 【答案】当时，解集为；当时，；当时， 【分析】将方程转化为，分，和求解. 【详解】关于的方程，即为， 当时，方程解集为； 当时，解集为； 当时 ，方程解集为． 13．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知不等式的解集为，不等式的解集为． (1)若，不等式的解集为，求不等式的解集； (2)，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求集合，当时，再求出集合，再计算，根据二次不等式解集与对应方程根的关系，得到、的值，最后代入求解不等式； （2）分和两种情况讨论：当时直接验证不等式是否恒成立；当时，结合二次函数的性质，利用二次项系数和判别式的条件确定的取值范围 【详解】（1）等价于，解得，所以 当时，整理得，解得，所以 所以， 所以的解集为， 所以的两根为和， 所以，即， 所以可化为，即， 该不等式判别式，且二次项系数为正，因此对任意恒成立 故解集为 （2）①时，原不等式化为，恒成立，符合条件； ②时，因为，，所以 解得 综上，的取值范围是 14．（26-27高一上·四川·期中）根据生活经验，若杯中盛有克糖水，其中含有克糖.再向杯中添加克糖（假设完全溶解），则糖水变甜了. (1)请将上述生活经验用一个不等式表示出来，并加以证明； (2)设，，是一个三角形的三边长，若，求正整数的最小值. 【答案】(1)（其中，）， 下面给予证明：， 因为，，，，所以，故. (2)2 【分析】（1）根据题意列出不等式，通过作差法证明不等式成立； （2）由（1）得到，，.三个不等式相加，得到不等式左边的范围，再结合特殊值得到正整数的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得：，，， 三个不等式相加，得 ，故. 又当时，故. 所以正整数的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $