滚动习题(三) [范围3.1](Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练习聚焦函数概念与性质，通过基础巩固-中档综合-提升拓展三层设计，实现从单一知识点到抽象函数应用的递进，适配新授课知识内化与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数概念、奇偶性、平均变化率|以同一函数判断（第1题）、奇函数求值（第4题）等基础题型，强化概念辨析与运算能力| |中档层|分段函数、图像分析、性质综合|通过分段函数单调性应用（第5题）、函数图像平均变化率比较（第7题），培养几何直观与推理意识| |提升层|抽象函数、逻辑证明|以抽象函数解析式推导（第6题）、单调性证明及不等式求解（第14题），发展数学思维与模型意识|

滚动习题(三) [范围3.1] 1.C　[解析] 对于选项A,f(x)=x,g(x)==|x|,对应关系不一致,不是同一函数,故A错误;对于选项B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},定义域不同,不是同一函数,故B错误;对于选项C,f(x)和g(x)的定义域都是(0,+∞),且f(x)==1,g(x)==1,对应关系一致,是同一函数,故C正确;对于选项D,f(x)的定义域为{x|x≠-3},g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一函数,故D错误.故选C. 2.C　[解析] 根据平均变化率的定义,可知==a=3,故选C. 3.C　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).对于A,f(-x)+(-x)2=-f(x)+x2≠-[f(x)+x2],所以函数f(x)+x2不是奇函数,A选项错误;对于B,f(-x)+|-x|=-f(x)+|x|≠f(x)+|x|,所以函数f(x)+|x|不是偶函数,B选项错误;对于C,(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-[x2f(x)],所以函数x2f(x)是奇函数,C选项正确;对于D,|-x|f(-x)=-|x|f(x)≠xf(x),所以函数|x|f(x)不是偶函数,D选项错误.故选C. 4.D　[解析] 记g(x)=因为g(x)为奇函数,所以g(-3)=-g(3),又g(-3)=f(-3),g(3)=2×3-3=3,所以f(-3)=g(-3)=-g(3)=-3.故选D. 5.A　[解析] 函数f(x)=的定义域为R,又f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,又f(x)===-1+,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.由f(m+1)<f(2m-1),得f(|m+1|)<f(|2m-1|),所以|m+1|>|2m-1|,两边平方得m2+2m+1>4m2-4m+1,即3m2-6m<0,解得0<m<2,所以实数m的取值范围是(0,2).故选A. 6.C　[解析] 设f(x)=kx+b(k≠0),则f[x+y+f(x)]=f(x+y+kx+b)=k(x+y+kx+b)+b=(k2+k)x+ky+kb+b.因为f[x+y+f(x)]=6x+2y+3,所以(k2+k)x+ky+kb+b=6x+2y+3,则解得所以f(x)=2x+1.故选C. 7.ACD　[解析] 选项A中,在t1时刻,两曲线相交,即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同,故A正确;选项B中,在[0,t1]这个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率为>0(c甲为t=0时,甲血管中的药物浓度),乙血管中的药物浓度的平均变化率为>0(c乙为t=0时,乙血管中的药物浓度),因为c甲>c乙,所以<,故B错误;选项C中,在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是,故C正确;选项D中,在[t1,t2]时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率是,在[t2,t3]时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率是,显然不相等,故D正确.故选ACD. 8.AC　[解析] 对于A,令x=1,y=0,则f(1)=f(0)f(1),∵f(1)=,∴f(0)=1,故A正确;对于B,∵f(1)=,∴f(2)=f(1)f(1)=,故B错误;对于C,令y=-x,则f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1,当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1,∴f(x)=>0,∴对于任意x∈R,f(x)>0,故C正确;对于D,设x2>x1,则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1],∵x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,即f(x2-x1)-1<0,又f(x)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在R上单调递减,故D错误.故选AC. 9.(1)∪　(2)[0,1]　[解析] (1)作出f(x)的图象,如图所示.由于f=,结合函数图象可知,使f(x)≥的x的取值范围是∪. (2)由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的取值范围为[0,1],当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1]. 10.7-2　[解析] f(x)=3-2|x|=由 解得x=.由解得x=2-,所以f(x)与g(x)的图象的交点坐标为(,3-2),(2-,7-2).因为F(x)=min{f(x),g(x)},所以F(x)=所以F(x)的图象如图所示,由图象可知F(x)的最大值为7-2. 11.5　[解析] 由函数y=f(x)-x2是奇函数,可得f(x)-x2+f(-x)-(-x)2=0,整理得f(x)+f(-x)=2x2,又g(x)=f(x)+2,所以g(2)=f(2)+2,g(-2)=f(-2)+2,两式相加得g(2)+g(-2)=f(2)+f(-2)+4=2×22+4=12,又g(2)=f(2)+2=7,所以g(-2)=12-7=5. 12.解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-, 因为x2+a2不恒为0,所以-ax+b=-ax-b,所以b=0. 因为f(1)=2,所以=2,所以1-2a+a2=2b=0,所以a=1,则f(x)的解析式为f(x)=. (2)f(x)在区间(0,1)上单调递减. 证明:任取x1,x2∈(0,1)且x1<x2,因为f(x)=x+, 所以f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)-=(x1-x2)=(x1-x2),因为x1,x2∈(0,1),所以0<x1<1,0<x2<1,所以0<x1x2<1,所以x1x2-1<0,x1x2>0,所以<0,因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在区间(0,1)上单调递减. 13.解:(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3-x=-f(x),所以当x<0时,f(x)=x3+x. (2)由(1)知f(x)=x3+x(x∈R),函数y=x和y=x3在R上都是增函数,所以f(x)在R上是增函数,不等式f(x-2)<f(x2-2x)即为x-2<x2-2x,即x2-3x+2>0,解得x>2或x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1)∪(2,+∞). 14.解:(1)令a=b=0,则[f(0)]2=f(0),又f(0)>0,所以f(0)=1.因为f(2)=,所以f(8)=f(2)f(6)=f(2)f(2)f(4)=[f(2)]4=. (2)证明:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1],又x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>1,又f(x2)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)为R上的减函数. (3)由(1)知f(8)=,则f(5t2-6t)>,即f(5t2-6t)>f(8),又f(x)在R上单调递减,所以5t2-6t<8,解得-<t<2,所以不等式f(5t2-6t)>的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(三) [范围3.1] (时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 1.下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是 (　 ) A.f(x)=x,g(x)= B.f(x)=1,g(x)=(x-1)0 C.f(x)=,g(x)= D.f(x)=,g(x)=x-3 2.若函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= (　 ) A.-3 B.2 C.3 D.-2 3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论中一定正确的是 (　 ) A.函数f(x)+x2是奇函数 B.函数f(x)+|x|是偶函数 C.函数x2f(x)是奇函数 D.函数|x|f(x)是偶函数 4.若函数y=是奇函数,则f(-3)= (　 ) A.-2 B.2 C.3 D.-3 5.[2026·济南高一期末] 已知函数f(x)=,则满足f(m+1)<f(2m-1)的实数m的取值范围是 (　 ) A.(0,2) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 6.已知对任意的x,y∈R,都有f[x+y+f(x)]=6x+2y+3,则一次函数f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x C.f(x)=2x+1 D.f(x)=x 二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分. 7.为了评估某种药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量,甲、乙两人服用该药物后,血管中的药物浓度c(单位:mg/mL)随时间t(单位:h)变化的关系如图所示,则下列四个结论中正确的是 (　 ) A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B.在[0,t1]这个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率大于乙血管中的药物浓度的平均变化率 C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同 D.在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同 8.[2025·云南昆明高一期中] 已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,0<f(x)<1,f(1)=,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(0)=1 B.若f(m)=25,则m=2 C.f(x)>0 D.f(x)是增函数 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 9.已知函数f(x)= (1)若f(x)≥,则x的取值范围是　　　　　;  (2)f(x)的值域为　　　　.  10.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=min{f(x),g(x)},则F(x)的最大值为　　　　　　.  11.[2026·浙江高一期中] 已知函数y=f(x)-x2是奇函数,若g(x)=f(x)+2,f(2)=5,则g(-2)=　　　　.  四、解答题:本大题共3小题,共43分. 12.(13分)[2025·甘肃天水高一期中] 已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=2. (1)求f(x)的解析式; (2)判断f(x)在区间(0,1)上的单调性并说明理由. 13.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+x. (1)求当x<0时,函数f(x)的解析式; (2)求不等式f(x-2)<f(x2-2x)的解集. 14.(15分)已知函数f(x)的定义域为R且f(x)>0恒成立,f(2)=,对任意的a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b),当x<0时,f(x)>1. (1)求f(0),f(8)的值; (2)证明:f(x)为R上的减函数; (3)求不等式f(5t2-6t)>的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $