3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练通过基础-提升-拓展三级分层设计，以二次函数零点与方程、不等式关系为核心，构建从概念理解到综合应用的递进路径，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（不等式解集条件、根的分布）|选择1-6聚焦基础概念，如一元二次不等式解集全体实数的条件，夯实运算能力| |提升层|综合应用（函数零点与不等式综合）|★7（多选）结合函数单调性比较大小，填空8-9融合零点与复合函数，发展逻辑推理| |拓展层|复杂情境（参数问题、多知识点融合）|解答10、14-16涉及奇函数零点、含参二次函数综合应用，强化模型观念与问题解决能力|

第2课时　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 1.关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数的条件是 (　 ) A. B. C. D. 2.若方程x2-2mx+4=0的两根满足一根大于2,一根小于1,则m的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 3.已知函数f(x)=(x-1)2(x+2)(x-3),则不等式f(x)<0的解集为 (　 ) A.(-2,3) B.(-∞,-2)∪(3,+∞) C.(-2,1)∪(1,3) D.(-2,1)∪(3,+∞) 4.[2026·上海浦东新区高一期中] 方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是 (　 ) A.a∈(-∞,-1) B.a∈ C.a∈ D.a∈(-2,-1) 5.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,5] B.[-5,+∞) C.[-5,5] D.(-∞,-5] 6.已知方程x2+ax+2=0有两根x1,x2,其中x1∈,x2∈(2,3),则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D.∪(1,+∞) ★7.(多选题)已知函数f(x)=ax2-2ax+4(a>0),若x1<x2,则 (　 ) A.当x1+x2>2时,f(x1)<f(x2) B.当x1+x2=2时,f(x1)=f(x2) C.当x1+x2>2时,f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关 8.不等式<0的解集为　　　　　　.  9.[2026·山东济南高一期中] 已知函数f(x)=g(x)=-x2-2x+1,若方程f[g(x)]-a=0有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　.  10.(13分)若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3. (1)求f(x)的解析式. (2)若a∈R,g(x)=f(x)-a,试讨论a取何值时,g(x)的零点个数最多?最少? 11.[2025·北京延庆区高一期中] 已知函数f(x)=x2+ax+2有两个零点,f(x)在区间(-1,2)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-∞,-4]∪(3,+∞) D.(-∞,-4]∪[2,+∞) 12.(多选题)[2026·江苏镇江高一期中] 已知函数f(x)=x2-2(m+2)x+m2-1的图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),则 (　 ) A.m>- B.若|AB|=6,则m=1 C.当m=2时,-=4 D.-≤x1<x2 13.[2025·辽宁大连高一期中] 若方程kx2-(2k+1)x-3=0的两根x1,x2满足-1<x1<1<x2<3,则实数k的取值范围是　　　　　　　.  14.(15分)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围; (3)在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围. 15.(15分)[2026·甘肃金昌高一期中] 若关于x的方程(x2-1)2-2k|x2-1|+k+1=0(k∈R)有4个不等实根,求k的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=ax2-bx+1. (1)是否存在实数a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3<x<4}?若存在,求出实数a,b的值;若不存在,请说明理由. (2)若a为整数,b=a+2,且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,求a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 1.D　[解析] 由于不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数,所以与之相对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则有 2.B　[解析] 令f(x)=x2-2mx+4,由题意可知 即所以即m>.故选B. 3.C　[解析] 由题意知,函数f(x)=(x-1)2(x+2)(x-3)的零点为1,-2,3,函数的定义域被这三个点划分了四个区间,每个区间函数值的符号如下表所示. x (-∞,-2) (-2,1) (1,3) (3,+∞) f(x) + - - + 由此可以作出函数f(x)的图象的示意图如图所示,由图可知不等式f(x)<0的解集为(-2,1)∪(1,3). 4.B　[解析] 令f(x)=x2+2ax-a,因为一元二次方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根,所以即解得-<a<-1,则方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是a∈.故选B. 5.D　[解析] 设f(x)=x2+mx+4,要使当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,只需即解得m≤-5,故实数m的取值范围是(-∞,-5]. 6.B　[解析] 设f(x)=x2+ax+2,则即解得-<a<-3.故选B. 7.AB　[解析] 由题知函数f(x)=ax2-2ax+4(a>0)的图象开口向上,对称轴方程为x=1.当x1+x2=2时,点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))关于直线x=1对称,则f(x1)=f(x2),故B正确;当x1+x2>2时,>1,又x1<x2,所以点(x2,f(x2))到对称轴的距离大于点(x1,f(x1))到对称轴的距离,所以f(x1)<f(x2),故A正确,C错误;显然f(x1)与f(x2)的大小关系与a无关,故D错误.故选AB. [技巧点拨] 此类综合性问题,需要结合二次函数的图象、判别式、根与系数的关系等进行综合分析. 8.{x|x<-1或0<x<3}　[解析] <0即x(x+1)(x-3)<0,则或即x<-1或0<x<3,所以原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<3}. 9.　[解析] 令g(x)=t,则f(t)=a,如图,由图可知,f(t)=a和g(x)=t均最多有2个不同的根,所以要使得f[g(x)]-a=0有四个不同的实数根,则f(t)=a必须有两个小于2的不同根.由y=f(x)的图象可得实数a的取值范围是. 10.解:(1)因为函数y=f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0; 当x<0时,-x>0,则此时f(x)=-f(-x)=-(x2+4x+3)=-x2-4x-3. 综上所述,f(x)= (2)令g(x)=0,得a=f(x),作出函数y=f(x)的图象与直线y=a如图所示.当a=0时,g(x)=f(x)-a有5个零点;当0<a<1或-1<a<0时,g(x)=f(x)-a有4个零点; 当a=±1时,g(x)=f(x)-a有3个零点;当1<a<3或-3<a<-1时,g(x)=f(x)-a有2个零点; 当a≤-3或a≥3时,g(x)=f(x)-a有1个零点. 综上所述,当a=0时,g(x)=f(x)-a的零点个数最多;当a≤-3或a≥3时,g(x)=f(x)-a的零点个数最少. 11.C　[解析] 函数f(x)=x2+ax+2在上单调递减,在上单调递增.由f(x)在区间(-1,2)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,得(-1,2)⊆且或(-1,2)⊆且则或解得a≤-4或a>3,所以实数a的取值范围是(-∞,-4]∪(3,+∞).故选C. 12.ABD　[解析] 对于A,由题意知,Δ=4(m+2)2-4(m2-1)=4(4m+5)>0,解得m>-,故A正确;对于B,根据根与系数的关系得x1+x2=2(m+2),x1·x2=m2-1,因为|AB|=x2-x1=6,所以=2=6,解得m=1,故B正确;对于C,当m=2时,x1+x2=8,x1·x2=3,x2-x1==2,则-===,故C不正确;对于D,因为x1<x2,所以x1==m+2-,令t=>0,所以x1=-t+2==(t-2)2-≥-,当t=2时等号成立,所以-≤x1<x2,故D正确.故选ABD. 13.(-∞,-4)∪(2,+∞)　[解析] 当k=0时,方程为-x-3=0,此时方程只有一个根,不符合题意,故k≠0.因为方程kx2-(2k+1)x-3=0的两根x1,x2满足-1<x1<1<x2<3,所以或即或解得k>2或k<-4,故实数k的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞). 14.解:(1)由二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3,可得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1.因为函数f(x)的最小值为1,所以不妨设f(x)=k(x-1)2+1,又因为f(0)=3,所以f(0)=k+1=3,解得k=2,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3. (2)由已知得f(x)的图象的对称轴方程为x=1,因为函数f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,所以3a<1<a+1,解得0<a<,故实数a的取值范围为. (3)因为在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,所以2x2-4x+3>2x+2m+1对x∈[-3,-1]恒成立,即m<x2-3x+1对x∈[-3,-1]恒成立.设g(x)=x2-3x+1,则其图象的对称轴方程为x=,则g(x)在[-3,-1]上单调递减, 所以函数g(x)在[-3,-1]上的最小值为g(-1)=5,则m<5,所以实数m的取值范围为(-∞,5). 15.解:令t=|x2-1|,则t≥0,原方程转化为t2-2kt+k+1=0(*). 作出函数y=|x2-1|的图象,如图所示. 由图可知,当t=0或t>1时,方程t=|x2-1|有2个不同的根,当t=1时,方程t=|x2-1|有3个不同的根, 当0<t<1时,方程t=|x2-1|有4个不同的根. 设函数f(t)=t2-2kt+k+1,t≥0. 若原方程有四个不等实根,则有以下四种情况: ①(*)式有一个根为零,另一个根大于1,若0为方程t2-2kt+k+1=0的根,则k=-1,此时方程的另一个根为-2,不符合题意. ②(*)式有两个不相等的根且两个根均大于1,则解得<k<2. ③(*)式有一个根在(0,1)之间,另一根小于零,则解得k<-1. ④(*)式有两个相等的根,且根在(0,1)上,则Δ=4k2-4(k+1)=0,解得k=,当k=时,方程t2-(+1)t++1=0的解为x=,而>1,不符合题意;当k=时,方程t2-(1-)t++1=0的解为x=,而<0,不符合题意. 综上所述,k的取值范围为(-∞,-1)∪. 16.解:(1)假设存在实数a,b使得不等式ax2-bx+1>0的解集是{x|3<x<4},则方程ax2-bx+1=0的两根是3和4,且a<0,∴解得与a<0矛盾, 故不存在实数a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3<x<4}. (2)∵b=a+2,∴f(x)=ax2-(a+2)x+1.∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴函数f(x)=ax2-bx+1必有两个零点.由函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,分三种情况讨论: ①当或时,由或得-<a<-,符合题意; ②当f(-2)=0时,a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-2或x=,不符合题意; ③当f(-1)=0时,a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-1或x=,不符合题意.综上,-<a<-.又a为整数,∴a=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $