3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，以函数奇偶性为核心，从性质辨析到综合应用，梯度递进培养数学推理能力与模型意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性单调性、图象对称|选择填空为主（如第1、4题），直接应用概念| |提升层|奇偶性与不等式、综合性质|含多选题（第7题）和中档填空（第9题），强化推理| |综合层|解析式求解、中心对称证明|解答题（第10、16题），融合分类讨论与抽象思维|

第2课时　函数奇偶性的应用 1.如果奇函数f(x)在[2,5]上是减函数且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上是 (　 ) A.减函数且最小值是-4 B.减函数且最大值是-4 C.增函数且最小值是-4 D.增函数且最大值是-4 ★2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 3.[2025·河南焦作高一月考] 函数f(x)是一个偶函数,g(x)是一个奇函数,且f(x)+g(x)=,则f(x)= (　 ) A. B. C. D. 4.与函数y=的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为 (　 ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- 5.已知f(x)是奇函数,且在定义域[-2,2]上单调递减,若f(2a+1)+f(4a-3)>0,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 6.[2026·安徽阜阳高一期中] 已知函数f(x)=(x+1)4+3|x+1|,则使得f(x-1)>f(2x)成立的x的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)已知函数y=f(x-1)为奇函数,则下列说法正确的为 (　 ) A.y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称 B.f(-x-1)+f(x-1)=0恒成立 C.f(-x+1)=-f(x-1)恒成立 D.y=f(x-1)的图象关于原点对称 8.[2025·陕西榆林高一期中] 已知f(x)=为奇函数,则m+n=　　　　.  9.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是　　　　　　.  10.(13分)[2026·河南南阳高一月考] 已知函数f(x)为[-1,1]上的奇函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax+b,且f(-1)=2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)满足不等式f(t-1)>f(-2t),求实数t的取值范围. 11.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则不等式<0的解集为 (　 ) A.(-2,2) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 12.(多选题)[2026·云南昆明高一期中] 函数f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,则下列函数的图象中关于y轴对称的有 (　 ) A.f(x) B.f(x-1) C.f(|x+1|) D.f(|x|) 13.[2025·贵州毕节高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,设函数g(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  14.(15分)已知f(x)=-mx+n的图象的对称中心为. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若在区间[a,b](a>-2)上,f(x)的取值范围为[a,b],求a,b的值. 15.已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1的图象关于点(2,5)中心对称,则m+n= (　 ) A.-4 B.-2 C.4 D.6 16.(15分)我们知道,“函数y=f(x)的图象关于原点对称”的充要条件是“函数y=f(x)为奇函数”,有同学发现可以将其推广为:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称”的充要条件是“函数y=f(x+a)-b为奇函数”. (1)求证:点(-1,2)是函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心; (2)已知函数f(x)=x3+3x2,求f(2022)+f(2023)+f(-2024)+f(-2025)的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数奇偶性的应用 1.B　[解析] 根据奇函数的对称性可得,函数f(x)在区间[-5,-2]上也是减函数,又奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是4,所以f(5)=4,所以f(-5)=-f(5)=-4,所以函数f(x)在区间[-5,-2]上的最大值为f(-5)=-4.故选B. 2.A　[解析] 因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,又f(2x-1)<f,所以0≤2x-1<或-<2x-1<0,解得<x<. [点睛] 解与函数奇偶性有关的不等式问题,要把自变量转化到同一个单调区间内. 3.A　[解析] 因为函数f(x)是偶函数,函数g(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=可得f(-x)+g(-x)=,即f(x)-g(x)=-,所以可得f(x)=.故选A. 4.A　[解析] 在与函数y=的图象关于原点对称的图象上任取一点P1(x,y),则点P1(x,y)关于原点对称的点P2(-x,-y)在函数y=的图象上,所以-y=,化简得y=,因此与函数y=的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为y=.故选A. 5.C　[解析] 由f(2a+1)+f(4a-3)>0,得f(4a-3)>-f(2a+1).∵f(x)是奇函数,∴f(4a-3)>-f(2a+1)=f(-2a-1).∵f(x)在[-2,2]上单调递减,∴解得即≤a<,故实数a的取值范围是. 6.C　[解析] 易知f(x)的定义域为R.∵f(-1+x)=(-1+x+1)4+3|-1+x+1|=x4+3|x|,f(-1-x)=(-1-x+1)4+3|-1-x+1|=x4+3|x|,∴f(-1+x)=f(-1-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=-1对称.当x>-1时,f(x)=(x+1)4+3(x+1).易知f(x)在(-1,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减.∵f(x-1)>f(2x),∴|x-1-(-1)|>|2x-(-1)|,解得-1<x<-.故选C. 7.ABD　[解析] 因为y=f(x-1)为奇函数,所以y=f(x-1)的图象关于原点对称,故D正确;因为f(x-1)的图象关于原点对称,所以f(x-1)+f(-x-1)=0,故B正确,C错误;由f(x-1)+f(-x-1)=0可知函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,故A正确.故选ABD. 8.1　[解析] ∵f(x)=为奇函数,∴∴即解得经检验n=2,m=-1符合题意,∴m+n=1. 9.(-4,-2)∪(0,2)　[解析] 设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数.由题图可知当-4<x<-2时,f(x)>0,g(x)<0,所以h(x)<0,当-2<x<0时,f(x)<0,g(x)<0,所以h(x)>0,所以当0<x<2时,h(x)<0,当2<x<4时,h(x)>0,所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2). 10.解:(1)因为函数f(x)为[-1,1]上的奇函数, 且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax+b,所以f(0)=b=0, 又f(-1)=1+a=2,所以a=1,所以当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-x.设0<x≤1,则-1≤-x<0, 所以f(-x)=x2+x=-f(x), 则f(x)=-x2-x,所以f(x)= (2)由(1)知f(x)=则f(x)在[-1,1]上单调递减, 又f(t-1)>f(-2t),所以解得0≤t<,所以t的取值范围是. 11.B　[解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(-2)=f(2)=0.∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴=<0,即或解得x>2或-2<x<0,∴不等式<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选B. 12.AD　[解析] 对于A,由f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,令t=x+1,则x=t-1,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)-3|t|+3,化简得f(t)=t2-3|t|+2,即f(x)=x2-3|x|+2,则f(-x)=x2-3|x|+2=f(x),故f(x)的图象关于y轴对称;对于B,将f(x)的图象向右平移一个单位得到函数f(x-1)的图象,故f(x-1)的图象关于直线x=1对称,不关于y轴对称;对于C,因为f(|x+1|)=|x|2+2|x|-3|x+1|+3,f(|-x+1|)=|x|2-2|x|-3|x-1|+3,f(|x+1|)=f(|-x+1|)不恒成立,所以函数f(|x+1|)的图象不关于y轴对称;对于D,由A选项可知,f(x)=x2-3|x|+2,则f(|x|)=|x|2-3|x|+2,易知f(|x|)的图象关于y轴对称.故选AD. 13.4　[解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),则g(x)===2+.设h(x)=g(x)-2=,则函数h(x)的定义域为R,h(-x)===-=-h(x),所以h(x)为奇函数,则h(x)max+h(x)min=0,即M-2+m-2=0,所以M+m=4. 14.解:(1)易知f(x)的定义域为{x|x≠-2},因为f(x)的图象的对称中心为, 所以解得 所以f(x)=-x+.经检验得f(x)+f(-4-x)=-x++-(-4-x)+=,所以m=,n=满足题意. 故函数f(x)的解析式为f(x)=-x+. (2)当x>-2时,y=,y=-x都随x的增大而减小,所以f(x)在(-2,+∞)上单调递减,又在区间[a,b](a>-2)上,f(x)的取值范围为[a,b],所以即且-2<a<b,可得 15.C　[解析] 因为f(x)的图象关于点(2,5)中心对称,所以f(x+2)-5为奇函数,又f(x+2)-5=(x+2)3+m(x+2)2+n(x+2)-4=x3+(6+m)x2+(12+4m+n)x+4m+2n+4,所以解得所以m+n=4.故选C. 16.解:(1)证明:令g(x)=f(x-1)-2,则g(x)=(x-1)3+3(x-1)2-2=(x3-3x2+3x-1)+3(x2-2x+1)-2=x3-3x,即g(x)=x3-3x,g(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-g(x),所以g(x)是奇函数.由题意,点(-1,2)是函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心. (2)由(1)知,函数f(x)=x3+3x2的图象的对称中心为(-1,2),所以g(x)+g(-x)=f(x-1)-2+f(-x-1)-2=0,所以f(x-1)+f(-x-1)=4,所以f(2023)+f(-2025)=f(2022)+f(-2024)=4,所以f(2022)+f(2023)+f(-2024)+f(-2025)=8. 学科网（北京）股份有限公司 $