3.1.2函数的单调性（第2课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数平均变化率，涵盖概念、几何意义及与单调性的关系。通过骑车情境导入，从速度量化引出平均变化率，衔接直线斜率作为学习支架，实现从具体到抽象的过渡。 其亮点在于情境化设计培养数学眼光，“文字—符号—图形”转化发展数学语言，互动探究与典例分析（如水族注水、二次函数证明）提升逻辑推理（数学思维）。小结“学海拾贝”梳理核心，助力学生构建知识网络，教师使用可增强教学针对性与效率。

第三章 函数 3.1.2函数的单调性（2） 3.1函数的概念与性质 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 掌握函数平均变化率的概念，会求给定区间上函数的平均变化率；理解平均变化率的几何意义，明晰函数单调性与平均变化率之间的关系。 从实际变化问题抽象出平均变化率公式，经历“文字—符号—图形”三语言转化，提升数学抽象能力；通过图像探究割线斜率与函数增减的联系，发展逻辑推理能力。 小明骑车上学，0时刻在离家0km处，10分钟骑到3km；小红骑车，同样10分钟从0km骑到5km。 骑车情境 用路程变化量除以时间变化量，也就是。 速度就是路程函数s(t)在这段时间上的平均变化率。现实里很多变量都在变化，函数描述变量关系，我们能不能用同样方式，刻画一般函数y=f(x)在一段区间上变化的快与慢？ 提问：同样10分钟，两个人骑行路程不一样，谁骑得更快？怎么量化速度？ 今天学习函数的平均变化率，并用它重新认识函数的单调性。 目标一：直线的斜率 斜率 知识讲解 互动探究 新课引入 两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立. 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称 为直线AB的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在. 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. 5 例(1)若直线l过点(m,n)(m≠0)和原点,则直线l的斜率为________. (2)若直线l过点(-2,3)和(6,-5),则直线l的斜率为________. 对点体验 解析▶ (1) 由题意得 ，，， ， 所以直线的斜率。 由题意得 ，，，所以直线的斜率。 知识剖析 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. 2. 若记Δx=,相应的Δy=,则当Δx≠0时,斜率可记为. 3. 由函数的定义可知,任何一个函数图象上的两个点,它们所确定的直线的斜率一定存在. 目标二：平均变化率 平均变化率 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 当 时, 称 为函数 y=f(x) 在区间 或 上的平均变化率. 对平均变化率的几点说明 (1) , 但 可以为正, 也可以为负. (2) 注意自变量与函数值的对应关系, 公式中, 若 , 则 ; 若 , 则 . (3) 平均变化率可正可负, 也可为零. 但是, 若函数在某区间上的平均变化率为0, 并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等. 比如, 在区间 上的平均变化率为0, 但 在 的图象先下降后上升, 值域是. 9 平均变化率的几何意义 知识讲解 互动探究 新课引入 平均变化率的几何意义是函数y=f(x)图象上的两点 连线的斜率. 函数 y=f(x) 在[1,3]上的平均变化率为 （ ） 图 A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 解析 答案 B 10 平均变化率 一质点的运动方程为s=- 其中 s 表示位移（单位：m），t 表示时间（单位：s）。 求质点在 [1,1+Δt] 这段时间内的平均速度。 质点在 时间内的平均速度为 其中位移增量 为，代入运动方程：，，因此 于是平均速度为 目标三：函数单调性与平均变化率的关系 正率增，负率 知识讲解 互动探究 新课引入 观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律。 图(1)表示函数图象呈上升趋势（递增）； 图(2)表示函数图象呈下降趋势（递减）。 13 单调性的充要条件 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，若是函数的定义域的子集，对任意且，记 ，，(即)，则： (1)在上是增函数的充要条件是在上恒成立； (2)在上是减函数的充要条件是在上恒成立.   14 目标四：典型例题 题型1 图象背景下的变化率问题 例1 向高为H,容量为的水瓶 中匀速注水,注满为止,如果注水量V与水 深h的函数关系的图象如图 所 示,那么水瓶的形状是 (  ) 典例分析 牛刀小试 解析 由已知函数图象可以看出,随着水深 的增加,注水量也增加,但注水量增加得越来越 慢,图象上升的趋势变缓慢,说明水瓶从下到上越来越 窄,结合选项可知选 B.   观察图象,根据图象的特点,发现水深 时,注水量 ,即水深为一半时,实际注水量大于 水瓶容积的一半,A中 ,C,D 中 ,故排除 A,C,D. 题型1 图象背景下的变化率问题 例2 向高为H,容量为的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图 所示,那么水瓶的形状是（ ） 典例分析 牛刀小试 解析 由已知函数图象可以看出,随着水深的增加,注水量也增加,且注水量增加得越来越快,图象上升的趋势变快,说明水瓶从下到上越来越宽,结合选项可知选.   对比所给函数关系的图象可知,当水深为瓶高的一半时,实际注水量小于水瓶容积的一半,只有A选项符合此要求. 答案 A 题型1 图象背景下的变化率问题 例3 向高为 的水瓶(形状如图 3.1.2-7)中匀速注水,注满为止,则水深 与注水量 的函数关系的大致图象是（ ） 典例分析 牛刀小试 解析 从形状上看,水瓶从底部到顶部:开始宽,逐渐 变细,再变宽. 则水深随注水量的变化关系为:先 变快,再变慢. 那么从函数的图象上看, 解决图象信息题的有效方法 定性分析法 所谓定性分析法,就是对问题所具有的本质属性进 行定性地描述,也就是对问题的发展趋势进行大概 的分析,根据分析的结果得出相关的结论.用定性 分析法来分析和解决问题的优点在于:它回避了定 量计算法中的烦琐计算,特别是像例3这样的问 题,若用定量计算法,其函数关系的建立就十分复 杂,且用定量计算法来解答此类试题,其运算量是 相当大的,因此我们应学会用定性分析法来分析和 解决问题. 题型2 用平均变化率研究单调性 例4 证明函数f(x)=+2x在(-∞,-1]上是减函数，在[-1,+∞)上是增函数，并求这个函数的最值 典例分析 牛刀小试 设，则 因此： 当时，有，从而，因此在上是减函数； 当时，有，从而，因此在上是增函数. 题型2 用平均变化率研究单调性 例5 求证：函数y=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数. 典例分析 牛刀小试 设，那么 如果，则，此时， 所以函数在上是减函数. 同理，函数在上也是减函数. 题型2 用平均变化率研究单调性 例6 判断一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性 典例分析 牛刀小试 设，那么 因此，一次函数的单调性取决于的符号：当时，一次函数在上是增函数；当时，一次函数在上是减函数 . 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上任意两点确定的直线斜率均为k， 这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线. 不仅如此，此时从=k还可以看出，Δy=kΔx，这就意味着在一次函数中，Δy 与Δx成正比，且比例系数为k. 特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证 明，只有一次函数才具有这个性质. 目标五：针对训练 举一反三 1.函数，则自变量从变到时函数值的增量为() A. B. C. D . 2.若函数从至的平均变化率的取值范围是，则 的取值范围为（) A. B. C. D.  举一反三 3.函数在区间上的平均变化率为( ) A. B. C. D. 解析：所求平均变化率为.故选B. 4.已知函数图象上两点，，则( ） A.直线的斜率为-5 B.函数在区间上的平均变化率为 C.函数在区间上单调递增 D.函数在区间上单调递减 解析：直线的斜率等于函数在区间上的平均变化率，为 ，故错误，正确； 函数在区间上单调性无法判断，故，错误.故选.   举一反三 5.(多选题)下列函数在区间上的平均变化率不大于零的是 A. B. C. D. 答案: 解析:根据平均变化率公式可求得选项 A,B,C,D 中的函数在区间上的平均变化率分别为.故选 AB. 举一反三 6、某工厂8年来某种产品的总产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示 以下四种说法: ①前三年产量增长的速度越来越快 ②前三年产量增长的速度越来越慢 ③第三年后这种产品停止生产, ④第三年后产量匀速增加 答案: 解析:当时,由题中图象可以看出对于固定的,随着的增加,越来越小,反映了随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.当时,总产量没有变化,即第三年后停产,所以正确. 目标一：小结 学海拾贝 核心概念： 函数y=f(x) 在区间[ ]上平均变化率：=，刻画区间上函数值平均变化快慢。 几何意义：平均变化率就是函数图像上两点连线割线AB的斜率。 学海拾贝 与单调性的关系 在区间上，若，则函数在此区间单调递增； 若0( )，则函数在此区间单调递减。 学海拾贝 思想方法： 数形结合，用代数量化变化，从平均变化为后续瞬时变化（导数）打基础。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $