3.1.2 第2课时 函数的平均变化率-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的平均变化率，涵盖直线斜率概念、平均变化率定义及与函数单调性的充要条件，通过沙漠气候气温变化曲线情境问题导入，衔接函数单调性旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象构建概念，结合逻辑推理设计证明例题（如证明1/f(x)为减函数）和数学运算训练（如二次函数最值），分层作业覆盖基础到拓广，助力学生提升抽象思维与推理能力，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第三章 函数 3.1　函数的概念与性质 3.1.2　函数的单调性 第2课时　函数的平均变化率 学习任务 1．理解直线的斜率的含义及函数的平均变化率的概念．(数学抽象) 2．掌握判断函数单调性的充要条件．(逻辑推理、数学运算) 第2课时　函数的平均变化率 必备知识·情境导学探新知 科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题： 第2课时　函数的平均变化率 问题　(1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？ (2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝一定大于零吗？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 知识点1　直线的斜率 (1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率______． (2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于 ____的倾斜程度． 不存在 x轴 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 知识点2　平均变化率与函数单调性 若区间I是函数y＝f (x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f (x1)，y2＝f (x2)，＝，则： (1)y＝f (x)在区间I上是增函数的充要条件是__0在区间I上恒成立． (2)y＝f (x)在区间I上是减函数的充要条件是__0在区间I上恒成立． 当x1≠x2时，称＝为函数y＝f (x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量． > < 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 提醒　(1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f (x1)－f (x2)． (3)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f (x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f (x)＝x2在 [－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a． (　　) (2)函数y＝f (x)的平均变化率＝的几何意义是函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率． (　　) (3)直线不一定有斜率，过函数图象上任意两点的直线也不一定有斜率． (　　) × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 [提示]　(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为＝＝＝a． (2)由平均变化率的几何意义可知＝表示过函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率． (3)过函数图象上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2． 2．(1)过函数图象上两点A(－1，3)，B(2，3)的斜率＝________． (2)过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率为1，则m的值为________． (1)0　(2)1　[(1)＝＝0． (2)由直线的斜率公式得＝1，即＝1，解得m＝1．] 0 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________(选填“增”或“减”)函数． 减　[任取x1，x2∈R且x1≠x2， ∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3， ∴＝＝－2＜0， 故y＝－2x＋3在R上是减函数．] 减 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 关键能力·合作探究释疑难 类型1　平均变化率的计算 【例1】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率． [思路导引]　由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率． 第2课时　函数的平均变化率 [解]　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2， 所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt． 反思领悟　求平均变化率的3个步骤 (1)求出或者设出自变量的改变量． (2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量． (3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 [跟进训练] 1．如图是函数y＝f (x)的图象． (1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________． (2)函数f (x)在区间[0，2]上的平均变化率为________． 　 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 (1)　(2)　[(1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝． (2)由函数f (x)的图象知， f (x)＝ 所以函数f (x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝．] 类型2　利用平均变化率判断或证明函数的单调性 【例2】　【链接教材P104例3、例4】 若函数y＝f (x)是其定义域的子集I上的增函数且f (x)＞0，求证：g＝在I上为减函数． [思路导引]　由y＝f (x)在I上为增函数的充要条件可得＞0，再证＜0即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 [证明]　任取x1，x2∈I且x2＞x1， 则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f (x2)－f (x1)， ∵函数y＝f (x)是其定义域的子集I上的增函数， ∴Δy＞0，＞0，∴Δg＝＝． 又∵f (x)＞0， ∴f (x1)f (x2)＞0且f (x1)－f (x2)＜0， ∴Δg＜0， ∴＜0，故g＝在I上为减函数． 【教材原题·P104例3、例4】 例3　求证：函数y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数． [证明]　设x1≠x2， 那么＝＝－． 如果x1，x2∈(－∞，0)，则x1x2>0，此时<0，所以函数在(－∞，0)上是减函数．同理，函数在(0，＋∞)上也是减函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 例4　判断一次函数y＝kx＋b(k≠0)的单调性． [解]　设x1≠x2， 那么＝＝k． 因此，一次函数的单调性取决于k的符号：当k>0时，一次函数在R上是增函数；当k<0时，一次函数在R上是减函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 反思领悟　利用函数的平均变化率判断或证明单调性的4个步骤 (1)取值：任取x1，x2∈D，且x1≠x2． (2)计算：求Δf (x)＝f (x2)－f (x1)，Δx＝x2－x1，． (3)判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性． (4)下结论：若>0，则f (x)在区间I上是增函数；若<0，则 f (x)在区间I上是减函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝1－，x∈[3，5]，判断函数f (x)的单调性，并证明． [解]　由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由复合函数单调性的判定方法知f (x)＝1－在[3，5]上为增函数．证明过程如下： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0， 则Δy＝f (x2)－f (x1)＝1－＝ ＝． ∵(x1＋2)(x2＋2)＞0， ∴Δy＞0，∴＞0，故函数f (x)在[3，5]上是增函数． 类型3　二次函数的单调性、最值问题 【例3】　【链接教材P105例5】 已知函数f (x)＝x2－ax＋1，求f (x)在[0，1]上的最大值． [解]　因为函数f (x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，当，即a≤1时，f (x)的最大值为f (1)＝2－a；当>，即a>1时，f (x)的最大值为f (0)＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 [母题探究] 1．(变结论)在题设条件不变的情况下，求f (x)在[0，1]上的最小值． [解]　①当≤0，即a≤0时，f (x)在[0，1]上单调递增，∴f (x)的最小值为f (0)＝1． ②当≥1，即a≥2时，f (x)在[0，1]上单调递减， ∴f (x)的最小值为f (1)＝2－a． ③当0<<1，即0<a<2时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，故f (x)的最小值为f ＝1－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 2．(变结论)在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f (x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值． [解]　当a＝1时，f (x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝． ①当t≥时，f (x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f (x)的最小值为f (t)＝t2－t＋1． ②当t＋1≤，即t≤－时，f (x)在[t，t＋1]上是减函数， ∴f (x)的最小值为f (t＋1)＝(t＋1)2－(t＋1)＋1＝t2＋t＋1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 ③当t<<t＋1，即－<t<时，函数f (x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f (x)的最小值为f ＝． 【教材原题·P105例5】 例5　证明函数f (x)＝x2＋2x在(－∞，－1]上是减函数，在[－1， ＋∞)上是增函数，并求这个函数的最值． [证明]　设x1≠x2，则 ＝＝＝x1＋x2＋2． 因此： 当x1，x2∈(－∞，－1]时，有x1＋x2<－2，从而<0， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 因此f (x)在(－∞，－1]上是减函数； 当x1，x2∈[－1，＋∞]时，有x1＋x2>－2， 从而>0，因此f (x)在[－1，＋∞)上是增函数． 由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当x∈(－∞，－1]时，有f (x)≥f (－1)， 当x∈[－1，＋∞)时，不等式也成立，因此f (－1)＝－1是函数的最小值． 反思领悟　一元二次函数的最值 (1)不含参数的一元二次函数的最值：配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值． (2)含参数的一元二次函数的最值：以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m，区间[a，b]为例， ①最小值：f (x)min＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 ②最大值：f (x)max＝ 当开口向下、区间不是闭区间时，也可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 学习效果·课堂评估夯基础 1．已知f (x)＝3x2＋5，则自变量x从0.1到0.2的平均变化率为(　　) A．0.3　　　B．0.9　　　C．0.6　　　D．1.2 √ B　[Δy＝f (0.2)－f (0.1)＝0.12＋5－0.03－5＝0.09， 可得平均变化率＝＝0.9．] 第2课时　函数的平均变化率 2．函数f (x)在区间[－2，－1]上满足＞0，且图象关于y轴对称，则函数f (x)在区间[1，2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f (1) B．单调递增，且有最大值f (1) C．单调递减，且有最小值f (2) D．单调递减，且有最大值f (2) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 C　[∵函数f (x)在区间[－2，－1]上满足＞0， ∴函数f (x)在区间[－2，－1]上是增函数． ∵其图象关于y轴对称， ∴函数f (x)在区间[1，2]上是减函数， ∴f (x)min＝f (2)，f (x)max＝f (1)．故选C．] 3．若函数f (x)＝x2－x＋的定义域和值域都是[1，b]，则b＝(　　) A．1 B．3 C．2 D．1或3 √ B　[∵函数f (x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的定义域和值域都是[1，b]，且函数f (x)在[1，b]上为增函数， ∴f (b)＝(b－1)2＋1＝b，即(b－1)2＝b－1． 又∵b＞1，∴(b－1)＝1，解得b＝3．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 4．汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是，则三者的大小关系为__________．(用“<”表示) << 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 <<　[∵＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由题图得kOA<kAB<kBC， ∴<<．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．对平均变化率中的Δx，Δy，，你是怎样理解的？ [提示]　(1)函数f (x)应在x1，x2处有定义． (2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负． (3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)，而不是Δy＝f (x1)－f (x2)． (4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 2．判断函数y＝f (x)在区间I上单调性的充要条件是什么？ [提示]　(1)y＝f (x)在区间I上单调递增的充要条件是＞0恒成立． (2)y＝f (x)在区间I上单调递减的充要条件是＜0恒成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(二十一)　函数的平均变化率 一、选择题 1．已知A(1，2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三点在同一条直线上，则m＝(　　) A． 　　　B．3 　　　C． 　　　D．4 √ 40 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kAC， ∴＝，解得m＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度的大小为(　　) A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 D　[平均速度的大小为＝－4－2d．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 42 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3 　　B．2 　　C．3　 　D．－2 C　[根据平均变化率的定义，可知 ＝＝a＝3，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．已知对任意的0<x1<x2，都有>0，设a＝f (π)，b＝f (2)，则(　　) A．a>b B．a＝b C．a<b D．a，b的大小关系不能确定 √ C　[由条件知<0，即f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∵π>2，∴f (π)<f (2)，即a<b．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．函数f (x)＝x2－mx＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是(　　) A．4 B．－4 C．与m的取值有关 D．无最小值 √ A　[f (x)＝x2－mx＋4的图象的对称轴为直线x＝，∵m>0，∴f (x)在(－∞，0]上单调递减， ∴f (x)min＝f (0)＝4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________． 4.1　[因为割线AB的斜率kAB＝＝ ＝＝Δx＋4， 所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1．] 4.1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知函数f (x)＝f (x)的最大值为m，f (x)的最小值为n，则m＋n＝________． －　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 47 －　[当0≤x≤2时，f (x)＝－x2＋x＝＋，此时f (x)max＝ f ＝＝f＝－2． 当－1≤x<0时，f (x)＝－x2－x＝－＋，此时f (x)max＝f ＝，f (x)min＝f (－1)＝0． 综上所述，f (x)max＝，f (x)min＝－2，即m＝，n＝－2，所以m＋n＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．设f (x)＝x2－2ax＋a2，x∈[0，2]．当a＝－1时，f (x)的最小值是________．若f (0)是f (x)的最小值，则a的取值范围为__________． 1　(－∞，0]　[当a＝－1时，f (x)＝x2＋2x＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1， 所以函数f (x)＝x2＋2x＋1在[0，2]上单调递增，所以函数f (x)在[0，2]上的最小值为f (0)＝1． 若f (0)是f (x)的最小值，说明f (x)图象的对称轴，即直线x＝a在y轴左侧或与y轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(－∞，0]．] 1 (－∞，0] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知函数f (x)＝2x2＋3x－5． (1)当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率； (2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率； (3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵f (x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f (x1＋Δx)－f (x1)＝＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx． (1)当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则＝＝21． (2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，则＝＝19.2． 51 (3)在(1)中，＝，它表示抛物线上的点A(4，39)与点B(5，60)连线所在直线的斜率； 在(2)中，＝，它表示抛物线上的点A(4，39)与点C(4.1，40.92)连线所在直线的斜率． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)下列各选项正确的有(　　) A．若x1，x2∈I，当x1≠x2时，＝>0在区间I上成立，则y＝f (x)在区间I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝－在定义域上不是增函数 D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 CD　[A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．] 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．设函数f (x)＝ax2＋bx－c(a≠0)对任意实数t都有f (2＋t)＝f (2－t)成立，在数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中最小的一个不可能是(　　) A．f (－1) B．f (1) 　 C．f (2) D．f (5) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为f (2＋t)＝f (2－t)，所以该二次函数的对称轴为x＝2，该二次函数的图象是抛物线，当a>0时，抛物线的开口向上，当x>2时，该函数单调递增，当x<2时，该函数单调递减，所以f (2)是最小值；当a<0时，抛物线的开口向下，当x>2时，该函数单调递减，当x<2时，该函数单调递增，所以有f (2)>f (1)>f (－1)＝f (5)，此时f (－1)，f (5)最小．故选B．] 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________． －　[∵Δy＝ ＝＝＝，∴＝＝， 即k＝＝－．∴当Δx＝1时，k＝－＝－．] －　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知函数f (x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为_________． 　[要使f (x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0． 综上所述，m的取值范围是．] 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知函数f (x)＝，x∈[3，5]． (1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)函数f (x)在[3，5]上是增函数． 证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则 f (x1)－f (x2)＝ ＝ ＝， 61 所以＝＝． 因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以＝＞0， 所以f (x)＝在[3，5]上是增函数． (2)由(1)得f (x)min＝f (3)＝＝， f (x)max＝f (5)＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上的最小值为－3，求实数a的值． [解]　函数y＝x2＋ax＋3可变形为 y＝＋， 其对称轴为x＝－． 由函数的图象(图略)可知： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数的平均变化率 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)当－≤－1，即a≥2时，函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上单调递增，所以，在x＝－1时，y取得最小值4－a． 根据题设4－a＝－3，得a＝7． (2)当－∈(－1，1)，即－2<a<2时，函数y＝x2＋ax＋3在上单调递减，在上单调递增，所以，在x＝－时，y取得最小值． 根据题设＝－3，则a2＝24，解得a＝±2． 因为±2∉(－2，2)，故舍去． 64 (3)当－≥1，即a≤－2时， 函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上单调递减， 所以，当x＝1时，y取得最小值4＋a． 根据题设4＋a＝－3，得a＝－7． 综上可知，符合题意的a的值为±7． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $