3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第3课时 分段函数(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦分段函数，通过基础理解、综合应用到拓展探究的三层设计，实现从概念辨析到实际建模的知识进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分段函数求值、图像识别|以选择填空直接考查概念，如求f(3)值、判断函数图像，夯实基础认知| |中档层|定义域、值域、方程解|结合定义域求解、已知值域求参数范围，如第3题值域为R求a范围，提升运算能力| |提升层|多函数最值、实际建模|通过解答题（如第14题梯形面积建模）和多选题（如狄利克雷函数性质），考查推理与模型意识|

第3课时　分段函数 1.已知f(x)=则f(3)的值为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.函数y=x+的大致图象是 (　 ) A B C D 3.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 4.已知函数f(x)=则方程f[f(x)]=0的解的个数为 (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.[2026·贵州六盘水高一期中] 已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=2x+1,h(x)=,记m(x)=min{f(x),g(x),h(x)}为它们中的最小者,则函数m(x)的大致图象是 (　 ) A B C D 6.[2026·江苏盐城高一期中] 已知实数t≠0,函数f(x)=若f(1+3t)=f(1-2t),则t的值为 (　 ) A.- B.- C.-或- D.1 7.(多选题)函数f(x)=称为狄利克雷函数,下列关于f(x)的说法正确的是(　 ) A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.对任意x∈R,f[f(x)]=1恒成立 D.对任意x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立 8.已知函数f(x)=则f(x)的定义域为　　　　.  9.[2025·湖南湘潭高一期末] 已知函数f(x)=若f(m)=2,则m的值为　　　　.  10.(13分)[2025·贵州贵阳高一期中] 已知函数f(x)=min{-x2,x-2},min{a,b}表示a,b中较小的值. (1)求f(0),f(4)的值; (2)求f(x)的解析式; (3)求f(x)>-4的解集. 11.已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(2,+∞) B.[-2,0)∪(0,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) ★12.(多选题)[2025·辽宁沈阳高一期末] 对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=若f(x)=4-x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是 (　 ) A.F(1)=F(-1)=1 B.方程F(x)=0有三个解 C.不等式F(x)>0的解集为(-2,2) D.函数F(x)的值域为(-∞,2] 13.[2025·上海黄浦区高一期中] 已知[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=[x],x∈[-1,2]的值域为　　　　;g(x)=2x-[x],x∈[-1,2]的值域为　　　　.  14.(15分)如图所示,在底角为45°的等腰梯形ABCD中,边BC的长为7 cm,腰长为2 cm,当垂直于边BC(垂足为F)的直线l从左向右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出直线l左侧部分的面积y关于x的函数解析式. 15.已知f(x)=-x+5,g(x)=(x+1)2,max{a,b}表示a,b中较大的值,记函数M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是　　　　.  16.(15分)若函数f(x)=求关于x的方程2[f(x)]2+f(x)-1=0的解的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　分段函数 1.A　[解析] 由题知f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2.故选A. 2.C　[解析] 函数y=x+=作出该函数的图象,如图所示.故选C. 3.D　[解析] 由题意知当x≥2时,f(x)=x+1≥3,故要使函数f(x)=的值域为R,需满足解得a≥,故实数a的取值范围是.故选D. 4.B　[解析] 令t=f(x),则方程f[f(x)]=0即为f(t)=0.当t≤0时,t+1=0,解得t=-1;当t>0时,-1=0,解得t=1.当t=-1时,若x≤0,则x+1=-1,解得x=-2,符合题意;若x>0,则-1=-1,解得x=0,不合题意.当t=1时,若x≤0,则x+1=1,解得x=0,符合题意;若x>0,则-1=1,解得x=4,符合题意.综上,方程f[f(x)]=0的解的个数为3.故选B. 5.A　[解析] 在同一个平面直角坐标系中,作出f(x)=(x-1)2,g(x)=2x+1,h(x)=的图象,如图.由函数m(x)=min{f(x),g(x),h(x)}的定义,取三个函数中函数值的最小者,可得m(x)的图象如图中实线部分所示.故选A. 6.A　[解析] 当t<0时,1-2t>1,1+3t<1,由f(1+3t)=f(1-2t),得-(1-2t)-2t=2(1+3t)+t,解得t=-,则t=-;当t>0时,1-2t<1,1+3t>1,由f(1+3t)=f(1-2t),得2(1-2t)+t=-(1+3t)-2t,解得t=-,与t>0矛盾,无解.综上,t的值为-.故选A. 7.BC　[解析] 因为函数f(x)=所以f(x)只有两个函数值,所以f(x)的值域为{0,1},故A错误;函数f(x)的定义域为两段上的并集,即全体有理数集并上全体无理数集为全体实数集,所以f(x)的定义域为R,故B正确;对任意x∈R,f(x)的值为0或1,都是有理数,所以f[f(x)]=1,故C正确;对任意x∈Q,x+π是无理数,所以f(x)=1,f(x+π)=0,此时f(x+π)≠f(x),故D错误.故选BC. 8.R　[解析] 由函数f(x)=可得函数f(x)的定义域为(-∞,0]∪(0,1]∪(1,+∞)=R,所以函数f(x)的定义域为R. 9.3或-5　[解析] 若m>0,则f(m)=2m-4=2,解得m=3;若m<0,则f(m)=-m-3=2,解得m=-5.综上所述,m=3或m=-5. 10.解:(1)f(0)=min{-02,0-2}=-2,f(4)=min{-42,4-2}=-16. (2)由-x2≥x-2,得-2≤x≤1, 由-x2<x-2,得x<-2或x>1, 所以f(x)=min{-x2,x-2}= (3)由(2)知,f(x)= 当-2≤x≤1时,令f(x)>-4,即x-2>-4,解得x>-2,所以-2<x≤1;当x<-2或x>1时,令f(x)>-4,即-x2>-4,解得-2<x<2,所以1<x<2. 综上所述,f(x)>-4的解集为(-2,2). 11.D　[解析] 由题知a≠0.若a>0,则f(a)-f(-a)>0,即a+1-[-2×(-a)-1]>0,解得a<2,所以0<a<2;若a<0,则f(a)-f(-a)<0,即-2a-1-(-a+1)<0,解得a>-2,所以-2<a<0.综上,实数a的取值范围是(-2,0)∪(0,2).故选D. 12.ABD　[解析] 当4-x2≤x2,即x≤-或x≥时,F(x)=4-x2;当4-x2>x2,即-<x<时,F(x)=x2,所以F(x)=对于A,F(1)=1,F(-1)=1,故A正确;对于B,当x≤-或x≥时,令F(x)=4-x2=0,解得x=±2,当-<x<时,令F(x)=x2=0,解得x=0,所以方程F(x)=0有三个解,故B正确;对于C,当x≤-或x≥时,令F(x)=4-x2>0,可得-2<x≤-或≤x<2,当-<x<时,令F(x)=x2>0,可得-<x<0或0<x<,所以不等式F(x)>0的解集为(-2,0)∪(0,2),故C错误;对于D,当x≤-或x≥时,F(x)=4-x2≤2,当-<x<时,0≤F(x)=x2<2,所以函数F(x)的值域为(-∞,2],故D正确.故选ABD. [技巧点拨] 求解分段函数的有关问题,关键是要在各个不同的“段”内进行,分段函数的定义域是各段自变量取值的集合的并集,值域是各段函数值取值的集合的并集. 13.{-1,0,1,2}　[-1,3)　[解析] 因为函数f(x)=[x]=所以函数f(x)=[x],x∈[-1,2]的值域为{-1,0,1,2}.函数g(x)=2x-[x]=当x∈[-1,0)时,g(x)∈[-1,1); 当x∈[0,1)时,g(x)∈[0,2);当x∈[1,2)时,g(x)∈[1,3);当x=2时,g(2)=2.综上所述,函数g(x)的值域为[-1,3). 14.解:如图所示,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H. 因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm. 又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm. 当点F在BG上移动,即x∈[0,2]时,y=x2;当点F在GH上移动,即x∈(2,5]时,y=×2×2+2(x-2)=2x-2;当点F在HC上移动,即x∈(5,7]时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=×(7+3)×2-(7-x)2=-(x-7)2+10. 综上,y= 15.4　[解析] 令f(x)≥g(x),即-x+5≥(x+1)2,解得-4≤x≤1,令f(x)<g(x),即-x+5<(x+1)2,解得x>1或x<-4,所以M(x)=max{f(x),g(x)}=当x∈(-∞,-4)∪(1,+∞)时,M(x)=(x+1)2>(1+1)2=4,当x∈[-4,1]时,M(x)=-x+5≥M(1)=4,所以M(x)的最小值是4. 16.解:由2[f(x)]2+f(x)-1=0,得[f(x)+1][2f(x)-1]=0,解得f(x)=-1或f(x)=. ①若f(x)=-1,当x>0时,令x2-2x=-1,可得x=1;当x≤0时,令-x2=-1,可得x=-1. ②若f(x)=,当x>0时,令x2-2x=,可得x=;当x≤0时,令-x2=,方程无解. 综上,关于x的方程2[f(x)]2+f(x)-1=0的解有3个. 学科网（北京）股份有限公司 $