3.1.1 第1课时 函数的概念（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

3．1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法 学业标准 素养目标 1．理解函数的概念，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点) 2．掌握函数的三种表示方法．(重点) 3．会求函数的解析式，并能正确画出函数的图象．(重点、难点) 1．通过函数概念及表示法的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过画函数图象，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养． 第1课时　函数的概念 [对应学生用书P60] 导学　函数 初中函数的概念是怎样的？ [提示]　在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数． 它有怎样的局限性？ [提示]　很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等． ◎结论形成 1．函数的概念 给定两个__非空__实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的__每一个__实数x，在集合B中都有__唯一确定__的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的__定义域__，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的__值域__． 2．同一函数 如果两个函数表达式表示的函数__定义域__相同，__对应关系__也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则这两个函数表达式表示的是同一函数． [对应学生用书P61] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．(　　) (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) (4)在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是(　　) A.f：x→y＝x＋1　　 B．f：x→y＝2x C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x| 解析　对于A：当x＝－1时，由f：x→y＝x＋1得y＝0，但0∉B，故A错误； 对于B：因为A＝{x|－2<x≤1}任取一个元素，通过f：x→y＝2x在B＝{x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确； 对于C：当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误； 对于D：当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误，故选B. 答案　B 3．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝______． 解析　因为f(x)＝－1，f(a)＝3，所以－1＝3，解得a＝16. 答案　16 4．函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析　由已知得解得x≤2且x≠1， 即函数f(x)＝＋的定义域是(－∞，1)∪(1，2]. 答案　(－∞，1)∪(1，2] [对应学生用书P61] 题型一　函数关系的判断 (1)(多选)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图所示的四个图形： 其中，对应关系是定义在集合M上的一个函数的个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [解析]　(1)A选项，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数． B选项，±＝0，±＝±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数． C选项，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数． D选项，1×2＝2，2×2＝4，3×2＝6，4×2＝8， 为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数． (2)①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是． [答案]　(1)AD　(2)B (1)任取一条垂直于x轴的直线l，若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． (2)判断一个对应是否是函数的方法 [触类旁通] 1．(1)(多选)下列对应是函数的是(　　). A．x→y，其中y2＝x，x∈[0，＋∞)，y∈R B．x→y，其中y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x<10，x∈N} C．x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z D．x→y，其中y＝x－1，x∈N＋，y∈N (2)(多选)下列图象中，表示函数关系y＝f(x)的有(　　) 解析　(1)对于A，x→y，其中y2＝x，x∈[0，＋∞)，y∈R，不满足一个自变量x有唯一一个实数y与之对应，例如x＝1时，y＝±1；不满足定义，故A不正确； 对于B，x→y，其中y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x<10，x∈N}， x＝1时，y＝3∈{x|x<10，x∈N}，x＝2时，y＝5∈{x|x<10，x∈N}， x＝3时，y＝7∈{x|x<10，x∈N}，x＝4时，y＝9∈{x|x<10，x∈N}， 满足定义，故B正确； 对于C，x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z；满足定义，故C正确； 对于D，x→y，其中y＝x－1，x∈N＋，y∈N满足定义，故D正确，故选BCD. (2)根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出， 对于A，当x＝0时，y有两个值与其对应，不符合； 对于B，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系； 对于C，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系； 对于D，当x＝1时，y有无数个值与其对应，不符合；故选BC. 答案　(1)BCD　(2)BC 题型二　同一函数的判断 　(多选)下列各组函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝x2＋4x＋4和g(m)＝(m＋2)2 B．f(x)＝·和g(x)＝ C．f(x)＝和g(x)＝x D．f(x)＝和g(x)＝x2－1 [解析]　对于A, f(x)＝x2＋4x＋4的定义域为R， g(m)＝(m＋2)2＝m2＋4m＋4的定义域为R， 且两个函数的对应关系相同，所以是同一函数，故A正确； 对于B, f(x)＝·的定义域为[3，＋∞)， g(x)＝ 的定义域为∪， 所以不是同一函数，故B错误； 对于C，f(x)＝＝|x|与g(x)＝x对应关系不相同，故C错误； 对于D，f(x)＝＝＝x2－1，且定义域为R， g(x)＝x2－1定义域为R，所以两个函数是同一函数，故D正确． [答案]　AD 判断两个函数是否为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． [触类旁通] 2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝，g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ 解析　f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1定义域均为R，对应法则一致，为同一函数，A正确； f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝的定义域为(0，＋∞)，定义域不同，不是同一函数，B错误； f(x)＝与g(x)＝的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)＝＝1，g(x)＝＝1，故对应法则一致，C正确； f(x)＝x与g(x)＝的定义域均为R，但g(x)＝＝|x|，故对应法则不一致，D错误． 答案　AC 题型三　求函数的定义域题点多探　多维探究 角度1　求具体函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)y＝(x－1)0＋； (2)y＝＋. [解析]　(1)要使函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}． (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1， 即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． 角度2　求抽象函数的定义域 　已知函数f(x－1)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　) A．[－1，9] B．[－3，7] C．[－2，1] D． [解析]　∵函数y＝f(x－1)的定义域为[－2，3]，∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2， 即函数f(x)的定义域为[－3，2]. ∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2， 解得－2≤x≤. 即函数f(2x＋1)的定义域为. [答案]　D 求函数定义域时，要注意应用下列原则 (1)分式中分母不能为零． (2)偶次根式中的被开方的数不小于零． (3)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集． (4)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的． 注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接． [触类旁通] 3．(1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A． B．{x|x>1} C． D． (2)已知f(x)的定义域为[1，3]，则g(x)＝的定义域为(　　) A．∪　　 B． C．∪　　 D． 解析　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得 即x≥且x≠1，故选C. (2)因为f的定义域为，所以f的定义域为{x|1≤3x－2≤3}，即，由分母不为0，得2x－3≠0，即x≠，所以函数g(x)的定义域为∪. 答案　(1)C　(2)A 题型四　函数对应关系的应用 　(1)若f(x)＝ax2－，a为正实数，且f(f())＝－，则a＝________． (2)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， ①求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))； ②求g(f(x)). (1)[解析]　因为f()＝a·()2－＝2a－，所以f(f())＝a·(2a－)2－＝－， 所以a·(2a－)2＝0.又因为a为正实数，所以2a－＝0，所以a＝. [答案]　 (2)[解析]　①因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20. 因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)， g(f(2))＝g(10)＝＝. ②g(f(x))＝＝＝. [素养聚焦]　在求函数值的过程中，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 函数求值的方法及关注点 (1)方法 ①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． [触类旁通] 4．已知f(3x＋1)＝4x＋3，则f(4)＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由3x＋1＝4，得x＝1，所以f(4)＝f(3×1＋1)＝4×1＋3＝7. 答案　B [缜密思维提能区]　易错案例 抽象函数的定义域 【典例】　若函数f(x)的定义域为[0，4]，求g(x)＝的定义域． [解析]　因为f(x)的定义域为[0，4]， 所以要使g(x)有意义，应有 解得0≤x≤2且x≠1. 所以g(x)的定义域为[0，1)∪(1，2]. [纠错心得]　求抽象函数定义域的原则及方法 (1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同． (2)方法：已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围． 知识落实 技法强化 (1)函数的概念． (2)函数的定义域、求函数值． (3)同一个函数的判定． (1)函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象． (2)两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$