2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学均值不等式应用同步练，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，实现从单一公式应用到几何直观与实际问题的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|均值不等式直接应用|选择1-3题给定正数条件求最值，强化基本公式| |技能应用层|条件变形与参数范围|填空8-9题转化方程（如x²+3xy=1）求最值，提升运算能力| |综合拓展层|几何解释与实际应用|解答13题证明不等式，15题几何解释不等式链，培养推理与模型意识|

第2课时　均值不等式的应用 1.若正数x,y满足+=2,则x+y的最小值为 (　 ) A. B.1 C.2 D.4 2.已知x≥0,y>2,且+=,则x+y的最小值为 (　 ) A.4 B.8 C.16 D.32 3.如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是 (　 ) A. B. C.1 D.2 4.若正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+<m2-m有解,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-1,2) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-2,1) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 5.已知x>0,y>0,且+=,若x+2+y>m2+5m恒成立,则实数m的取值范围是(　 ) A.(-4,7) B.(-2,7) C.(-4,2) D.(-7,2) 6.[2025·贵州贵阳高一期中] 如图,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证△ACD∽△DCB,所以CD=.由于CD小于或等于圆的半径,利用该图作为一个说法的几何解释,这个说法正确的是 (　 ) A.如果a>b>0,那么> B.如果a>b>0,那么a2>b2 C.对任意a>0,b>0,都有≥,当且仅当a=b时等号成立 D.对任意a>0,b>0,都有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 ★7.(多选题)下列结论正确的是 (　 ) A.当x>0时,+≥2 B.当x>0时,的最小值是2 C.当x<0时,2x-1+的最小值是 D.若x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是 8.已知x<-1,则的最大值为　　　　.  9.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值为　　　　.  10.[2026·安徽滁州高一月考] 已知x>0,y>0,且满足x+8y=xy,则x+2y有 (　 ) A.最大值16 B.最大值18 C.最小值16 D.最小值18 11.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.的最小值为2 B.已知x>1,则2x+-1的最小值为4+1 C.若正实数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3 D.设x,y为正实数,若9x2+y2+xy=1,则3x+y的最大值为 12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,其边长分别为a,b,c,则该三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形的面积的最大值为　　　　.  13.(15分)已知a>0,b>0,且a+b=1,证明:+≤2. 14.若x>0,y>0,且xy=2x+y,则+的最小值为　　　　.  15.(15分)如图,以AB为直径作半圆,圆心为O.过直径AB上一点C作CD垂直于AB,交半圆于点D,连接AD,BD.利用这个图形得出不等式链≤≤≤的几何解释. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　均值不等式的应用 1.C　[解析] 因为正数x,y满足+=2,所以x+y=(x+y)=≥=2,当且仅当=,即x=y=1时,等号成立,所以x+y的最小值为2.故选C. 2.C　[解析] 因为x≥0,y>2,且+=,所以x+y=4[(x+2)+(y-2)]=4≥4×(2+2)=16,当且仅当x=6,y=10时取等号,故x+y的最小值为16.故选C. 3.B　[解析] 设两个正方形的边长分别为x,y,则x>0,y>0且x+y=1,所以两个正方形的面积之和为x2+y2.由均值不等式可得x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时,等号成立,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥,当且仅当x=y=时,等号成立,所以这两个正方形的面积之和的最小值为.故选B. 4.D　[解析] 由4x+y=2xy,得+=1,则x+==1++≥1+2=2,当且仅当4x=y=4时等号成立,所以x+的最小值为2.若不等式x+<m2-m有解,则m2-m>2,解得m<-1或m>2,故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选D. 5.D　[解析] 因为x>0,y>0,且+=,所以x+2+y=×(x+2+y)=×≥×=14,当且仅当y=x+2=7时取等号.因为x+2+y>m2+5m恒成立,所以14>m2+5m,解得-7<m<2,所以实数m的取值范围是(-7,2).故选D. 6.C　[解析] 由题意,CD小于或等于圆的半径,AB是圆的直径,且AC=a,BC=b,CD=,所以≤,当且仅当a=b时等号成立.故选C. 7.AD　[解析] 对于A,当x>0时,>0,可得+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;对于B,当x>0时,x2+4>0,>0,可得=+=+≥2=2,当且仅当=时取得等号,但>2,所以等号取不到,所以没有最小值,故B错误;对于C,因为x<0,所以5-4x>0,则2x-1+=-≤-2=-,当且仅当=时取等号,又x<0,所以等号取不到,所以2x-1+没有最小值,故C错误;对于D,因为x>0,y>0,且x+y=2,所以+=(x+y)=+≥+×2=,当且仅当=,即y=2x=时,等号成立,故D正确.故选AD. [易错点] 在用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”必须同时满足,缺一不可,如本题B,C中的等号取不到,则易出现错误判断. 8.-11　[解析] 易知==x+1+-3.因为x<-1,所以x+1<0,所以-(x+1)>0,则x+1+=-≤-8,当且仅当-(x+1)=-,即x=-5时,等号成立,所以x+1+-3≤-11,故的最大值是-11. 9.　[解析] 由x2+3xy-1=0,可得y=.又x>0,所以x+y=+≥2=,当且仅当x=时等号成立,所以x+y的最小值为. 10.D　[解析] 由x>0,y>0,x+8y=xy,得+=1,所以x+2y=(x+2y)=10++≥10+2=18,当且仅当=,即x=12,y=3时,等号成立,所以x+2y有最小值18.故选D. 11.BCD　[解析] 当x=-1时,=0<2,故A错误;2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当2(x-1)=,即x=+1时取等号,故B正确;由x+2y=3xy,得+=1,所以2x+y=(2x+y)=++≥2+=3,当且仅当=,即x=y=1时取等号,故C正确;由9x2+y2+xy=1,得(3x+y)2=1+5xy=1+×4×3x×y≤1+(3x+y)2,即(3x+y)2≤1,则3x+y≤=,当且仅当3x=y=时取等号,故D正确.故选BCD. 12.8　[解析] 由a+b=12,c=8,可得p=(a+b+c)=10,则S==≤·=8,当且仅当a=b=6时取等号,所以此三角形的面积的最大值为8. 13.证明:因为(+)2=2(a+b)+4+2≤6+2(a+b)+4=12,当且仅当a=b=时取等号,所以+≤2. 14.3+2　[解析] 因为xy=2x+y,所以(x-1)(y-2)=2,因为x=>0,y=>0,所以x-1>0,y-2>0.+=+=3+2,因为(x-1)(y-2)=2,x-1>0,y-2>0,所以+≥2=,所以+≥3+2,当且仅当x=1+,y=2+时等号成立,所以+的最小值为3+2. 15.解:不妨设AC=a,CB=b,a>b,则半圆的半径r=,如图,过点O作OE⊥AB交半圆于点E,连接CE,则OE=.由CD2=AC·CB知CD=. 显然OC=,则CE===. 连接OD,过点C作CH⊥OD于点H,则CD2=DH·OD, 因为OD=,所以DH==. 因为CE>OE=OD>CD>DH,所以>>>.当点O与点C重合时,CE=OE=OD=CD=DH,即===. 综上,≤≤≤,其中a,b都是正数,当且仅当a=b时等号成立(即点C与点O重合时). 注:称为正数a,b的调和平均数,称为正数a,b的平方平均数. 学科网（北京）股份有限公司 $