2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 均值不等式(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练聚焦均值不等式，通过基础巩固、能力提升、拓展创新三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识内化与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|均值不等式概念及简单应用|单选题（如第2题考成立条件）、直接求最值题（如第1题），夯实运算能力| |能力提升|条件转化与综合应用|多选题（如第7题代数式最值）、解答题（第10题证明与条件比较），发展推理意识| |拓展创新|实际应用与创新情境|新定义运算（第15题）、恒成立问题（第13题），培养模型观念与创新意识|

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 1.[2026·浙江杭州高一期中] 已知x>0,则2x+的最小值为 (　 ) A. B.2 C.2 D.4 2.在不等式≥中,a,b需满足 (　 ) A.a>0,b>0 B.a≥0,b≥0 C.ab≥0 D.ab>0 3.[2025·福建宁德高一期中] 已知a,b>0且ab=1,则(a+2)(b+2)的最小值为 (　 ) A.9 B.10 C.2 D.8 4.已知x,y均为正数,且满足x+2y=4,则xy的最大值为 (　 ) A. B.2 C.2 D. 5.[2026·广东深圳高一期中] 已知x>2,则x+的最小值为 (　 ) A.6 B. C. D.7 6.下列函数中,最小值是2的是 (　 ) A.y=x+ B.y=x3+ C.y=x2+ D.y=+ 7.(多选题)[2026·湖南永州高一月考] 下列代数式中,最小值为2的是 (　 ) A.当ab=1时,a+b B.当ab=1时,+ C.a2-2a+3 D.+ 8.(多选题)[2026·重庆北碚区高一期中] 已知a,b均为正数,则下列不等式中恒成立的是(　 ) A.≥1 B.a+b≥+ C.+≥ D.≥a2+b2 9.已知正数x,y满足x+=2,则的最小值为　　　　.  10.(13分)(1)已知a,b是实数,证明a2+b2≥2ab,并说明等号成立的条件. (2)不等式a2+b2≥2ab和均值不等式≤成立的条件有什么不同? 11.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 (　 ) A.36 B.4 C.16 D.9 12.(多选题)以下结论中正确的是 (　 ) A.y=x+的最小值为2 B.当a>0,b>0时,++2≥4 C.y=x(1-2x),0<x<的最大值为 D.当且仅当a,b均为正数时,+≥2恒成立 13.[2025·广西桂林高一期中] 若对于任意的x>0,不等式mx≤x2-2x+4恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  14.(15分)已知a>0,b>0,且a+b+ab=3. (1)求ab的取值范围; (2)求a+b的取值范围. 15.规定a☉b=+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为　　　　,此时y=的最小值为　　　　.  16.[2026·山东青岛高一期中] 已知x>0,y>0,2x+3y+6xy=,则2x+3y的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 1.C　[解析] 因为x>0,所以2x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以2x+的最小值为2.故选C. 2.B　[解析] 在均值不等式中,我们规定a>0,b>0,但当a=0,b=0时也满足≥.故选B. 3.A　[解析] ∵a,b>0且ab=1,∴(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=5+2(a+b)≥5+4=9,当且仅当a=b=1时,等号成立.故选A. 4.B　[解析] ∵x,y均为正数,x+2y=4,∴xy=×2xy≤×=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B. 5.A　[解析] x+=x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立,所以最小值为6.故选A. 6.D　[解析] 对于A,当x<0时,y=x+<0,故A不符合题意;对于B,当x<0时,y=x3+<0,故B不符合题意;对于C,当x=0时,y=x2+=,故C不符合题意;对于D,由均值不等式知y=+≥2=2(当且仅当x=2时取等号),故D符合题意.故选D. 7.BC　[解析] 选项A中,当a=b=-1时,满足ab=1,但此时a+b=-2,故a+b的最小值不为2,故A错误;选项B中,因为ab=1,所以a,b同号,则>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即a=b=±1时,等号成立,所以+的最小值为2,故B正确;选项C中,a2-2a+3=(a-1)2+2,所以当a=1时,a2-2a+3取得最小值2,故C正确;选项D中,因为≥,所以+≥2=2,当且仅当=,即a2=-1时取等号,但此时显然不成立,所以+的最小值不为2,故D错误.故选BC. 8.AC　[解析] ∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),a,b均为正数,ab>0,∴≥1,故A正确;当a=b=时,a+b=,+=1,此时a+b<+,故B错误;∵a,b均为正数,∴(a+b)=2++≥2+2=4(当且仅当a=b时取等号),又a+b>0,∴+≥,故C正确;当a=2,b=1时,=,a2+b2=5,此时<a2+b2,故D错误.故选AC. 9.　[解析] 因为x,y为正数,所以2=x+≥2=,所以≥,当且仅当x=,即x=4y=1时,等号成立,故的最小值为. 10.解:(1)因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab, 当且仅当(a-b)2=0,即a=b时,等号成立. (2)不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,均值不等式≤中要求a,b都是非负实数. 11.D　[解析] 由题意得,(1+x)+(1+2y)=6,1+x>1,1+2y>1,所以(1+x)(1+2y)≤=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时取等号.故选D. 12.BC　[解析] 对于A,当x<0时,y<0,故A错误;对于B,当a>0,b>0时,++2≥2+2=+2≥2·=4,当且仅当a=b=1时取等号,故B正确;对于C,y=x(1-2x)=×2x(1-2x)≤=,当且仅当x=时取等号,故y的最大值为,故C正确;对于D,当a,b同号时,+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,故D错误.故选BC. 13.(-∞,2]　[解析] 对于任意的x>0,不等式mx≤x2-2x+4恒成立,即m≤x+-2恒成立.当x>0时,x+-2≥2-2=2,当且仅当x=2时取等号,所以m≤2,即实数m的取值范围为(-∞,2]. 14.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b+ab=3,所以a+b=3-ab≥2,当且仅当a=b=1时取等号,可得0<≤1,所以0<ab≤1,故ab的取值范围是(0,1]. (2)因为a+b=3-ab≥3-,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+b≥2,故a+b的取值范围是[2,+∞). 15.1　3　[解析] 由题意得1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,可得k=1,则y===1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时,等号成立.综上可得,k=1,y=的最小值为3. 16.1　[解析] 由x>0,y>0,2x+3y+6xy=,得6xy=-(2x+3y),又6xy=2x·3y≤,当且仅当2x=3y时,等号成立,所以-(2x+3y)≤.令t=2x+3y>0,则上式可化为t2+4t-5≥0,解得t≥1或t≤-5(舍去),所以t≥1,即2x+3y≥1,所以2x+3y的最小值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $