专题02 均值不等式及应用（专项训练）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 以题型分类为框架，构建从概念理解到综合应用的递进式训练体系，突出运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|5题|以辨析题考查均值不等式成立条件与几何意义|从基本概念出发，夯实定理理解基础| |直接应用|5题|高频基础题，直接套用公式求最值|承接概念理解，强化公式正向应用| |技巧应用|配凑法5题、“1”的代换6题等|重点题型，通过变形转化为可用均值不等式形式|深化公式灵活应用，培养转化推理能力| |综合应用|证明4题、实际问题5题、恒成立5题|难点题型，结合实际情境与参数问题|提升知识迁移与应用意识，对接高考综合考法|

专题02 均值不等式及应用 常考题型·精准突破 ◆题型01 对均值不等式的理解 1． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 2． 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 3． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 4． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 5． 【答案】AC 【分析】通过变形比较判断A、C；通过特值判断B、D. 【详解】对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立； 对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立. 故选：AC. ◆题型02 直接利用均值不等式求最值 1． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 2． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 3． 【答案】C 【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 4． 【答案】C 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 5． 【答案】A 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】因为，当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为． ◆题型03 配凑法求最值 1． 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 2． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 3． 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 4． 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 5． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. ◆题型04 二次与二次(或一次)的商式的最值 1． 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2． 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 3． 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 4． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 5． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 6． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． ◆题型05 “1”的代换求最值 1． 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 2． 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 3． 【答案】B 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 4． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 5． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 6． 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. ◆题型06 消元法求最值 1． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 2． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 3． 【答案】B 【分析】结合题意得到，再两次利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，时取等，此时解得， 则的最小值为，故B正确. 故选：B 4． 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. ◆题型07 条件等式求最值 1． 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 2． 【答案】C 【分析】根据基本不等式计算可判断①、②、③；取特值举出反例可判断④. 【详解】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 3． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 4． 【答案】ABD 【分析】利用已知条件，结合基本不等式，通过配凑变形、平方转化、消元后1的代换技巧逐一计算每个选项的最值，判断对错. 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于B：， 由A知的最大值为， 因此的最小值为， 当且仅当时等号成立， 即最小值为，故B正确； 对于C：设，平方得： ， 因为，因此，即， 但等号成立条件为，结合解得， 不满足是正实数，等号取不到，因此不存在最大值，故C错误； 对于D：将代入，可得， 因， 故， 当且仅当，即时等号成立，此时有最小值为，故D正确. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，核心是掌握基本不等式及其推论，常用配凑变形、平方转化、1的代换技巧，使用时必须验证等号成立条件是否满足给定范围. 5． 【答案】 【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 6． 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. ◆题型08 利用均值不等式证明不等式 1． 【答案】ACD 【分析】化简，取即可验证A，取特殊值，代入得到即可验证B，利用作差法即可证明C、D. 【详解】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 2． 【答案】 证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】略 3． 【答案】证明见解析 【分析】利用已知条件将和用表示，结合基本不等式建立关于的不等式，求解得出的范围，即可证明. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 整理得，所以. 4． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. ◆题型09 利用均值不等式解决实际问题 1． 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 2． 【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 4． 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 5． 【答案】(1) (2) 方案一：因为， 所以当时，总盈利额的最大值为万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 方案二：由年平均盈利额为： ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元， 此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 综上，两种方案获利都是110万元， 但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理. 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：. （2）略 ◆题型10 均值不等式的恒成立问题（重） 1． 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 2． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 3． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 4． 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 5． 【答案】6 【分析】对已知不等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，由， 可得， 令，则，所以， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为6， 所以要想当时，恒成立， 只需，即的最大值为6． 故答案为：6 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】B 【分析】方法一：将所求因式通分后利用基本不等式计算即可. 方法二：将所求因式配凑后利用基本不等式计算即可. 方法三：根据柯西不等式计算即可. 【详解】方法一： 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为； 方法二 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为. 方法三： 因为，所以由柯西不等式得， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 2． 【答案】D 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图象开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 3． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 4． 【答案】BCD 【分析】A选项，对变形后用基本不等式判断等号能否取到；B选项，化简两个括号内的表达式，再整理乘积，判断结果和0的大小关系；C选项，通分整理原式判断符号即可；D选项，用基本不等式建立关于的不等式，再求解范围. 【详解】选项A：当时，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故A错误. 选项B：，不等式恒成立，故B正确. 选项C：对任意，变形得：， 故不等式恒成立，故C正确. 选项D：，由基本不等式，代入得： （当且仅当时取等号），令，得， 解得（负根舍去），因此，故D正确. 5． 【答案】2 【详解】因为正数x，y满足，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. 6． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 7． 【答案】 【分析】使用配凑法配凑出分母的和，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 8． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 均值不等式及应用 常考题型·精准突破 题型01 对均值不等式的理解 题型02 直接利用均值不等式求最值（高频） 题型03 配凑法求最值（重） 题型04 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型05 “1”的代换求最值（难） 题型06 消元法求最值 题型07 条件等式求最值（重） 题型08 利用均值不等式证明不等式 题型09 利用均值不等式解决实际问题 题型10 均值不等式的恒成立问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 物质的分类 ◆题型01 对均值不等式的理解 1．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 2．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 3．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 4．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 5．（多选）（25-26高一上新疆喀什·期末）设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过变形比较判断A、C；通过特值判断B、D. 【详解】对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立； 对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立. 故选：AC. ◆题型02 直接利用均值不等式求最值 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 3．（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 5．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】因为，当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为． ◆题型03 配凑法求最值 1．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 3．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 4．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. ◆题型04 二次与二次(或一次)的商式的最值 1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 4．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 5．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 6．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． ◆题型05 “1”的代换求最值 1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 3．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 4．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 6．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. ◆题型06 消元法求最值 1．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 3．（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】结合题意得到，再两次利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，时取等，此时解得， 则的最小值为，故B正确. 故选：B 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. ◆题型07 条件等式求最值 1．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据基本不等式计算可判断①、②、③；取特值举出反例可判断④. 【详解】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 3．（多选）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 4．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为5 【答案】ABD 【分析】利用已知条件，结合基本不等式，通过配凑变形、平方转化、消元后1的代换技巧逐一计算每个选项的最值，判断对错. 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于B：， 由A知的最大值为， 因此的最小值为， 当且仅当时等号成立， 即最小值为，故B正确； 对于C：设，平方得： ， 因为，因此，即， 但等号成立条件为，结合解得， 不满足是正实数，等号取不到，因此不存在最大值，故C错误； 对于D：将代入，可得， 因， 故， 当且仅当，即时等号成立，此时有最小值为，故D正确. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，核心是掌握基本不等式及其推论，常用配凑变形、平方转化、1的代换技巧，使用时必须验证等号成立条件是否满足给定范围. 5．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. ◆题型08 利用均值不等式证明不等式 1．（多选）（25-26高一上·湖北·期末）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 【答案】ACD 【分析】化简，取即可验证A，取特殊值，代入得到即可验证B，利用作差法即可证明C、D. 【详解】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 2．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【答案】 证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】略 3．已知实数满足，若，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用已知条件将和用表示，结合基本不等式建立关于的不等式，求解得出的范围，即可证明. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 整理得，所以. 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. ◆题型09 利用均值不等式解决实际问题 1．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 3．（25-26高一上·广东广州·期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 4．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 5．（25-26高一上·广西贵港·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式； (2)结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】(1) (2) 方案一：因为， 所以当时，总盈利额的最大值为万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 方案二：由年平均盈利额为： ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元， 此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元， 综上，两种方案获利都是110万元， 但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理. 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：. （2）略 ◆题型10 均值不等式的恒成立问题（重） 1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为 ， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解. 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． 【答案】6 【分析】对已知不等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，由， 可得， 令，则，所以， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为6， 所以要想当时，恒成立， 只需，即的最大值为6． 故答案为：6 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：将所求因式通分后利用基本不等式计算即可. 方法二：将所求因式配凑后利用基本不等式计算即可. 方法三：根据柯西不等式计算即可. 【详解】方法一： 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为； 方法二 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为. 方法三： 因为，所以由柯西不等式得， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图象开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 4．（多选）（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项，对变形后用基本不等式判断等号能否取到；B选项，化简两个括号内的表达式，再整理乘积，判断结果和0的大小关系；C选项，通分整理原式判断符号即可；D选项，用基本不等式建立关于的不等式，再求解范围. 【详解】选项A：当时，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故A错误. 选项B：，不等式恒成立，故B正确. 选项C：对任意，变形得：， 故不等式恒成立，故C正确. 选项D：，由基本不等式，代入得： （当且仅当时取等号），令，得， 解得（负根舍去），因此，故D正确. 5．已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 【答案】2 【详解】因为正数x，y满足，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 7．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知的最小值为______． 【答案】 【分析】使用配凑法配凑出分母的和，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 8．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 均值不等式及应用 常考题型·精准突破 题型01 对均值不等式的理解 题型02 直接利用均值不等式求最值（高频） 题型03 配凑法求最值（重） 题型04 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型05 “1”的代换求最值（难） 题型06 消元法求最值 题型07 条件等式求最值（重） 题型08 利用均值不等式证明不等式 题型09 利用均值不等式解决实际问题 题型10 均值不等式的恒成立问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 物质的分类 ◆题型01 对均值不等式的理解 1．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 3．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上新疆喀什·期末）设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． ◆题型02 直接利用均值不等式求最值 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 5．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．8 B． C．4 D． ◆题型03 配凑法求最值 1．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． ◆题型04 二次与二次(或一次)的商式的最值 1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 3．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 6．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． ◆题型05 “1”的代换求最值 1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 4．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 ◆题型06 消元法求最值 1．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. ◆题型07 条件等式求最值 1．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（多选）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为5 5．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. ◆题型08 利用均值不等式证明不等式 1．（多选）（25-26高一上·湖北·期末）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 2．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 3．已知实数满足，若，求证：. 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： ◆题型09 利用均值不等式解决实际问题 1．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    3．（25-26高一上·广东广州·期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 4．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 5．（25-26高一上·广西贵港·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式； (2)结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由. ◆题型10 均值不等式的恒成立问题（重） 1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 5．已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 7．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知的最小值为______． 8．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $