2.2.4 均值不等式及其应用（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦均值不等式及其应用，以“菜园情境”（周长固定求面积最大、面积固定求周长最短）导入，衔接算术与几何平均数定义，通过推导与证明构建知识脉络，形成从实际问题到数学抽象的学习支架。 其亮点在于情境化设计与几何直观结合，如用矩形、半圆模型阐释均值不等式几何意义，通过互动探究培养数学抽象与逻辑推理能力。结构化小结明确“一正二定三相等”应用条件，学生可提升问题解决能力，教师能直接利用实例与练习优化教学流程。

第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 2.2不等式 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 ①掌握均值不等式的内容，理解均值不等式的推导过程，提升数学抽象能力（重点）。 ②会用均值不等式求解两个正变量和为定值、积为定值的最值问题，强化逻辑推理能力（重点）。 ③能够运用均值不等式解决简单实际问题，提升数学运算能力，理解实际应用是本节难点（难点）。 经历均值不等式的推导、猜想、证明过程，体会从特殊到一般的研究方法；通过例题练习，掌握 “一正、二定、三相等” 的使用条件，提高利用不等式分析、解决问题的能力。 同学们，生活中经常遇到周长固定，怎样围矩形，面积最大；面积固定，怎样围矩形用料最省的问题。 菜园情境 例如：用一段长为40m的篱笆围成一个矩形菜园，怎么设计长和宽，菜园面积最大？如果菜园面积固定为100，怎么设计长和宽，才能让篱笆总长度最短？ 我们可以设长、宽为变量，列出关系式，这背后就藏着本节课要学习的均值不等式，今天我们就来揭开这个最值问题背后的数学规律。 目标一：算术平均数与几何平均数的定义 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题. 给定两个正数 a, b, 称为 a, b 的算术平均值; 实质: 两个数的算术平均值, 实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标. 数 称为 a, b 的几何平均值. 注: a, b, c的算术平均数为, 几何平均数为 5 目标二：均值不等式 比较边长 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小; 矩形周长：C=2(a+b); 与矩形周长相等的正方形的边长： 矩形面积：S=ab; 与矩形面积相等的正方形的边长： (2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义. 7 观察与猜想 知识讲解 互动探究 新课引入 结论： 算术平均值等于几何平均值或算术平均值大于几何平均值. 8 均值不等式 知识讲解 互动探究 新课引入 结论： 算术平均值等于几何平均值或算术平均值大于几何平均值. 如果a, b都是正数，那么 , 当且仅当a=b时，等号成立． 均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a, b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值 9 均值不等式证明 知识讲解 互动探究 新课引入 因为a，b都是正数，所以 ≥0, 即 . 而且，等号成立时，当且仅当，即a=b. 值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如一定是正确的. 10 已知 ab>0，求证：≥2，并推导出等号成立的条件. 对点体验 因为 ，所以 ，. 根据均值不等式，得 即 .当且仅当 ，即 时，等号成立.因为 ，所以等号成立的条件是 . 已知 a,b∈R, 且 ab>0, 则下列结论恒成立的是（） A. >2ab B. a+b≥2C. >D. ≥2 对点体验 解析 ▶ 对于A, 当 时, , 所以A错误; 对于B,C, , 只能说明 同号, 当 都小于0时,B,C错误; 对于D, 因为 , 所以 , 所以 （当且仅当 时, 等号成立）, 即 成立.  已知a，b是实数，求证≥2ab . 并说明等号成立的条件. 对点体验 因为 所以，即 等号成立时，当且仅当，即 . 结论也是经常要用的. 不难看出，均值不等式与此题的结论既有联系，又有区别. 区别在于此题中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成此结论的一种特殊情况.这个结论叫【重要不等式】 已知a, b∈R，求证: (1≥4ab; 对点体验 因为，两边同时加上，得 即 这道证明题用到了重要不等式。 已知a, b∈R，求证: ( 对点体验 因为，两边同时加上，得 即 这道证明题仍用到了重要不等式。 目标三：均值不等式的几何意义 矩形中的几何意义 知识讲解 互动探究 新课引入 将均值不等式两边平方可得 ≥ab. 如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积， 因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 17 其他平面图形中的几何意义 知识讲解 互动探究 新课引入 想一想：你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？ 周长相等的三角形中，正三角形的面积最大.. 平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大 18 半圆中的几何意义 知识讲解 互动探究 新课引入 如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心. 已知AC=a，BC=b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个几何意义. 在△ABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得 CD= 又OD，由图可知OD≥CD，所以. 变形为 19 目标四：应用均值不等式求最值 矩形周长与面积的最大 知识讲解 互动探究 新课引入 示例：(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值. (1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100. 因为x>0, y>0，所以 , 所以≥40. 当且仅当x=y时，等号成立，由可知此时x=y=10. 因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40. 21 矩形周长与面积的最大 知识讲解 互动探究 新课引入 示例：(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值. (2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x+y)=36，即x+y=18. 因为x>0，y>0，所以 因此，即xy≤81. 当且仅当x=y时，等号成立，由可知此时x=y=9. 因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81 . 22 结论 知识讲解 互动探究 新课引入 当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 根据示例中的答案，你可以得到什么结论？ 23 若x<0, 则函数y=x+ （ ） A. 有最大值-4 B. 有最小值-4 C. 有最大值2 D. 有最小值4 对点体验 解析 ▶ 因为,所以,所以 , 当且仅 当即时取等号, 即函 数有最大值. 答案 ▶ A 已知x∈(-1,3)，求y=(1+x)(3-x)的最大值，以及y取得最大值时x的值. 对点体验 当时，，因此， 由均值不等式可得 从而，即， 当且仅当，即时，等号成立. 从而当时，取得最大值4. 知识剖析 利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.具体理解如下. (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案.例如，函数 y=x+，当 x<0 时，绝不能认为 x+≥2，并由此得出错误结论：x+ 的最小值为 2. 事实上，当 x<0 时，x+=-[(-x)+(-)]≤-2，当且仅当 x=-1 时，取得最大值 -2.（将负数转化为正数，即可使用均值不等式） (2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求 a+b 的最小值，ab 必须是定值；求 ab 的最大值，a+b 必须是定值. 例如，已知 0<x<，求 (5-3x)x 的最大值，需变形为 (5-3x)⋅3x⋅，这时 3x+(5-3x)=5，为定值，且 3x>0,5-3x>0. (3)“三相等”,即必须具备不等式中等号成立的条件,才能求得最大值或最小值. 目标五：针对训练 举一反三 1.已知a,b∈R，则“a>0, b>0”是“a+b≥2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当且时，由基本不等式可得：，当且仅当时， 取等号，当时，，即恒成立，则， 又因为，则且， 所以，则“且”是“”的充分不必要条件，故选：A 举一反三 2.已知，则() A. B. C. D. 解析：对于 C，因为，所以，当且仅当时等号成立， 故 C 正确； 对于 A ，若，则，故 A 错误； 对于 B，若，则，故 B 错误； 对于 D，由题干无法判断，故 D 错误. 举一反三 3.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为() A. B. C. D. 解析: , 而 （ 重合时取等号）, 因此有 . 故选：D. 举一反三 4.已知，则的最小值为( ) 解析：因为 ，所以 ， 即 ，解得 或 （舍去），所以 ，当且仅当 ， 即 时，等号成立，所以 的最小值为 4.故选：D   举一反三 5.已知 ，则“”是“”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由题可知 , 若 ，则 ，当且仅当“”时取“”, 则 ； 若取 ，满足 ，但 , 故“”是“”必要不充分条件.   目标六：小结 学海拾贝 1.均值不等式：若a>0,b>0，则，当且仅当a=b时取等号。 叫作正数a,b的算术平均数；叫作正数a,b的几何平均数。 文字表述：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 2.均值不等式求最值三要素：一正、二定、三相等 一正：变量a,b必须都是正数； 二定：和为定值，求积最大值；积为定值，求和最小值； 三相等：必须能取到a=b，等号成立，最值才有意义。 学海拾贝 3. 两个重要结论 ①两个正数积为定值，则和有最小值； ②两个正数和为定值，则积有最大值。 4. 实际应用解题步骤：设变量→列关系式→利用均值不等式求最值→检验条件→回归实际问题作答。 学海拾贝 5.思想方法小结 本节课用到从特殊到一般的探究思想；等价转化思想；建模思想，把生活实际问题转化为不等式数学模型求解。 6.易错点警示 1. 忽略变量正数的前提，直接套用公式； 2. 没有 “和定” 或 “积定” 强行求最值； 3. 忽略检验等号能否成立，错误得到最值。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $