2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第2课时 不等式的证明方法(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学不等式证明同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念应用到综合推理证明，适配新授课知识巩固与数学思维、创新意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式性质、证明方法（分析法、反证法）|选择填空为主，直接考查概念辨析（如反证法假设、分析法步骤）| |进阶层|综合条件判断、简单证明|解答题结合具体情境，强化逻辑推理（如比较大小、充要条件判断）| |提升层|多变量证明、存在性探究|多选题与复杂证明题，培养创新意识（如多变量不等式证明、存在性命题）|

第2课时　不等式的证明方法 1.B　[解析] 因为a+b+c=0且a>b>c,所以a-b>0,c<0,所以ac-bc=(a-b)c<0,即ac<bc,故A不正确;因为b-c>0,a>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,即ab>ac,故B正确;|b|有可能为0,故C不正确;取a=2,b=1,c=-3,显然a>b>c且a+b+c=0,但a2>b2且b2<c2,故D不正确.故选B. 2.A　[解析] 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以3c<a+b+c<3a,即a>0,c<0.要证<a,只需证b2-ac<3a2,只需证(a+c)2-ac<3a2,只需证2a2-ac-c2>0,只需证(a-c)(2a+c)>0,只需证(a-c)[a+c+(-b-c)]>0,即证(a-c)(a-b)>0,显然成立.故选A. 3.A　[解析] a=0且b=0表示“a,b都为0”,其否定是“a,b不都为0”.故选A. 4.D　[解析] 由a2=2a+c-b-1,可得(a-1)2=c-b≥0(当且仅当a=1时取等号),所以c≥b,由a+b2+1=0,可得a=-b2-1,所以a≠1,所以c>b.因为b-a=b2+b+1=+>0,所以b>a.综上可得,c>b>a.故选D. 5.C　[解析] 由已知得P-Q=+--1==,∵a1,a2∈(1,+∞),∴1-a1<0,a2-1>0,a1a2>0,∴P-Q<0,即P<Q.故选C. 6.A　[解析] 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0, >0, <,所以+>0,所以++>0,即++的值为正数.故选A. 7.ABD　[解析] 若x2<y,则x≤|x|<,∴x<,∴A,B中不等式都是x<的充分条件;若x=y=2,则-x<,但x>,故C中不等式不是x<的充分条件;若x<0,则x<0≤,∴x<,故D中不等式是x<的充分条件.故选ABD. 8.a>b　[解析] ∵2>2,∴8+2>8+2,即()2+2+()2>()2+2+()2,∴(+)2>(+)2,∴+>+,故a>b. 9.x2+2>3x　[解析] (x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因为x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以x2+2>3x. 10.证明:x2+2y2-(2xy+2y-1)=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2,∵(x-y)2≥0,(y-1)2≥0,∴(x-y)2+(y-1)2≥0(当且仅当x=y=1时等号成立),即x2+2y2≥2xy+2y-1. 11.C　[解析] 由<,得-=<0,所以x<y,则充分性成立;由x<y,得x-y<0,则-=<0,所以<,则必要性成立.综上可知,“<”是“x<y”的充要条件.故选C. 12.AD　[解析] 对于A,当a=2,b=-1时,|a-2|+(b+1)2=0,故A为真命题.对于B,当a=0时,ax>2不成立,故B为假命题.对于C,当ab≠0时,a2+b2≠0成立;当a2+b2≠0时,若a=1,b=0,则ab=0,故ab≠0不成立,所以“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件,故C为假命题.对于D,当a≥b>0时,a+ab≥b+ab,即a(1+b)≥b(1+a),因为1+b>0,1+a>0,所以≥,故D为真命题.故选AD. [技巧点拨] 对于与全称量词或存在量词和充分必要条件结合的不等式,要注意是全称量词命题还是存在量词命题,若是有全称量词的不等式,则需要证明,若是有存在量词的不等式,则只需要举出特例即可. 13.a≥0,b≥0且a≠b　[解析] a+b>a+b⇔a-a>b-b⇔a(-)> b(-)⇔(a-b)(-)>0⇔(+)(-)2>0,故a≥0,b≥0且a≠b. 14.证明:(1)由(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2)=(a+b)(a-b)2≥0,当且仅当a=b时取等号,所以a3+b3≥a2b+ab2. (2)假设∴∴3m+3n≤m+n+6, ∴m+n≤3,与m+n>3矛盾,∴假设不成立, ∴与至少有一个大于. 15.证明:(1)方法一:∵0<x<1,0<y<1,∴0<xy<1,0<1-y<1, ∴0<x(1-y)<1-y, 0<1-xy<1,∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1. 方法二:∵0<x<1,0<y<1,∴0<xy<1,0<1-x<1,0<1-y<1,∴0<x(1-y)<1-y,0<y(1-x)<y, ∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1. 方法三:∵x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1, ∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y), ∵0<x<1,0<y<1,∴0<xy<1,0<1-x<1,0<1-y<1,∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y)<1, 即x(1-y)+y(1-x)<1. (2)方法一:∵x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)+xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=1,∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z). ∵0<x<1,0<y<1,0<z<1,∴0<xyz<1,0<1-x<1,0<1-y<1,0<1-z<1,∴0<(1-x)(1-y)(1-z)<1, ∴1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)<1, ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 方法二:∵0<x<1,0<y<1,0<z<1, ∴0<1-x<1,0<1-y<1,0<1-z<1,∵x(1-y)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y),y(1-z)=y(1-z)(1-x)+yx(1-z), z(1-x)=z(1-x)(1-y)+zy(1-x), ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y)+yx(1-z) +y(1-z)(1-x)+z(1-x)(1-y)+zy(1-x)=x[(1-y)(1-z)+z(1-y)+y(1-z)] +(1-x)[y(1-z)+z(1-y)+zy]=x[1-y+y(1-z)]+(1-x)[y+z(1-y)] <x[1-y+y]+(1-x)[y+(1-y)] =x+1-x=1, ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　不等式的证明方法 1.已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.ac>bc B.ab>ac C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2 2.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a”,索的因应是下列式子中的 (　 ) A.(a-b)(a-c)>0 B.(a-b)(a-c)<0 C.(b-a)(b-c)>0 D.(b-a)(b-c)<0 3.利用反证法证明:若+b2=0,则a=0且b=0,应假设 (　 ) A.a,b不都为0 B.a,b都不为0 C.a,b不都为0,且a≠b D.a,b至少有一个为0 4.实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系式成立的是 (　 ) A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 5.已知a1,a2∈(1,+∞),若P=+,Q=+1,则P与Q的大小关系为 (　 ) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.不确定 6.已知a>b>c,则++的值 (　 ) A.为正数 B.为非正数 C.为非负数 D.不确定 7.(多选题)要证明x<,只需证明不等式M,不等式M可能是 (　 ) A.x2<y B.|x|< C.-x< D.x<0 8.设a=+,b=+,则a,b的大小关系为　　　　.(用“>”连接)  9.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为　　　　　　.(用“>”连接)  10.(13分)已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1. 11.[2026·甘肃金昌高一期中] 已知x,y为正实数,则“<”是“x<y”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ★12.(多选题)下列命题为真命题的是 (　 ) A.∃a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0 B.∀a∈R,∃x∈R,使得ax>2 C.“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充要条件 D.若a≥b>0,则≥ 13.若a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是　　　　　　　　.  14.(15分)(1)已知a,b均为正数,证明:a3+b3≥a2b+ab2. (2)已知m>0,n>0,且m+n>3,证明:与至少有一个大于. 15.(15分)(1)已知0<x<1,0<y<1,求证:x(1-y)+y(1-x)<1. (2)已知0<x<1,0<y<1,0<z<1,求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 学科网（北京）股份有限公司 $