2.1 等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，分层设计从基础应用到综合探究，通过选择、填空、解答题梯度进阶，适配新授课知识巩固与思维发展需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根与系数关系直接应用（求根、两根和差）|选择填空为主，如第2题已知一根求另一根，第3题计算两根倒数和，强化公式记忆| |提升层|综合应用（条件判断、参数范围、实际问题）|解答题与多选题，如第8题结合等腰三角形性质求参数，第16题含参数方程根的综合探究，培养逻辑推理与数学表达能力|

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.[2026·上海青浦区高一期中] “x2+4x-5=0”是“x=1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是 (　 ) A.-3 B.-2 C.3 D.6 3.若关于x的方程x2-6x+2=0的两根分别是x1,x2,则+= (　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.[2026·吉林长春高一月考] “-1<a<1”是“关于x的方程x2+(a+1)x+a-1=0的两个实数根异号”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[2025·浙江嘉兴高一期中] 设m>0,若mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2的取值范围是 (　 ) A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 6.[2025·贵州遵义高一期中] 若x1,x2是一元二次方程x2+x+a=0的两个实数根,且+=3,则a的值为 (　 ) A.-1 B.3 C.2 D.1 7.[2026·辽宁沈阳高一期中] 已知x2+x-3=0,则x3-4x+2= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 8.(多选题)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,3,且a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,则m的值可能为 (　 ) A.15 B.16 C.17 D.18 9.若关于x的二次三项式x2-kx-3因式分解为(x-1)(x+b),则k+b的值为　　　　.  10.(13分)若x1,x2是方程x2+2x-2023=0的两个根,试求下列各式的值: (1)+;(2)+; (3)(x1-5)(x2-5);(4)|x1-x2|. 11.设实数m,n分别满足19m2+20m+1=0,n2+20n+19=0且mn≠1,则= (　 ) A. B.- C. D.- 12.若关于x的方程x2-(a+1)x+a=0的两个不等实根都在(0,2)内,则实数a的取值范围为　　　　　　.  13.已知p,q∈R,x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两个实根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两个实根,则pq=　　　　.  14.(15分)已知m∈R,一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为x1和x2(x1<x2),且满足 (1)直接写出该一元二次方程; (2)若(3x1-x2)(3x2-x1)≥-1,求m的取值范围. 15.[2025·辽宁大连高一期中] “实数k=-”是“集合A=中恰有一个元素”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.(17分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根. (1)若|x1-x2|=,求实数k的值. (2)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. (3)若+-2∈Z,求整数k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.B　[解析] 由x2+4x-5=0,得x=1或x=-5,不能推出x=1,充分性不成立;若x=1,则x2+4x-5=0,必要性成立.综上,“x2+4x-5=0”是“x=1”的必要不充分条件.故选B. 2.A　[解析] 由关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,设方程的另一个根为t,可得2+t=-1,解得t=-3.故选A. 3.C　[解析] 因为x1,x2是方程x2-6x+2=0的两根,所以x1+x2=6,x1x2=2,所以+====8.故选C. 4.A　[解析] 由关于x的方程x2+(a+1)x+a-1=0的两个实数根异号,可得解得a<1,又{a|-1<a<1}⫋{a|a<1},所以“-1<a<1”是“关于x的方程x2+(a+1)x+a-1=0的两个实数根异号”的充分不必要条件.故选A. 5.C　[解析] ∵关于x的方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根,∴解得0<m<2,则x1+x2=∈(2,+∞).故选C. 6.A　[解析] 因为x1,x2是一元二次方程x2+x+a=0的两个实数根,所以Δ=1-4a≥0,解得a≤,由根与系数的关系得x1+x2=-1,x1·x2=a,因为+=(x1+x2)2-2x1·x2=3,所以1-2a=3,解得a=-1.故选A. 7.A　[解析] 由x2+x-3=0,得x2=3-x,则x3=x·x2=x(3-x)=-x2+3x=-(3-x)+3x=4x-3,所以x3-4x+2=4x-3-4x+2=-1.故选A. 8.BC　[解析] 若3为等腰三角形的底边长,则a=b,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,解得a=b=4,此时三角形的三边长分别为3,4,4,这样的三角形存在,所以ab=m-1=16,解得m=17.若3为等腰三角形的腰长,则a,b中有一个为3,不妨设a=3,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,所以b=8-3=5,此时三角形的三边长分别为3,3,5,这样的三角形存在,所以ab=m-1=15,解得m=16.综上,m=17或m=16.故选BC. 9.1　[解析] 因为x2-kx-3=(x-1)(x+b)=x2+(b-1)x-b,所以b-1=-k,b=3,所以k=-2,所以k+b=-2+3=1. 10.解:由题意得x1+x2=-2,x1x2=-2023. (1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-2023)=4050. (2)+===. (3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2023-5×(-2)+25=-1988. (4)|x1-x2|====4. 11.B　[解析] 易知n≠0,由n2+20n+19=0,得19+20·+1=0,因为19m2+20m+1=0,mn≠1,所以m,是方程19x2+20x+1=0的两个根,所以m+=-,=,所以=2m++=2+3×=2×+=-.故选B. 12.(0,1)∪(1,2)　[解析] 由x2-(a+1)x+a=0可得(x-1)(x-a)=0,解得x=1或x=a,由题意得故a的取值范围为(0,1)∪(1,2). 13.3　[解析] 因为p,q∈R,x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两个实根,所以由根与系数的关系得x1+x2=-p,x1x2=q,因为x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两个实根,所以x1+1+x2+1=-q,(x1+1)(x2+1)=p,即x1+x2=-q-2,x1+x2+x1x2=p-1,所以解得经验证可得 所以所以pq=3. 14.解:(1)因为所以(x1+x2)2=++2x1x2=2m2-4+2x1x2=m2,所以x1x2=2-, 所以这个一元二次方程为(x-x1)(x-x2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0,即x2-mx+2-=0. (2)由(3x1-x2)(3x2-x1)=10x1x2-3(+)=10-3(2m2-4)=32-11m2≥-1,可得m2≤3, 由+=2m2-4>0,可得m2>2,则2<m2≤3, 对于方程x2-mx+2-=0,Δ=m2-4=3m2-8>0,可得m2>,所以<m2≤3,解得-≤m<-或<m≤,因此实数m的取值范围是. 15.A　[解析] 方程=等价于x2+x-k=0且x≠0,x≠2.对于方程x2+x-k=0,当Δ=1+4k=0,即k=-时,解得x=-,符合题意;当Δ=1+4k>0,即k>-时,若其中一个根为x=0,由根与系数的关系可知另一根为x=-1,有k=0,符合方程=只有一个实数根;若其中一个根为x=2,由根与系数的关系可知另一根为x=-3,有k=6,符合方程=只有一个实数根.所以“实数k=-”是“集合A=中恰有一个元素”的充分不必要条件.故选A. 16.解:(1)因为x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,所以解得k<0,则x1x2=,x1+x2=-=1.因为|x1-x2|=,所以(x1-x2)2=,即(x1+x2)2-4x1x2=,即1-4×=,即=,解得k=-16. (2)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,假设存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立,则(2x1-x2)(x1-2x2)=2(x1+x2)2-9x1x2=2-=-成立,解得k=,因为k<0,所以不存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立. (3)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,则+-2=-2=-4=-4=-,因为+-2∈Z,所以-∈Z,又k为整数,所以k+1=±1,±2,±4,又k<0,所以k=-2或-3或-5. 学科网（北京）股份有限公司 $