2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册（北京专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程解集及根与系数关系，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判别式判定解集、根与系数公式直接应用|教材梳理填空+单选题前5题，强化符号意识与运算能力| |技能应用|根的性质（平方和、条件求参数）、因式分解|单选题6-10题+填空题，培养推理能力与模型意识| |综合拓展|含参数方程根的综合问题、充要条件判断|解答题+单选题12题，发展创新意识与应用意识|

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.通过判别式A判定一元二次方 ax2+bx+c=0a≠0解的情况： (1)当△=b2-4ac>0时，方程的解集为 (2)当△=b-4ac=0时，方程的解集为 (3)当△=b2-4ac<0时，方程的解集为 2.根与系数关系的两个公式分别是 同步练 一、单选题 1.（25-26高一上北京阶段检测)方程X-4X-12=0的解集是（） A.{-2,2,-6,6B.{-2,2 c.{-6,6 D.☑ 2.(25-26高一上·北京海淀·阶段检测)已知Q,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不 相等的实数根，则a+阝+c3的值为() A.-1 B.2 C.3 D.7 3。（24-25高一上北京：阶段检测)若关于x的方程X+2k+1x+kK-2=0的两个实数根 的平方和等于11，则k等于() A.k=-3或k=1B.k=-3 C.k=1 D.k=3 4.(25-26高一上·北京西城期末)已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为X和x2, 则1-1=() X1 X2 A.V5 B.V3 C.5 D.3 5（25-25商-上北京m段检》如果方精a父+bx-2-0的为-2，引 则实数 a,b的值分别是() A.-4,-9 B.-8,-10 C.-1,9 D.-1,2 试卷第1页，共3页 6.(25-26高一上·北京·期中)若关于x的方程x-6x+2=0的两根分别是X1,X2,则 1+1=（) A.6 B.7 C.8 D.9 7.(25-26高一上·北京·期中)已知X1,X2是关于x的一元二次方程x+2ax+a+a=0的两 个实数根，则x+x-12则g的值是（） A.a=3 B.a=-2 C.a=3或a=-2 D.a=-3或a=2 8.(25-26高一上·北京海淀阶段检测)如果一元二次方程2x+px+q=0的解集为-1,2， 那么二次三项式2X+px+q 分解为() A.x+1x-2B.2x+1x-2C.x-1x+2D.2x+1川x-2 9.(25,26商-上：北京大兴期中)已知关丁x的一元=次方程心-0m+2+骨-0有两 1+1 个不相等的实数根x,若文十元 =4,则m的值是() A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 10.（2025高一北京课后作业)若x+x,=3'X+X=5则以x,'x,为根的一元二次方 程是() A.x2-3x+2=0B.x2+3x-2=0C.x2+3x+2=0D.x2-3X-2=0 11.(2026高一全国·课后作业)若多项式x2+x-24可以因式分解为x-3川x+8,则 实数k的值为() A.5 B.-5 C.11 D.-11 12.(25-26高一上·北京·阶段检测)“-1<a<1”是“关于X的二次方程 x2+(a+1)x+a-1=0的两个实数根异号”的() 试卷第2页，共3页 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 13.(25-26高二下·北京延庆期末)已知方程x2+2x-1=0的两根分别为X1,x2,则 2+= X1-X2= X1 X2 14.(25-26高一上·北京·期中)已知X1,X2是方程x2-ax+1=0的两实根，且 x1-x2=5则实数a= 15.(25-26高一上·北京房山期中)若x1,X2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，则 戈·七的值为 x+x的值为 16.(25-26高一上北京期中)已知关于x的一元二次方程x-2mx+(3m+1)=0的两个 实数根为x'X,'且x+x=16:则实数m的值为 三、解答题 17,(2526高一上北京阶段检测)已知关于×的一元二次方程a+2X2+2ax+1=0 (1)当a=-1时，求方程的解集 (2)若方程有两个实数根，求实数α的取值范围. (3)若x'x,是方程的两个实数根，且x+x+X,X,=3:求实数a的值. 18.(25-26高一上·北京延庆阶段检测)已知关于x的方程x2+mx-m+1=0,m∈R (1)当m=2时，若方程的两实数根为X1与X2,求下列各式的值： 试卷第3页，共3页 +2 ①x+x2:②X1-X2:③ X1 X2 (2)若该方程有两个负实数根，求实数m的取值范围. 试卷第4页，共3页 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．通过判别式判定一元二次方程解的情况： （1）当时，方程的解集为________； （2）当时，方程的解集为________； （3）当时，方程的解集为________． 【答案】 2．根与系数关系的两个公式分别是_______、_______. 【答案】 ； . 同步练 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）方程的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论、分别求出对应的解，即可得. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得， 所以方程的解集为. 故选：C 2．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由于，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 所以，故， 故选：C 3．（24-25高一上·北京·阶段检测）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】设方程的两个实数根为，结合根的判别式和韦达定理求解即可. 【详解】设方程的两个实数根为， 则，即， 且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或. 故选：C. 4．（25-26高一上·北京西城·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【分析】直接利用根与系数的公式，再由求解即可. 【详解】由题意可得，，，由韦达定理可得，，， 所以，所以. 故选：A. 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）如果方程的解为，则实数的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两根代入二次方程，待定系数求解即可 【详解】由题意，方程的解为， 故， 解得. 故选：A 6．（25-26高一上·北京·期中）若关于x的方程的两根分别是，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由韦达定理可得，然后，即可算出答案. 【详解】因为是方程的两根，所以 所以 故选：C 7．（25-26高一上·北京·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合题干条件，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意得且 解得， 又， 解得或（舍）. 故选：B 8．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）如果一元二次方程的解集为，那么二次三项式可分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解集，写出二次三项式因式分解的结果. 【详解】一元二次方程的解集为， ， 可分解为. 故选：D 9．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＝4m，则m的值是（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．不存在 【答案】A 【分析】根据一元二次方程两个不相等的实数根有即可得m的范围，又由＝4m结合根与系数关系求参数m的值，由m范围确定最终值即可 【详解】由题知：且，解得m >－1且m ≠ 0 又由， ∴，解得m＝2或－1 综上，知：m＝2 故选：A 10．（2025高一·北京·课后作业）若，，则以，为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，结合完全平方公式求出，然后利用根与系数的关系可求得结果 【详解】∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为. 故选：A. 11．（2026高一·全国·课后作业）若多项式可以因式分解为，则实数的值为（    ） A．5 B． C．11 D． 【答案】A 【分析】将展开，由此求得实数的值. 【详解】由题意得， .故选:A. 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次方程判别式和韦达定理，列出两根异号的条件，求出参数范围，根据充分与必要条件的概念，判断结果. 【详解】关于的二次方程的两个实数根异号，可得， 由恒成立，解得， 可知， 则“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 13．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 【答案】 【详解】由方程的两根分别为，，得， 所以；. 14．（25-26高一上·北京·期中）已知，是方程的两实根，且，则实数______. 【答案】 【分析】根据求出的取值范围，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为，是方程的两实根，且， 显然，则，解得或， 又，所以，即，解得. 故答案为： 15．（25-26高一上·北京房山·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为___________的值为___________． 【答案】 6 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】由是一元二次方程的两个根，得， 所以. 故答案为：；6 16．（25-26高一上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则实数m的值为______. 【答案】 【分析】先通过韦达定理将根的平方和转化为关于m的方程，求解后结合判别式检验得到结果． 【详解】由韦达定理，得，， ， 由，得，即，解得或， 检验判别式，当时，，舍去；当时，，符合条件． 故答案为： 三、解答题 17．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知关于的一元二次方程 (1)当时，求方程的解集； (2)若方程有两个实数根，求实数a的取值范围． (3)若，是方程的两个实数根，且，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或且 (3)或 【分析】（1）直接利用二次方程求法求解即可； （2）根据列式求解即可； （3）根据题意结合韦达定理运算求解即可. 【详解】（1）当时，方程为，有实数根，所以方程的解集为. （2）因为一元二次方程有两个实数根，所以， 即，解得或， 又，即，所以实数的取值范围为或且. （3）由韦达定理得， 因为，可得，即， 整理可得，解得或， 又或且，所以或. 18．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知关于的方程，. (1)当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. (2)若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】（1）利用韦达定理依次求解各个式子即可； （2）分别讨论两个负实数根相等和不相等的情况，结合二次函数图象可列出不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，的两根为，，， ①； ②； ③. （2）若两个负实数根相等，则，解得：； 若两个负实数根不相等，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $