2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 围绕“等式的性质与方程的解集”，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一概念到综合问题的知识进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-8题）|恒等式判断、因式分解基础运算|以选择填空为主，强化概念理解与基本技能| |提升层（9-13题）|方程解集应用、集合关系分析|融入辨析题与填空题，发展逻辑推理能力| |综合层（14-16题）|十字相乘法综合应用、几何验证等式及恒成立问题|通过解答题培养数学建模与问题解决能力|

2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 1.下列等式中,属于恒等式的是 (　 ) A.x2=0 B.x+y=0 C.=· D.=· 2.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3)(x+1),则 (　 ) A.b=3,c=-1 B.b=-6,c=2 C.b=-6,c=-4 D.b=-4,c=-6 3.将4x2+1分别加上下列各项,其中不能化成(a+b)2的形式的是 (　 ) A.4x B.-4x C.4x4 D.16x 4.已知x2-ax-12=(x+m)(x+n),其中m,n∈Z,则符合条件的整数a的个数为 (　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 5.若=+,则的值为 (　 ) A. B.- C. D.- 6.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.(1,+∞) 7.若关于x的方程=的解集为∅,则m=　　　　.  8.分解因式x2+ax+b时,甲看错a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错b的值,分解的结果是(x-2)(x+1),则正确的因式分解结果为　　　　　　.  9.(13分)(1)已知关于x的方程3a-x=+3的解集为{2},求(-a)2-2a+1的值. (2)求关于x的方程a(x-a)+b(x+b)=0的解集. 10.[2025·上海普陀区高一期末] 下列说法正确的是 (　 ) A.解方程3x(x+2)=5(x+2)时,可以在方程两边同时除以(x+2),得3x=5,解得x= B.解方程(x+2)(x+3)=3×4时,对比方程两边知x+2=3,x+3=4,解得x=1 C.解方程(3y+2)2=4(y-3)2时,只要将两边开平方,方程就变形为3y+2=2(y-3),从而解得y=-8 D.若一元二次方程的常数项为0,则0必为它的一个根 11.(多选题)下列分解因式正确的是 (　 ) A.a2-5a+6=(a-2)(a-3) B.1-4m2+4m=(1-2m)2 C.-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y) D.3ab+a2b2+9= 12.化简:(x+1)3-(x-1)3=　　　　.  13.已知集合A={x|2x2-x-3=0},B={x|ax2-x-3=0},若B⊆A,则实数a的取值范围为　　　　　　.  14.(15分)将下列各式应用十字相乘法进行因式分解. (1)x2-6x-7; (2)6x2-7x-5; (3)-a3-4a2+12a; (4)x2y2-5x2y-6x2; (5)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15. 15.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①),将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图②),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证的等式为 (　 ) ① ② A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 16.(15分)已知等式kx2+y2-2kx+2y-3k=0对任意的实数k恒成立,求所有实数对(x,y)组成的集合. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 1.C　[解析] 对于A,当x=1时,x2≠0,故A错误;对于B,取x=0,y=1,则x+y=1≠0,故B错误;对于C,=·(x≠0,y≠0),故C正确;对于D,取x=y=-1,可得=1,与无意义,故D错误.故选C. 2.D　[解析] ∵2(x-3)(x+1)=2(x2+x-3x-3)=2x2-4x-6,∴b=-4,c=-6.故选D. 3.D　[解析] 对于A,4x2+1+4x=(2x+1)2,故A不符合题意;对于B,4x2+1-4x=(2x-1)2,故B不符合题意;对于C,4x4+4x2+1=(2x2+1)2,故C不符合题意;对于D,4x2+1+16x不能运用完全平方公式分解因式,故D符合题意.故选D. 4.C　[解析] ∵-12=(-1)×12=1×(-12)=(-2)×6=2×(-6)=(-3)×4=3×(-4),∴整数a的值可以为±11,±4,±1,共6个.故选C. 5.A　[解析] ∵+===,∴ 解得∴=.故选A. 6.B　[解析] 当x=0时,不等式|x|≥ax恒成立;当x>0时,不等式|x|≥ax即为x≥ax,解得a≤1;当x<0时,不等式|x|≥ax即为-x≥ax,解得a≥-1.综上,要使对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是[-1,1].故选B. 7.1　[解析] 对方程=变形,可得x-3=-m(x≠2),所以x=3-m(x≠2),因为方程的解集为∅,所以3-m=2,解得m=1. 8.(x-3)(x+2)　[解析] (x+6)(x-1)=x2+5x-6,甲看错a的值,则b=-6.(x-2)(x+1)=x2-x-2,乙看错b的值,则a=-1,∴x2+ax+b=x2-x-6=(x-3)(x+2). 9.解:(1)由题知2是关于x的方程3a-x=+3的解,所以3a-2=1+3,解得a=2,所以(-a)2-2a+1=a2-2a+1=22-2×2+1=1. (2)原方程可以化为(a+b)x=a2-b2,即(a+b)x=(a+b)(a-b).当a+b≠0时,方程的解集为{a-b};当a+b=0时,方程的解集为R. 10.D　[解析] 对于A,在解方程的过程中,两边同时除以(x+2),就产生失根x+2=0即x=-2,所以原方程的根为x=-2或x=,故A错误;对于B,对比方程可知 或可得x=1或x=-6,故B错误;对于C,对方程(3y+2)2=4(y-3)2,两边开平方,可得3y+2=±2(y-3),解得y=-8或y=,故C错误;对于D,若一元二次方程的常数项为0,则方程为ax2+bx=0(a≠0),即x(ax+b)=0(a≠0),解得x=0或x=-,则x=0必为方程的一个根,故D正确.故选D. 11.ACD　[解析] 对于A,根据十字相乘法分解因式可知A正确;对于B,(1-2m)2=1+4m2-4m,故B错误;对于C,根据平方差公式可知C正确;对于D,根据完全平方公式可知D正确.故选ACD. 12.6x2+2　[解析] (x+1)3-(x-1)3=[(x+1)-(x-1)][(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2]=2(3x2+1)=6x2+2. 13.∪{2}　[解析] A={x|2x2-x-3=0}=.当B=∅时,a≠0且Δ=1+12a<0,解得a<-,满足题意.当B≠∅时,①当B中只有一个元素时,若B中的方程为一元二次方程,则可得a=-,此时B={-6},不满足B⊆A;若B中的方程为一元一次方程,则a=0,此时B={-3},不满足B⊆A.②当B中有两个元素时,B=A,易得a=2,满足题意.综上,实数a的取值范围为∪{2}. 14.解:(1)由十字相乘法,得x2-6x-7=(x-7)(x+1). (2)由十字相乘法,得6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5). (3)先提取-a,得-a3-4a2+12a=-a(a2+4a-12),再由十字相乘法,得a2+4a-12=(a+6)(a-2),故-a3-4a2+12a=-a(a+6)(a-2). (4)先提取x2,再由十字相乘法,得x2y2-5x2y-6x2=x2(y2-5y-6)=x2(y-6)(y+1). (5)将x2-4x看作一个整体,应用十字相乘法进行因式分解,而后在每个因式里应用十字相乘法进行因式分解,所以原式=(x2-4x+3)(x2-4x-5)=(x-1)(x-3)(x-5)(x+1). 15.B　[解析] 图①中阴影部分的面积为a2-b2,图②中阴影部分的面积为(a+b)(a-b),因为两个图形中阴影部分的面积相等,所以a2-b2=(a+b)(a-b).故选B. 16.解:由题得k(x2-2x-3)+y2+2y=0对任意的实数k恒成立,所以所以或或或所以所有实数对(x,y)组成的集合为{(3,0),(3,-2),(-1,0),(-1,-2)}. 学科网（北京）股份有限公司 $