1.2 常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦量词命题否定，分层设计从概念理解到综合应用，通过基础巩固、真题提升、综合探究三阶路径，培养数学推理意识与逻辑表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一命题否定（1-5题）|直接考查量词转换与否定形式，如第1题存在量词命题否定| |提升层|结合集合/方程的否定（6-12题）|融入期中真题（如第6题有理数集），多选题强化辨析（第7题）| |综合层|含参数的应用（13-16题）|解答题考查逻辑推理（第14题），开放题型（第16题）提升数学语言表达|

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.C　[解析] 命题“∃x∈(1,+∞),x2-2=0”的否定为“∀x∈(1,+∞),x2-2≠0”.故选C. 2.C　[解析] 命题“∃x>0,x+≥3”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“∃x>0,x+≥3”的否定是“∀x>0,x+<3”.故选C. [易错点] 在命题的否定中要先考虑原命题中自变量的范围. 3.B　[解析] 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p:所有学生都会做第1题的否定是“至少存在一个学生不会做第1题”.故选B. 4.A　[解析] 有的三角形为正三角形的否定是所有的三角形都不是正三角形,故A中说法错误;有些矩形是正方形的否定是所有矩形都不是正方形,故B中说法正确;对任意x∈R,都有x3-x2+1≤0的否定是存在x∈R,使得x3-x2+1>0,故C中说法正确;∃x∈R,x2+x+2≤0的否定是∀x∈R,x2+x+2>0,故D中说法正确.故选A. 5.C　[解析] 对于A,自然数都是整数,所以命题“∀n∈N,n∈Z”是真命题,故A错误;对于B,命题“∀n∈N,n∈Z”的否定是“∃n∈N,n∉Z”, 故B错误;对于C,当x=0时,x-1=-1<0,所以“∃x∈R,x-1<0”是真命题,故C正确;对于D,命题“∃x∈R,x-1<0”的否定是“∀x∈R,x-1≥0”,故D错误.故选C. 6.C　[解析] 由4∈Q,=2∉∁RQ,得命题p为假命题.命题p的否定为􀱑p:∃x∈Q,∉∁RQ.故选C. 7.BD　[解析] 因为A={x|x>3},B={x|x<-1或x>2},所以A⊆B.对于A,原命题的否定为“∃x∈B,x∉A”,当x=-2时,满足x∈B,x∉A,即原命题的否定为真命题,故A不满足题意;对于B,原命题的否定为“∀x∈B,x∈A”,当x=-2时,x∈B,x∉A,即原命题的否定为假命题,故B满足题意;对于C,原命题的否定为“∀x∈A,x∈B”,因为A⊆B,所以原命题的否定为真命题,故C不满足题意;对于D,原命题的否定为“∃x∈A,x∉B”,因为A⊆B,所以原命题的否定为假命题,故D满足题意.故选BD. 8.ACD　[解析] p:∀x∈R,x>0,􀱑p:∃x∈R,x≤0,故A正确;p:∃x∈R,x2≤-1,􀱑p:∀x∈R,x2>-1,故B错误;p:∀x<2,x<1,􀱑p:∃x<2,x≥1,故C正确;p:∀x∈R,x2+1≠0,􀱑p:∃x∈R,x2+1=0,故D正确.故选ACD. 9.∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根 [解析] 命题“∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是“∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根”. 10.解:(1)命题“∃n∈N*,∈N*”的否定为“∀n∈N*,∉N*”.因为当n=1∈N*时,=1∈N*,所以命题“∀n∈N*,∉N*”为假命题. (2)命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定为“∃x∈R,x2+x+1≤0”.因为x2+x+1=+>0恒成立,所以不存在x∈R使得x2+x+1≤0, 故命题“∃x∈R,x2+x+1≤0”为假命题. (3)命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为“存在三角形的三个内角不都是锐角”. 因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角,所以命题“存在三角形的三个内角不都是锐角”为真命题. 11.C　[解析] 因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”为假命题,所以“非空集合M中的元素不都是集合P中的元素”为真命题,所以M中一定有不属于P的元素,故②④为真命题.故选C. 12.ACD　[解析] 在A中,因为>,所以p是假命题,故A正确.在B中,由=,可得x=2x+1,解得x=-1,但x需要满足x≥0,所以q是假命题,故B错误.在C中,命题q中有存在量词,所以q是存在量词命题,故C正确.在D中,命题p中有全称量词,所以p是全称量词命题,故D正确.故选ACD. 13.{0,1,2}　[解析] 因为∀x1∈A,∃x2∈B,x1=x2,所以A⊆B,所以解得0≤m≤2.又因为m∈Z,所以整数m的取值集合为{0,1,2}. 14.解:(1)因为p为真命题,所以a≥x-1对任意x∈[1,3]恒成立,所以a≥2,故实数a的取值范围是{a|a≥2}. (2)因为q的否定为真命题,即∀x∈[1,2],x+a≥0为真命题,所以1+a≥0,解得a≥-1, 故实数a的取值范围是{a|a≥-1}. 15.解:(1)由p为真命题可得A⊆B, 又B≠∅,所以解得m≥8.故实数m的取值范围为[8,+∞). (2)因为q:∀x∈B,x∉A是假命题,所以􀱑q:∃x∈B,x∈A是真命题,即A∩B≠∅,则解得m≥2,故实数m的取值范围为[2,+∞). 16.解:选条件①.由p为真,可得不等式x2≥a对任意x∈[1,2]恒成立,因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≤1.若q为真,则关于x的方程x2+2ax+4=0在R上有解,所以Δ=(2a)2-16≥0,解得a≥2或a≤-2.因为p,q都是真命题,所以a≤-2,所以实数a的取值范围是{a|a≤-2}. 选条件②.由p为真,可得不等式x2≥a对任意x∈[1,2]恒成立,因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≤1. 对于q,当B=∅,即a≤0时,A∩B=∅;当B≠∅,即a>0时,由A∩B=∅,得a≥4或3a≤2,所以0<a≤或a≥4.综上,a≤或a≥4.因为p,q都是真命题,所以a≤,所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.命题“∃x∈(1,+∞),x2-2=0”的否定为 (　 ) A.∀x∈(-∞,1],x2-2≠0 B.∀x∈(-∞,1],x2-2=0 C.∀x∈(1,+∞),x2-2≠0 D.∀x∈(1,+∞),x2-2=0 ★2.[2025·江西抚州高一期中] 命题“∃x>0,x+≥3”的否定是 (　 ) A.∃x>0,x+<3 B.∀x≤0,x+<3 C.∀x>0,x+<3 D.∃x≤0,x+≥3 3.对某次考试有命题p:所有学生都会做第1题,那么命题p的否定是 (　 ) A.所有学生都不会做第1题 B.至少存在一个学生不会做第1题 C.存在一个学生会做第1题 D.至少有一个学生会做第1题 4.对下列命题的否定说法错误的是 (　 ) A.p:有的三角形为正三角形;􀱑p:所有的三角形都是正三角形 B.p:有些矩形是正方形;􀱑p:所有的矩形都不是正方形 C.p:对任意x∈R,都有x3-x2+1≤0;􀱑p:存在x∈R,使得x3-x2+1>0 D.p:∃x∈R,x2+x+2≤0;􀱑p:∀x∈R,x2+x+2>0 5.下列说法正确的是 (　 ) A.命题“∀n∈N,n∈Z”是假命题 B.命题“∀n∈N,n∈Z”的否定是“∃n∈N,n∈Z” C.命题“∃x∈R,x-1<0”是真命题 D.命题“∃x∈R,x-1<0”的否定是“∀x∈R,x-1>0” 6.[2025·广东清远高一期中] 已知Q是有理数集,R是实数集,命题p:∀x∈Q,∈∁RQ,则(　 ) A.p是真命题,􀱑p:∃x∈Q,∉∁RQ B.p是真命题,􀱑p:∃x∉Q,∉∁RQ C.p是假命题,􀱑p:∃x∈Q,∉∁RQ D.p是假命题,􀱑p:∃x∉Q,∉∁RQ 7.(多选题)已知集合A={x|x-1>2},集合B={x|x<-1或x>2},则下列命题的否定为假命题的是 (　 ) A.∀x∈B,x∈A B.∃x∈B,x∉A C.∃x∈A,x∉B D.∀x∈A,x∈B 8.(多选题)对下列命题的否定说法正确的是 (　 ) A.p:∀x∈R,x>0;􀱑p:∃x∈R,x≤0 B.p:∃x∈R,x2≤-1;􀱑p:∃x∈R,x2>-1 C.p:∀x<2,x<1;􀱑p:∃x<2,x≥1 D.p:∀x∈R,x2+1≠0;􀱑p:∃x∈R,x2+1=0 9.[2026·浙江台州高一期中] 命题“∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是　　　　　　　　　　　　.  10.(13分)写出下列命题的否定,并判断你写出的命题的真假. (1)∃n∈N*,∈N*; (2)∀x∈R,x2+x+1>0; (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 11.已知“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”为假命题,现有下列命题: ①M中的元素都不是集合P中的元素; ②M中一定有不属于P的元素; ③M中一定有属于P的元素; ④M中的元素不都是集合P中的元素. 其中为真命题的是 (　 ) A.①③ B.①④ C.②④ D.②③ 12.(多选题)[2025·江西上饶高一期中] 已知命题p:∀x∈(0,+∞),x2<x3,命题q:∃x∈R,=,则 (　 ) A.p是假命题 B.q是真命题 C.q是存在量词命题 D.p是全称量词命题 13.已知集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|m-1≤x≤2m+3},若∀x1∈A,∃x2∈B,x1=x2,则整数m的取值集合为　　　　.  14.(15分)[2026·福建龙岩高一期中] 已知p:∀x∈[1,3],x≤a+1;q:∃x∈[1,2],x+a<0. (1)若p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若q的否定为真命题,求实数a的取值范围. 15.(15分)[2026·湖南衡阳高一期中] 已知集合A={x|1≤x≤7},B={x|-3m+1≤x≤m-1},且B≠∅. (1)若p:∀x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围; (2)若q:∀x∈B,x∉A是假命题,求实数m的取值范围. 16.(15分)在①∃x∈R,x2+2ax+4=0;②存在集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a},使得A∩B=∅这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解. 问题:已知p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,q:　　　　.  若p,q都是真命题,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $