2.2 不等式 2.2.2 不等式的解集(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦不等式的解集核心知识点，系统梳理不等式（组）解集的概念及确定方法，衔接绝对值不等式的几何意义与解法，延伸至数轴上两点距离及中点坐标公式，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料通过“诊断分析”强化概念辨析，培养数学抽象能力，探究点例题与变式结合数轴工具，提升逻辑推理与几何直观素养。课中助力教师分层教学，课后练习题与素养小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.2.2　不等式的解集 【学习目标】 1.了解不等式(组)解集的概念,会求简单的一元一次不等式(组)的解; 2.会解含有一个或者两个绝对值号的绝对值不等式,能借助数轴解含有绝对值的不等式; 3.掌握数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式. ◆ 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1.定义:一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的　　　　称为不等式组的解集.  2.不等式组的解集的确定方法可以归纳为以下四种类型(其中a>b): 不等式组 图示 解集 　　　　(同大取大)  　　　　(同小取小)  　　　　　(大小交叉取中间)  　　　　(大小分离解为空)  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式组的解集为(2,+∞). (　 ) (2)不等式组的解集为(1,2).(　 ) (3)不等式ax>1的解集为. (　 ) (4)不等式3x>1的解集为. (　 ) (5)不等式组的解集为{x|x≤-2或x>3}. (　 ) ◆ 知识点二　绝对值不等式 1.绝对值的几何意义 |x|是指数轴上　　　　　　　　　　　　;|x1-x2|是指数轴上　　　　　　　　　　.|a|=  2.绝对值不等式的解集 当m>0时,关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<-m,因此解集为　　　　　　　　;  关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m,因此解集为　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x|>1,则x>1或x<-1. (　 ) (2)若|x|=1,则x=1. (　 ) (3)若|a|=a,则a>0. (　 ) (4)若|x|<a,则-a<x<a. (　 ) ◆ 知识点三　数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 1.数轴上两点之间的距离公式:一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=　　　　.  2.中点坐标公式:若线段AB的中点M对应的数为x,则x=　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若A(-1),B(2),则AB=3. (　 ) (2)若A(2),B(8),则线段AB的中点对应的数为5. (　 ) ◆ 探究点一　求一元一次不等式(组)的解集 例1 求下列不等式组的解集,并在数轴上表示出来. (1)(2) 例2 已知集合A={0,2},B={x|m-x<0},若A⊆B,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 变式 (1)[2026·重庆万州区高一期中] 已知不等式组的解集为{x|x>a},则a的取值范围是 (　 ) A.{a|a≤2} B.{a|a<2} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} (2)若0≤m<,则关于x的不等式组的整数解的个数是　　　　.  [素养小结] (1)一元一次不等式组的解法: ①分开解:分别解每个不等式,求出其解集. ②集中判:根据“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了”确定不等式组的解集(或把不等式的解集在数轴上表示出来,数形结合确定不等式组的解集). (2)求解含参不等式时,要注意:①变量的系数的符号是否确定,不然要对其分等于0,大于0,小于0三种情况讨论;②不等式组对应的方程的根的大小关系是否确定,不然要对两个根之间的大小关系进行讨论. ◆ 探究点二　解绝对值不等式 例3 (1)不等式|2x-1|>1的解集为 (　 ) A.(0,1) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)不等式1≤|2x-1|<2的解集为 (　 ) A. B. C. D. 变式 若不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. [素养小结] 形如|ax+b|>c(c≠0)与|ax+b|<c(c≠0)的不等式的解法: (1)当c>0时,不等式|ax+b|>c的解集是{x|ax+b>c或ax+b<-c},不等式|ax+b|<c的解集是{x|-c<ax+b<c}; (2)当c<0时,不等式|ax+b|>c的解集是{x|x∈R},不等式|ax+b|<c的解集是∅. ◆ 探究点三　含两个绝对值的不等式的解法 例4 不等式|x-1|≥|x|的解集为 (　 ) A. B. C. D. 变式 不等式|x-1|+|x+1|>4的解集为　　　　　　　.  [素养小结] 不等式|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c的三种解法: (1)利用绝对值的几何意义:|x-a|+|x-b|为数轴上表示数x的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和. (2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式(组),再求解. (3)不等式λ|x-a|+k|x-b|≥c无法直接利用绝对值的几何意义,通常需要根据x所在区间去掉绝对值号,使原不等式变成不含绝对值的一元一次不等式. ◆ 探究点四　求数轴上点的坐标或范围 例5 已知数轴上,A(5),B(-1),C(x+1),若线段AB的中点D到点C的距离等于4,则x=(　 ) A.5 B.-3 C.5或-2 D.5或-3 变式 已知数轴上,A(-1),B(x),C(6),若线段AB的中点到点C的距离小于5,则x的取值范围是　　　　.  [素养小结] 解决数轴上点的坐标问题的关键是正确运用两点的中点坐标公式与距离公式.根据绝对值不等式的解法可以求解某个参数的取值范围. 1.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域,下列不等式中x能表示平流层高度的是 (　 ) A.|x+10|<50 B.|x-10|<50 C.|x+30|<20 D.|x-30|<20 2.若不等式组无解,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 3.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a等于 (　 ) A.8 B.2 C.-4 D.-8 4.不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是 (　 ) A. B. C.{x|x≥3} D.{x|-3<x≤0} 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2　不等式的解集 【课前预习】 知识点一 1.交集　2.(a,+∞)　(-∞,b)　(b,a)　∅ 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (2)不等式组的解集为(-3,-1). (3)要考虑a与0的大小关系,当a=0时,解集为空集,当a>0时,解集为,当a<0时,解集为. (5)不等式组的解集为∅. 知识点二 1.表示数x的点与原点的距离 表示数x1,x2的两点间的距离 2.(-∞,-m)∪(m,+∞)　[-m,m] 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (2)x=1或x=-1,故错误. (3)a=0时等式也成立,故错误. (4)当a>0时成立,当a≤0时无解,故错误. 知识点三 1.|a-b|　2. 诊断分析 (1)√　(2)√ 【课中探究】 例1　解:(1)由①得x≤3,由②得x≥-1, 所以不等式组的解集为[-1,3],在数轴上表示如图所示. (2)由①得x>5,由②得x≤-2, 所以不等式组的解集为∅,在数轴上表示如图所示. 例2　A　[解析] 由题意得B={x|x>m},因为A⊆B,所以m<0.故选A. 变式　(1)C　(2)6　[解析] (1)由得因为不等式组的解集为{x|x>a},所以a≥2,即a的取值范围是{a|a≥2}.故选C. (2)由得3m<x≤6,因为0≤m<,所以不等式组的整数解有1,2,3,4,5,6,所以不等式组的整数解有6个. 例3　(1)B　(2)D　[解析] (1)由|2x-1|>1,得2x-1>1或2x-1<-1,解得x>1或x<0.故选B. (2)当2x-1≥0,即x≥时,有1≤2x-1<2,解得1≤x<;当2x-1<0,即x<时,有1≤1-2x<2,解得-<x≤0.综上,原不等式的解集为.故选D. 变式　B　[解析] 因为2∉M,所以2∈∁RM,所以≤a,即解得a≥.故选B. 例4　D　[解析] 方法一:当x≥1时,原不等式可化为x-1≥x,无解;当0<x<1时,原不等式可化为1-x≥x,可得0<x≤;当x≤0时,原不等式可化为1-x≥-x,可得x≤0.综上,原不等式的解集为.故选D. 方法二:不等式|x-1|≥|x|的解集就是数轴上到表示数1的点的距离不小于到原点的距离的点对应的所有数组成的集合.如图,符合条件的点在表示数的点处及其左侧,故原不等式的解集为. 变式　(-∞,-2)∪(2,+∞)　[解析] 方法一:当x≥1时,|x-1|+|x+1|=2x>4,解得x>2,所以x>2;当-1<x<1时,|x-1|+|x+1|=2>4,无解;当x≤-1时,|x-1|+|x+1|=-2x>4,解得x<-2,所以x<-2.故不等式|x-1|+|x+1|>4的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). 方法二:不等式|x-1|+|x+1|>4的解集就是数轴上到表示数1的点和表示数-1的点的距离之和大于4的点对应的所有数组成的集合.设A(1),B(-1),C(x),如图,由图可知,当点C(x)在A(1)和B(-1)之间(包括A,B)时,|x-1|+|x+1|=2,不符合题意;当点C(x)在A(1)的右侧时,只需C(x)到A(1)的距离大于1,即x>2.同理,当点C(x)在B(-1)的左侧时,x<-2.故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞). 例5　D　[解析] 由A(5),B(-1),可得D(2),又点D到点C的距离等于4,所以|x+1-2|=4,解得x=5或x=-3.故选D. 变式　(3,23)　[解析] 设线段AB的中点为D,则D,由点D到点C的距离小于5,得<5,解得3<x<23.故x的取值范围为(3,23). 【课堂评价】 1.D　[解析] 由题意知10<x<50,即|x-30|<20.故选D. 2.A　[解析] 由得因为不等式组无解,所以m≤2.故选A. 3.C　[解析] 由|ax+2|<6,得-8<ax<4.当a>0时,可得-<x<,则无解;当a=0时,不等式恒成立,不符合题意;当a<0时,可得<x<-,则解得a=-4.故选C. 4.A　[解析] 当x≤-3时,可得-(x+3)+(x-3)>3,即-6>3,无解;当-3<x<3时,可得x+3+x-3>3,解得x>,所以<x<3;当x≥3时,可得x+3-(x-3)>3,即6>3,所以x≥3.综上,不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $